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algebraic-parameters MCQ Questions for Class 10

algebraic-parameters se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

4 questions tagged with algebraic-parameters.

Question 1/4 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 39

यदि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण \(x^2-2(a-2b)x+(a+2b)^2=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?

If \(a\) and \(b\) are real numbers, which condition is necessary and sufficient for the equation \(x^2-2(a-2b)x+(a+2b)^2=0\) to have real roots?

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Correct Answer

A. \(ab\leq 0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\)। अतः \(-32ab\geq0\), जिससे \(ab\leq0\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल पर्याप्त स्थिति है, क्योंकि \(a+2b=0\) से \(ab\leq0\) तो मिलता है, पर यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq0\). Here, \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\). Therefore, \(-32ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option D is only a sufficient condition: \(a+2b=0\) implies \(ab\leq0\), but it is not necessary. Exam tip: For questions about the nature of quadratic roots, begin by calculating the discriminant and imposing \(D\geq0\).

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Question 2/4 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 39

यदि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(x^2-2(a+b)x+3ab=0\) के मूल वास्तविक हैं, तो \(a\) और \(b\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(a\) and \(b\) are real numbers and the roots of \(x^2-2(a+b)x+3ab=0\) are real, which statement about \(a\) and \(b\) is correct?

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Correct Answer

A. \(a^2-ab+b^2\geq 0\) होने के कारण मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैंThe roots are real for all real \(a,b\) because \(a^2-ab+b^2\geq 0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\) है। अब \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), इसलिए \(D\geq 0\) और मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं। विकल्प B आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=-1\) पर \(ab<0\), फिर भी मूल वास्तविक हैं। समान मूल के लिए \(D=0\), जो केवल \(a=b=0\) पर होता है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\). Since \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), we have \(D\geq 0\), so the roots are real for every pair of real values of \(a\) and \(b\). Option B is not necessary; for example, when \(a=1,b=-1\), \(ab<0\) but the roots are still real. Equal roots require \(D=0\), which occurs only when \(a=b=0\), so option D is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of its roots by checking the sign of the discriminant.

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Question 3/4 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

यदि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो समीकरण \(x^2-2(a+b)x+(a^2+b^2)=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा संबंध आवश्यक है?

If \(a\) and \(b\) are real numbers, which of the following relations is necessary for the equation \(x^2-2(a+b)x+(a^2+b^2)=0\) to have real roots?

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Correct Answer

A. \(ab\geq 0\)

Explanation

Simple Explanation

विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(a^2+b^2)=4(a+b)^2-4(a^2+b^2)=8ab\) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(8ab\geq0\), अर्थात् \(ab\geq0\)। विकल्प B का संबंध सामान्यतः \(D\leq0\) देता है और वास्तविक मूलों की गारंटी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(a^2+b^2)=4(a+b)^2-4(a^2+b^2)=8ab\). For real roots, \(D\geq0\), so \(8ab\geq0\), which gives \(ab\geq0\). Option B generally gives \(D\leq0\) and does not ensure real roots. Exam tip: For a quadratic equation, first apply the condition \(D\geq0\) to test for real roots.

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Question 4/4 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि समीकरण \(x^2-2(a+b)x+(a-b)^2=0\) के मूल वास्तविक और असमान हों, तो a और b के लिए सही शर्त क्या होगी?

For real numbers a and b, if the equation \(x^2-2(a+b)x+(a-b)^2=0\) has real and distinct roots, which condition on a and b is correct?

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Correct Answer

A. \(ab>0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के वास्तविक और असमान मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=(a-b)^2\) हैं। इसलिए \(D=[-2(a+b)]^2-4(a-b)^2=16ab\)। अतः \(16ab>0\), जिससे \(ab>0\) प्राप्त होता है। \(ab=0\) होने पर मूल समान होंगे, जबकि \(ab<0\) होने पर मूल अवास्तविक होंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर को सरल करके उसका चिह्न निर्धारित करें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=(a-b)^2\). Thus, \(D=[-2(a+b)]^2-4(a-b)^2=16ab\). The condition \(D>0\) gives \(16ab>0\), and hence \(ab>0\). If \(ab=0\), the roots are equal, while \(ab<0\) gives non-real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.

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