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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 38

समीकरण \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?

What condition on \(a\) is necessary for the equation \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) to have real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a^2+a-2\ge 0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\), इसलिए \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\)। अतः \(D\ge0\) के लिए \(a^2+a-2\ge0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ, फिर आवश्यकता हो तो असमता का हल निकालें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\), so \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\). Therefore, the required condition is \(a^2+a-2\ge0\). Exam tip: apply the discriminant condition first and solve the resulting inequality only if the question asks for the range of \(a\).

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समीकरण \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है? / What condition on \(a\) is necessary for the equation \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) to have real roots?

Correct Answer: A. \(a^2+a-2\ge 0\). Explanation: द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\), इसलिए \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\)। अतः \(D\ge0\) के लिए \(a^2+a-2\ge0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ, फिर आवश्यकता हो तो असमता का हल निकालें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\), so \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\). Therefore, the required condition is \(a^2+a-2\ge0\). Exam tip: apply the discriminant condition first and solve the resulting inequality only if the question asks for the range of \(a\).