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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Medium Level 38

द्विघात समीकरण \(x^2-2kx+9=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) पर निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त आवश्यक है?

For the quadratic equation \(x^2-2kx+9=0\) to have real roots, which of the following conditions on \(k\) is required?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)

Explanation

Simple Explanation

समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2k, c=9\), इसलिए \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq0\), अर्थात \(k^2\geq9\), जिससे \(k\leq-3\) या \(k\geq3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है और केवल \(k=3\) कहना अधूरा है, क्योंकि \(k=-3\) पर भी वास्तविक समान मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1, b=-2k, c=9\), so \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus, \(4k^2-36\geq0\), which gives \(k^2\geq9\), or \(k\leq-3\) or \(k\geq3\). Option B makes the discriminant negative, while option D is incomplete because \(k=-3\) also gives real equal roots. Exam tip: For real roots, always apply the condition \(D\geq0\).

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द्विघात समीकरण \(x^2-2kx+9=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए \(k\) पर निम्नलिखित में से कौन-सी शर्त आवश्यक है? / For the quadratic equation \(x^2-2kx+9=0\) to have real roots, which of the following conditions on \(k\) is required?

Correct Answer: A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\) / \(k\leq -3\) or \(k\geq 3\). Explanation: समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2k, c=9\), इसलिए \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq0\), अर्थात \(k^2\geq9\), जिससे \(k\leq-3\) या \(k\geq3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है और केवल \(k=3\) कहना अधूरा है, क्योंकि \(k=-3\) पर भी वास्तविक समान मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1, b=-2k, c=9\), so \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus, \(4k^2-36\geq0\), which gives \(k^2\geq9\), or \(k\leq-3\) or \(k\geq3\). Option B makes the discriminant negative, while option D is incomplete because \(k=-3\) also gives real equal roots. Exam tip: For real roots, always apply the condition \(D\geq0\).