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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि समीकरण \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) के दो वास्तविक और असमान मूल हों, तो \(\theta\) के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If the equation \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) has two real and distinct roots, which condition on \(\theta\) is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\theta<0\) या \(\theta>3\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)>0\), जिससे \(\theta<0\) या \(\theta>3\) प्राप्त होता है। \(\theta=0\) और \(\theta=3\) पर मूल समान होंगे, जबकि \(0<\theta<3\) में मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\). Therefore, \(4\theta(\theta-3)>0\), which gives \(\theta<0\) or \(\theta>3\). At \(\theta=0\) and \(\theta=3\), the roots are equal, while for \(0<\theta<3\), the roots are not real. Exam tip: For two real and distinct roots, always impose \(D>0\).

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यदि समीकरण \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) के दो वास्तविक और असमान मूल हों, तो \(\theta\) के लिए कौन-सी शर्त सही है? / If the equation \(x^2-2\theta x+3\theta=0\) has two real and distinct roots, which condition on \(\theta\) is correct?

Correct Answer: A. \(\theta<0\) या \(\theta>3\). Explanation: द्विघात समीकरण में दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)>0\), जिससे \(\theta<0\) या \(\theta>3\) प्राप्त होता है। \(\theta=0\) और \(\theta=3\) पर मूल समान होंगे, जबकि \(0<\theta<3\) में मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\). Therefore, \(4\theta(\theta-3)>0\), which gives \(\theta<0\) or \(\theta>3\). At \(\theta=0\) and \(\theta=3\), the roots are equal, while for \(0<\theta<3\), the roots are not real. Exam tip: For two real and distinct roots, always impose \(D>0\).