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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

यदि समीकरण \(x^2-2px+p^2-5p=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(p\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the equation \(x^2-2px+p^2-5p=0\) has real and distinct roots, what is the correct condition on \(p\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p>0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\)। अतः \(20p>0\), जिससे \(p>0\) प्राप्त होता है। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे; इसलिए \(p\ge0\) भी पूर्णतः सही नहीं है। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\), so \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\). Thus, \(20p>0\), which gives \(p>0\). When \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal, so \(p\ge0\) is not fully correct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).

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यदि समीकरण \(x^2-2px+p^2-5p=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(p\) के लिए सही शर्त क्या होगी? / If the equation \(x^2-2px+p^2-5p=0\) has real and distinct roots, what is the correct condition on \(p\)?

Correct Answer: A. \(p>0\). Explanation: द्विघात समीकरण में वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\)। अतः \(20p>0\), जिससे \(p>0\) प्राप्त होता है। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे; इसलिए \(p\ge0\) भी पूर्णतः सही नहीं है। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\), so \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\). Thus, \(20p>0\), which gives \(p>0\). When \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal, so \(p\ge0\) is not fully correct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).