If D = b² − 4ac is positive but not a perfect square, what is the most accurate nature of the roots of ax² + bx + c = 0?यदि D = b² − 4ac धनात्मक है, लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है, तो ax² + bx + c = 0 के मूलों की सबसे सटीक प्रकृति क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Two real, irrational and distinct rootsTwo real, irrational and distinct roots
The governing criterion is the discriminant of a quadratic equation. The quadratic formula gives roots x = (−b ± √D)/(2a), with a ≠ 0. Since D > 0, √D is positive and the plus and minus choices produce two distinct real roots. If D were a perfect square, rational coefficients would generally lead to rational roots, but the question states that D is not a perfect square; therefore √D is irrational, making the roots irrational in the standard school-level setting with rational coefficients. D = 0 would instead give equal roots, and D < 0 would give no real roots. Hence option A precisely describes the roots.इस प्रश्न में द्विघात समीकरण के विविक्तकर का नियम लागू होता है। द्विघात सूत्र के अनुसार मूल x = (−b ± √D)/(2a) होते हैं, जहाँ a ≠ 0 है। D > 0 होने पर √D धनात्मक और वास्तविक होता है, इसलिए धन तथा ऋण चिह्न से प्राप्त दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग होते हैं। यदि D पूर्ण वर्ग होता, तो परिमेय गुणांकों की स्थिति में मूल परिमेय हो सकते थे; लेकिन यहाँ D पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए √D अपरिमेय है और मूल अपरिमेय होते हैं। D = 0 होने पर समान मूल मिलते, जबकि D < 0 होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। इसलिए दोनों मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान हैं; सही विकल्प A है।
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