For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), where \(a,b,c\) are rational numbers and \(a\ne0\), if the discriminant \(D=b^2-4ac=100\), which statement correctly describes the roots?किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में, जहाँ \(a,b,c\) परिमेय संख्याएँ हैं और \(a\ne0\), यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=100\) हो, तो मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The roots are real, rational, and distinctमूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं
Here, \(D=100>0\), so the two roots are real and distinct. Also, 100 is a perfect square, so \(\sqrt{D}=10\) is rational. Since \(a,b,c\) are rational, the formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) shows that both roots are rational. Therefore, option A is correct. Option D is incorrect because a positive perfect-square discriminant gives rational, not irrational, roots. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and when \(D\) is a perfect square, the roots are rational.यहाँ \(D=100>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, \(100\) एक पूर्ण वर्ग है, अतः \(\sqrt{D}=10\) परिमेय है। चूँकि \(a,b,c\) परिमेय हैं, सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दोनों मूल परिमेय होंगे। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(D\) का धनात्मक पूर्ण वर्ग होना मूलों को परिमेय बनाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेय मूल दर्शाता है।
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