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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि \(x^2-(2a+5)x+(a+2)(a+3)=0\) है, जहाँ \(a\) एक वास्तविक नियतांक है, तो मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(x^2-(2a+5)x+(a+2)(a+3)=0\), where \(a\) is a real constant, what will be the nature of its roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. हर वास्तविक \(a\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूलTwo real and distinct roots for every real \(a\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+5)\) और \(C=(a+2)(a+3)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\)। चूँकि \(D=1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(a+2\) और \(a+3\) हैं, जिनका अंतर हमेशा 1 है। ध्यान दें कि उन्हें परिमेय तभी कहा जा सकता है जब \(a\) परिमेय हो। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से केवल वास्तविक और असमान मूल निश्चित होते हैं; परिमेयता के लिए गुणांकों की परिमेयता भी जाँचें। / Here, \(A=1\), \(B=-(2a+5)\), and \(C=(a+2)(a+3)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\). Since \(D=1>0\) for every real \(a\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \(a+2\) and \(a+3\), whose difference is always 1. They are rational only when \(a\) is rational. Exam tip: \(D>0\) guarantees real and distinct roots; rationality also requires checking whether the coefficients are rational.

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यदि \(x^2-(2a+5)x+(a+2)(a+3)=0\) है, जहाँ \(a\) एक वास्तविक नियतांक है, तो मूलों की प्रकृति क्या होगी? / If \(x^2-(2a+5)x+(a+2)(a+3)=0\), where \(a\) is a real constant, what will be the nature of its roots?

Correct Answer: A. हर वास्तविक \(a\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल / Two real and distinct roots for every real \(a\). Explanation: यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+5)\) और \(C=(a+2)(a+3)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\)। चूँकि \(D=1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(a+2\) और \(a+3\) हैं, जिनका अंतर हमेशा 1 है। ध्यान दें कि उन्हें परिमेय तभी कहा जा सकता है जब \(a\) परिमेय हो। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से केवल वास्तविक और असमान मूल निश्चित होते हैं; परिमेयता के लिए गुणांकों की परिमेयता भी जाँचें। / Here, \(A=1\), \(B=-(2a+5)\), and \(C=(a+2)(a+3)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\). Since \(D=1>0\) for every real \(a\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \(a+2\) and \(a+3\), whose difference is always 1. They are rational only when \(a\) is rational. Exam tip: \(D>0\) guarantees real and distinct roots; rationality also requires checking whether the coefficients are rational.