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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि \(x^2-2rx+(r^2-81)=0\) एक द्विघात समीकरण है और \(r\) कोई भी वास्तविक संख्या है, तो इसके मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If \(x^2-2rx+(r^2-81)=0\) is a quadratic equation and \(r\) is any real number, what will be the nature of its roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. दो वास्तविक और असमान मूलTwo real and distinct roots

Explanation

Simple Explanation

इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए हर वास्तविक \(r\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। वास्तव में मूल \(r+9\) और \(r-9\) हैं। इन्हें सदैव परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि \(r\) स्वयं अपरिमेय हो सकता है; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The discriminant is \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots for every real value of \(r\). In fact, the roots are \(r+9\) and \(r-9\). They cannot be called always rational because \(r\) itself may be irrational, so option D is not correct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.

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यदि \(x^2-2rx+(r^2-81)=0\) एक द्विघात समीकरण है और \(r\) कोई भी वास्तविक संख्या है, तो इसके मूलों की प्रकृति क्या होगी? / If \(x^2-2rx+(r^2-81)=0\) is a quadratic equation and \(r\) is any real number, what will be the nature of its roots?

Correct Answer: A. दो वास्तविक और असमान मूल / Two real and distinct roots. Explanation: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए हर वास्तविक \(r\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। वास्तव में मूल \(r+9\) और \(r-9\) हैं। इन्हें सदैव परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि \(r\) स्वयं अपरिमेय हो सकता है; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The discriminant is \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots for every real value of \(r\). In fact, the roots are \(r+9\) and \(r-9\). They cannot be called always rational because \(r\) itself may be irrational, so option D is not correct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.