What is the nature of the roots of x² − (2r+5)x + (r²+5r+4) = 0?समीकरण x² − (2r+5)x + (r²+5r+4) = 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Always real, rational and distinctहमेशा वास्तविक, परिमेय और भिन्न
For the equation x² − (2r+5)x + (r²+5r+4) = 0, the coefficients are a = 1, b = −(2r+5) and c = r²+5r+4. Its discriminant is D = [−(2r+5)]² − 4(r²+5r+4) = (2r+5)² − 4r² − 20r − 16. Expanding the square gives 4r²+20r+25, so D = 9. Since D is always positive, the roots are always real and distinct. Also, D = 9 is a perfect square and the coefficients are rational whenever r is rational; algebraically the roots simplify directly to r+4 and r+1. Thus the intended school-level conclusion is that the roots are real, rational and distinct, so option A is correct. They are not equal or non-real.समीकरण x² − (2r+5)x + (r²+5r+4) = 0 में a = 1, b = −(2r+5) और c = r²+5r+4 हैं। इसका विविक्तकर D = [−(2r+5)]² − 4(r²+5r+4) = (2r+5)² − 4r² − 20r − 16 है। (2r+5)² = 4r² + 20r + 25 रखने पर D = 9 प्राप्त होता है। चूँकि D सदैव धनात्मक है, इसलिए दोनों मूल सदैव वास्तविक और भिन्न होंगे। मूल सूत्र से मूल r+4 और r+1 भी मिलते हैं; अतः परिमेय r के लिए ये परिमेय होंगे और 9 पूर्ण वर्ग होने के कारण प्रश्न का अपेक्षित निष्कर्ष विकल्प A है। D कभी शून्य या ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए मूल समान या अवास्तविक नहीं हो सकते।
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