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A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots \(D=49\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6, b=-1, c=-2\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(6)(-2)=49\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, अतः दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि विकल्प D में दिया गया \(D=7\) सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय तथा असमान होते हैं। / Here, \(a=6, b=-1, c=-2\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(6)(-2)=49\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B would require \(D=0\), while the value \(D=7\) in option D is incorrect. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=25\)। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा \(D=25\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \(3\) और \(\frac{1}{2}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता पहचानें। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=25\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since \(D=25\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(3\) and \(\frac{1}{2}\). Hence, option A is correct. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, while a perfect-square discriminant indicates rational roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर D = 49 एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है। D > 0 होने पर दोनों मूल वास्तविक और असमान होते हैं, तथा D पूर्ण वर्ग होने के कारण वे परिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। D = 0 होने पर मूल समान होते, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय तथा असमान होते हैं। / The discriminant D = 49 is positive and a perfect square. Since D > 0, the roots are real and distinct; because D is a perfect square, the roots are rational. Therefore, option A is correct. The roots would be equal only when D = 0, so option B is incorrect. Exam tip: If D > 0 and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(3x^2-12=0\) में \(a=3\), \(b=0\) और \(c=-12\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0-4(3)(-12)=144\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान होंगे; साथ ही \(\sqrt{D}=12\) पूर्णांक है, इसलिए दोनों मूल परिमेय हैं। वास्तव में मूल \(x=2\) और \(x=-2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय तथा असमान होते हैं। / For the equation \(3x^2-12=0\), \(a=3\), \(b=0\), and \(c=-12\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0-4(3)(-12)=144\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(\sqrt{D}=12\) is an integer, both roots are rational. In fact, the roots are \(x=2\) and \(x=-2\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \(D=9\)/Two real, rational, and distinct roots \(D=9\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=2\), \(b=-5\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय तथा भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि धनात्मक विविक्तकर के अपरिमेय मूल तभी मिलते हैं जब वह पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेयता सुनिश्चित करता है। / For the given quadratic equation, \(a=2\), \(b=-5\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because a positive discriminant gives irrational roots only when it is not a perfect square. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, while a perfect-square discriminant indicates that the roots are rational.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a = 2, b = 7 और c = 3 हैं। विविक्तकर D = b² − 4ac = 7² − 4(2)(3) = 25 है। D > 0 होने से मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं, तथा 25 पूर्ण वर्ग होने से वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल −1/2 और −3 हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, a = 2, b = 7 and c = 3. The discriminant is D = b² − 4ac = 7² − 4(2)(3) = 25. Since D > 0, the roots are real and distinct; since 25 is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are −1/2 and −3. Therefore, option A is correct. Exam tip: If D > 0 and D is a perfect square, the roots are real, rational and distinct.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\) है। \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग होने पर दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। वास्तव में मूल \(x=\frac{1}{2}\) और \(x=\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=\frac{1}{2}\) and \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: if \(D>0\) is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=6\), \(b=-5\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\), अतः सही उत्तर A है। \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; तथा \(D\) पूर्ण वर्ग होने के कारण वे परिमेय भी होंगे। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋण चिह्न को कोष्ठक में रखें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a=6\), \(b=-5\), and \(c=1\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\), so option A is correct. Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(D\) is also a perfect square, they are rational. Exam tip: always place the signed value of \(b\) in parentheses when calculating the discriminant.
विकल्प A के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(1)(20)=1\) है। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होंगे। वास्तव में समीकरण \((x-4)(x-5)=0\) है, इसलिए मूल 4 और 5 हैं। विकल्प B, C और D के विविक्तकर क्रमशः \(-3,-39,-16\) हैं, इसलिए उनके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। / For option A, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(1)(20)=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the equation factors as \((x-4)(x-5)=0\), giving roots 4 and 5. The discriminants of options B, C, and D are \(-3,-39,-16\), respectively, so their roots are not real. Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) and a perfect-square discriminant indicate distinct real rational roots.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=25>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, 25 एक पूर्ण वर्ग है और गुणांक परिमेय हैं, इसलिए मूल परिमेय भी होंगे। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि अपरिमेय मूलों के लिए धनात्मक विविक्तकर पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल, \(D=0\) से समान मूल और \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(D=25>0\), so the two roots are real and distinct. Since 25 is a perfect square and the coefficients are rational, the roots are also rational. Option B would be correct only when \(D=0\), while irrational roots occur when the positive discriminant is not a perfect square. Exam tip: \(D>0\) gives distinct real roots, \(D=0\) gives equal real roots, and \(D<0\) gives non-real roots.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-6, c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं; तथा \(D=4\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \(2\) और \(4\) हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, \(a=1, b=-6, c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since \(D=4\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(2\) and \(4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational and distinct.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3, b=-5, c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे। वास्तव में मूल \(x=1\) और \(x=\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से मूल भिन्न, और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना उन्हें परिमेय बनाता है। / Here, \(a=3, b=-5, c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the two roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=1\) and \(x=\frac{2}{3}\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct roots, while a perfect-square discriminant makes them rational.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(2)=1\) है। चूँकि \(D>0\) और पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होंगे। वास्तव में, \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), अतः मूल \(1\) और \(2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) होने पर मूल अलग-अलग होते हैं; यदि \(D\) पूर्ण वर्ग हो, तो वे परिमेय भी होते हैं। / Here \(a=1\), \(b=-3\), and \(c=2\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(2)=1\). Since \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), giving the roots \(1\) and \(2\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct roots, and if \(D\) is a perfect square, those roots are rational.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल मिलते हैं। (D) का चिन्ह और पूर्ण वर्ग दोनों देखें। / A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
विविक्तकर (16-16=0), इसलिए मूल समान हैं और (x=2) परिमेय है। परीक्षा में (D=0) का अर्थ समान मूल होता है। / The discriminant is (16-16=0), so the roots are equal and (x=2) is rational. In exams (D=0) means equal roots.
A. कथन सही है — शून्यक परिमेय हैं/The statement is true — the zeros are rational
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार परिमेय शून्यक के लिए निरुपणक \(D=b^2-4ac\) का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=r\)। \(r=3\) पर \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), जो एक पूर्ण वर्ग है (\(\sqrt{D}=2\))। अतः शून्यक \(\frac{4\pm2}{2}\) यानी 3 और 1 परिमेय हैं। विकल्प B निकटवर्ती भ्रम है — वह गलत है क्योंकि \(D\) अपरिमेयता नहीं दर्शाता; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि \(D<0\) या \(D=0\) के दावे सत्य नहीं हैं (यहाँ \(D=4>0\)). परीक्षा संकेत: हमेशा पहले \(D=b^2-4ac\) निकालें और देखें कि क्या वह पूर्ण वर्ग है; फिर शून्यक सीधे निकालकर सत्यापित करें। / For rational zeros of a quadratic with integer coefficients, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be a perfect square. Here \(a=1, b=-4, c=r\). For \(r=3\): \(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\), which is a perfect square (\(\sqrt{D}=2\)). Hence the zeros are \((4\pm2)/2\), i.e. 3 and 1, both rational. Distractor B is incorrect because the discriminant is not non-square; C and D are wrong because \(D<0\) (complex roots) and \(D=0\) (equal roots) do not hold here — actually \(D=4>0\). Exam tip: compute \(D\) first, check if it is a perfect square, then compute the roots to confirm.
