Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\frac{-1-\sqrt{5}}{3}<t<\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), इसलिए वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) है। यहाँ \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\)। अतः \(9t^2+6t-4<0\)। इसके शून्यक \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) और \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\) हैं, तथा परवलय ऊपर की ओर खुलता है; इसलिए असमता इनके बीच सत्य होगी। अतः विकल्प A सही है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, उन्हें शामिल नहीं किया जाएगा। / For a quadratic equation, real roots do not exist when the discriminant \(D<0\). Here, \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\). Thus, \(9t^2+6t-4<0\). Its zeros are \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) and \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\), and since the quadratic has a positive leading coefficient, the expression is negative between these zeros. Hence option A is correct. At the endpoints, \(D=0\), giving equal real roots, so the endpoints must be excluded. Exam tip: for no real roots, always use the strict condition \(D<0\), not \(D\leq0\).
A. \(\theta=0\) या \(\theta=3\)/\(\theta=0\) or \(\theta=3\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\), इसलिए \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)=0\) से \(\theta=0\) या \(\theta=3\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(\theta=3\) देता है और \(\theta=0\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ और प्राप्त सभी मान जाँचें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\). Thus, \(4\theta(\theta-3)=0\) gives \(\theta=0\) or \(\theta=3\). Option B is incomplete because it omits \(\theta=0\). Exam tip: For equal roots, set the discriminant directly to zero and check every resulting parameter value.
द्विघात समीकरण में दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)>0\), जिससे \(\theta<0\) या \(\theta>3\) प्राप्त होता है। \(\theta=0\) और \(\theta=3\) पर मूल समान होंगे, जबकि \(0<\theta<3\) में मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\). Therefore, \(4\theta(\theta-3)>0\), which gives \(\theta<0\) or \(\theta>3\). At \(\theta=0\) and \(\theta=3\), the roots are equal, while for \(0<\theta<3\), the roots are not real. Exam tip: For two real and distinct roots, always impose \(D>0\).
A. दो वास्तविक और समान \\(D=0\\)/Two real and equal \\(D=0\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), इसलिए \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में समान मूल \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए केवल “अपरिमेय” देखकर विकल्प D चुनना गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), so \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\), which is irrational; however, option D is still incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: \\(D=0\\) always indicates two equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(b=0\) तथा \(a<0, c<0\) हैं, इसलिए \(ac>0\)। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\) होगा। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(b=0\) and \(a<0, c<0\), so \(ac>0\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\), which means that the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: if \(D<0\), the roots are not real.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a<0\) और \(c>0\) होने से \(ac<0\), इसलिए \(-4ac>0\) और \(D=b^2+(-4ac)>0\) होगा। अतः समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। समान मूल के लिए \(D=0\) तथा कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) चाहिए, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(ac<0\) दिखते ही मूलों को वास्तविक और असमान निष्कर्षित करें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Since \(a<0\) and \(c>0\), we have \(ac<0\), so \(-4ac>0\) and \(D=b^2+(-4ac)>0\). Therefore, the equation has two real and distinct roots. Equal roots require \(D=0\), while no real roots require \(D<0\), neither of which is possible here. Exam tip: Whenever \(ac<0\), the roots are automatically real and distinct.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\)। अतः \(-32ab\geq0\), जिससे \(ab\leq0\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल पर्याप्त स्थिति है, क्योंकि \(a+2b=0\) से \(ab\leq0\) तो मिलता है, पर यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq0\). Here, \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\). Therefore, \(-32ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option D is only a sufficient condition: \(a+2b=0\) implies \(ab\leq0\), but it is not necessary. Exam tip: For questions about the nature of quadratic roots, begin by calculating the discriminant and imposing \(D\geq0\).
A. \(a^2-ab+b^2\geq 0\) होने के कारण मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं/The roots are real for all real \(a,b\) because \(a^2-ab+b^2\geq 0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\) है। अब \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), इसलिए \(D\geq 0\) और मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं। विकल्प B आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=-1\) पर \(ab<0\), फिर भी मूल वास्तविक हैं। समान मूल के लिए \(D=0\), जो केवल \(a=b=0\) पर होता है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\). Since \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), we have \(D\geq 0\), so the roots are real for every pair of real values of \(a\) and \(b\). Option B is not necessary; for example, when \(a=1,b=-1\), \(ab<0\) but the roots are still real. Equal roots require \(D=0\), which occurs only when \(a=b=0\), so option D is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of its roots by checking the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\)। इसलिए \(4(v^2-7)<0\), अर्थात् \(v^2<7\), जिससे \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\). Thus \(4(v^2-7)<0\), or \(v^2<7\), which gives \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\). In option B, \(D>0\), so there are two distinct real roots; in option C, \(D=0\), so there is one repeated real root. Exam tip: For ‘no real roots,’ directly apply the condition \(D<0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=q+3\), \(b=-2(q-2)\) और \(c=q\) हैं। अतः \(D=4(q-2)^2-4q(q+3)=4(4-7q)\)। \(D=0\) रखने पर \(4-7q=0\), इसलिए \(q=\frac{4}{7}\)। विकल्प D में दिया \(q=-3\) मान द्विघात पद का गुणांक शून्य कर देता है, इसलिए वह द्विघात समीकरण नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और यह भी जाँचें कि \(a\ne0\) हो। / For equal roots, the discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=q+3\), \(b=-2(q-2)\), and \(c=q\). Therefore, \(D=4(q-2)^2-4q(q+3)=4(4-7q)\). Setting \(D=0\) gives \(4-7q=0\), so \(q=\frac{4}{7}\). The value \(q=-3\) in option D makes the coefficient of \(x^2\) zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set \(D=0\) and also verify that \(a\ne0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-(u+6)\) और \(c=6u\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(u+6)^2-24u=(u-6)^2\)। \((u-6)^2=0\) से \(u=6\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / Equal roots require the discriminant to be zero. Here, \(a=1\), \(b=-(u+6)\), and \(c=6u\). Thus, \(D=b^2-4ac=(u+6)^2-24u=(u-6)^2\). Setting \(D=0\) gives \(u=6\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(t+7)^2-4(1)(7t)=(t-7)^2\) है। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \((t-7)^2>0\), जो केवल \(t\ne7\) पर सत्य है। वास्तव में समीकरण \((x-7)(x-t)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है; \(t=7\) होने पर दोनों मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / The discriminant is \(D=(t+7)^2-4(1)(7t)=(t-7)^2\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \((t-7)^2>0\), which is true exactly when \(t\ne7\). Equivalently, the equation factors as \((x-7)(x-t)=0\); when \(t=7\), the two roots coincide. Exam tip: for distinct real roots of a quadratic, always check the condition \(D>0\).
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k+3)\) और \(c=k^2+5k+12\) हैं। वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(k+3)^2-4(k^2+5k+12)=4(k-3)\), इसलिए \(4(k-3)\geq0\), अर्थात \(k\geq3\)। विकल्प B विपरीत असमानता देता है और विकल्प C केवल एक विशेष मान है, पूरी शर्त नहीं। परीक्षा-टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले \(D\) को \(0\) के साथ तुलना करें। / For the given quadratic, \(a=1\), \(b=-2(k+3)\), and \(c=k^2+5k+12\). Real roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to satisfy \(D\geq0\). Thus, \(D=4(k+3)^2-4(k^2+5k+12)=4(k-3)\), so \(4(k-3)\geq0\), giving \(k\geq3\). Option B states the opposite inequality, while option C gives only one particular value rather than the complete condition. Exam tip: for a quadratic with a parameter, calculate the discriminant and compare it with zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{21}\) और \(c=7\), इसलिए \(D=(-2\sqrt{21})^2-4(3)(7)=84-84=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{21}}{3}\) है। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D में मूलों को असमान बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को हमेशा समान वास्तविक मूलों से जोड़ें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{21}\), and \(c=7\), so \(D=(-2\sqrt{21})^2-4(3)(7)=84-84=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{21}}{3}\). Therefore, option A is correct; option D is wrong because it describes the roots as distinct. Exam tip: Remember that \(D=0\) indicates two equal real roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=-5\sqrt{2}\) और \(c=8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4(2)(8)=50-64=-14\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=50\) केवल \((-5\sqrt{2})^2\) को विविक्तकर समझने की गलती से मिलता है; उसमें \(-4ac\) घटाना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-5\sqrt{2}\), and \(c=8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4(2)(8)=50-64=-14\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from treating \((-5\sqrt{2})^2=50\) as the discriminant and forgetting to subtract \(4ac\). Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are not real.
A. दो वास्तविक और समान \(D=0\)/Two real and equal \(D=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6\), \(b=-4\sqrt{6}\) और \(c=4\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{6})^2-4(6)(4)=96-96=0\) प्राप्त होता है। \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{\sqrt{6}}{3}\) है। परीक्षा में पहले विविक्तकर का मान निकालकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / Here, \(a=6\), \(b=-4\sqrt{6}\), and \(c=4\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{6})^2-4(6)(4)=96-96=0\). A quadratic equation with \(D=0\) has two real and equal roots. In fact, the repeated root is \(x=\frac{\sqrt{6}}{3}\). In an exam, calculate the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. दो वास्तविक और समान \(D=0\)/Two real and equal \(D=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(1+\sqrt{5})\) और \(c=6+2\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(1+\sqrt{5})^2-4(6+2\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((1+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं; वास्तव में मूल \(x=1+\sqrt{5}\) है। ध्यान दें कि मूल अपरिमेय होते हुए भी समान हैं—मूलों की समानता का निर्णय पहले \(D\) से किया जाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2(1+\sqrt{5})\), and \(c=6+2\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(1+\sqrt{5})^2-4(6+2\sqrt{5})=0\), since \((1+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal; in fact, the repeated root is \(x=1+\sqrt{5}\). Although this root is irrational, the roots are still equal. Exam tip: determine the nature of the roots from the sign of \(D\) before checking whether the root is rational or irrational.
क्योंकि \( p\ne 1 \), इसलिए ( (p-1)2>0 ) होगा। अतः ( D=-(p-1)2<0 )। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: ( D=0 ) पर मूल वास्तविक और समान होते हैं, जबकि ( D>0 ) पर वे वास्तविक और असमान होते हैं। / Since \( p\ne 1 \), we have ( (p-1)2>0 ). Therefore, ( D=-(p-1)2<0 ). A negative discriminant means that the quadratic equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: ( D=0 ) gives real and equal roots, while ( D>0 ) gives real and distinct roots.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�। इसका विविक्तकर �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)� है। चूँकि �(D=16>0)� और �\(a=m+3\ne0\)�, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। समान मूलों के लिए �(D=0)� होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का मान देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / The coefficients are �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�. Its discriminant is �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)�. Since �(D=16>0)� and �\(a=m+3\ne0\)�, the equation has two real and distinct roots. Equal roots would require �(D=0)�. Exam tip: For a quadratic equation, use the sign of the discriminant to determine the nature of its roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a+2)]^2-4(a^2+6a+8)=-8(a+2)\)। अतः \(-8(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(a+2)]^2-4(a^2+6a+8)=-8(a+2)\). Thus, \(-8(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). When \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has two equal real roots; hence it is not correct. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=1)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+3)\) और \(C=(a+1)(a+2)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न हैं। साथ ही \(D=1\) पूर्ण वर्ग है और \(a\) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt D=1\) तथा दोनों मूल परिमेय होंगे; वास्तव में मूल \(a+1\) और \(a+2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) से पहले वास्तविकता जाँचें, फिर \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता तय करें। / Here \(A=1\), \(B=-(2a+3)\), and \(C=(a+1)(a+2)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, \(D=1\) is a perfect square and \(a\) is rational, so both roots are rational; in fact, they are \(a+1\) and \(a+2\). Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether roots are real, and then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-7p\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-7p)=28p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(28p>0\), अर्थात् \(p>0\)। ध्यान दें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और मूल समान होते हैं, जबकि \(p<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-7p\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-7p)=28p\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(28p>0\), which gives \(p>0\). At \(p=0\), \(D=0\) and the roots are equal, while for \(p<0\), the roots are not real. Exam tip: for distinct real roots, always check the condition \(D>0\).
एक ज्यामितीय स्थिति से निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: \(L^2-2(a+4)L+(a^2+6a+13)=0\)। \(L\) के वास्तविक मान के लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
इस द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\) है। \(L\) के वास्तविक होने के लिए \(D\geq0\) आवश्यक है, इसलिए \(4(2a+3)\geq0\), अर्थात् \(a\geq-\frac{3}{2}\)। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ; दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए शर्त \(D>0\) होगी। / For this quadratic, the discriminant is \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\). For \(L\) to be real, \(D\geq0\) is required. Thus, \(4(2a+3)\geq0\), giving \(a\geq-\frac{3}{2}\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots; use \(D>0\) when two distinct real roots are required.
यहाँ \(a=1, b=-2k, c=k^2-9\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2-9)=36\), जो हर वास्तविक \(k\) के लिए धनात्मक है। इसलिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलेंगे और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटेगा। वास्तव में, समीकरण के मूल \(x=k+3\) और \(x=k-3\) हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो अलग-अलग वास्तविक प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Here, \(a=1, b=-2k, c=k^2-9\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(k^2-9)=36\), which is positive for every real value of \(k\). Hence, the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. In fact, the roots are \(x=k+3\) and \(x=k-3\). Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real intersection points.
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) को \(y=(x-(k-1))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसके शून्यक समान हैं और विविक्तकर \(D=0\) है। परवलय का शीर्ष \((k-1,0)\) होता है, इसलिए यह प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि स्पर्श करना केवल \(k=1\) तक सीमित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो समान मूल होते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को स्पर्श करता है। / The equation \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) can be rewritten as \(y=(x-(k-1))^2\). Hence its roots are equal and the discriminant is \(D=0\). The vertex is \((k-1,0)\), so for every real value of \(k\), the parabola touches the \(x\)-axis at exactly one point. Option D is incorrect because this tangency is not restricted to \(k=1\). Exam tip: When \(D=0\), a quadratic has equal roots and its parabola touches the \(x\)-axis.
x-अक्ष पर y=0 होता है। अतः समीकरण है \(x^2-2kx+k^2+4=0\), जिसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\) है। इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय x-अक्ष को नहीं काटता। विकल्प D गलत है, क्योंकि विविक्तकर k के किसी भी वास्तविक मान के लिए -16 ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-k)^2+4\) लिखने पर तुरंत स्पष्ट होता है कि परवलय का न्यूनतम y-मान 4 है, इसलिए वह x-अक्ष से 4 इकाई ऊपर रहता है। / On the x-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+4=0\), whose discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\). Hence it has no real roots, so the parabola does not intersect the x-axis. Option D is incorrect because the discriminant remains -16 for every real value of k. Exam tip: Rewriting the equation as \(y=(x-k)^2+4\) immediately shows that the minimum y-value is 4, so the parabola stays 4 units above the x-axis.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+25\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\)। चूँकि \(D<0\) हर वास्तविक \(r\) के लिए है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता; यहाँ विविक्तकर सदैव ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+25\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would apply only if \(D=0\), but the discriminant here is always negative. Exam tip: For a quadratic with real coefficients, \(D<0\) means that it has no real roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(2+\sqrt{3})\) और \(c=7+4\sqrt{3}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(2+\sqrt{3})^2-4(7+4\sqrt{3})=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में दोहरा मूल \(x=2+\sqrt{3}\) है। विकल्प D इसलिए गलत है क्योंकि मूल अपरिमेय तो हैं, लेकिन असमान नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(2+\sqrt{3})\), and \(c=7+4\sqrt{3}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(2+\sqrt{3})^2-4(7+4\sqrt{3})=0\). Hence, the two roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=2+\sqrt{3}\). Option D is incorrect because the root is irrational but not distinct. Exam tip: When \(D=0\), a quadratic equation has two real and equal roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(2-\sqrt{5})\) और \(c=9\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(2-\sqrt{5})^2-36=4(9-4\sqrt{5})-36=-16\sqrt{5}<0\)। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B में समान वास्तविक मूल के लिए आवश्यक \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=2(2-\sqrt{5})\), and \(c=9\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(2-\sqrt{5})^2-36=4(9-4\sqrt{5})-36=-16\sqrt{5}<0\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B is incorrect because two equal real roots require \(D=0\). Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। इसलिए \(36-9h^2=0\), जिससे \(9h^2=36\), अर्थात् \(h^2=4\)। अतः \(h=\pm2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 36 का वर्गमूल लेने की भूल होती है और 9 से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के लिए हमेशा \(D=b^2-4ac=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Thus, \(36-9h^2=0\), giving \(9h^2=36\) and hence \(h^2=4\). Therefore, \(h=\pm2\), so option A is correct. Option B results from taking the square root of 36 without properly dividing by 9. Exam tip: For equal roots, always set \(b^2-4ac=0\).
