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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

समीकरण \(x^2-2(4t+1)x+(7t^2+2t+5)=0\) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(t\) के लिए सही अंतराल कौन-सा है?

The equation \(x^2-2(4t+1)x+(7t^2+2t+5)=0\) has no real roots. Which is the correct interval for \(t\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\frac{-1-\sqrt{5}}{3}<t<\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में \(a=1\), इसलिए वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) है। यहाँ \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\)। अतः \(9t^2+6t-4<0\)। इसके शून्यक \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) और \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\) हैं, तथा परवलय ऊपर की ओर खुलता है; इसलिए असमता इनके बीच सत्य होगी। अतः विकल्प A सही है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, उन्हें शामिल नहीं किया जाएगा। / For a quadratic equation, real roots do not exist when the discriminant \(D<0\). Here, \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\). Thus, \(9t^2+6t-4<0\). Its zeros are \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) and \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\), and since the quadratic has a positive leading coefficient, the expression is negative between these zeros. Hence option A is correct. At the endpoints, \(D=0\), giving equal real roots, so the endpoints must be excluded. Exam tip: for no real roots, always use the strict condition \(D<0\), not \(D\leq0\).

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समीकरण \(x^2-2(4t+1)x+(7t^2+2t+5)=0\) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(t\) के लिए सही अंतराल कौन-सा है? / The equation \(x^2-2(4t+1)x+(7t^2+2t+5)=0\) has no real roots. Which is the correct interval for \(t\)?

Correct Answer: A. \(\frac{-1-\sqrt{5}}{3}<t<\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\). Explanation: द्विघात समीकरण में \(a=1\), इसलिए वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) है। यहाँ \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\)। अतः \(9t^2+6t-4<0\)। इसके शून्यक \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) और \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\) हैं, तथा परवलय ऊपर की ओर खुलता है; इसलिए असमता इनके बीच सत्य होगी। अतः विकल्प A सही है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, उन्हें शामिल नहीं किया जाएगा। / For a quadratic equation, real roots do not exist when the discriminant \(D<0\). Here, \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\). Thus, \(9t^2+6t-4<0\). Its zeros are \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) and \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\), and since the quadratic has a positive leading coefficient, the expression is negative between these zeros. Hence option A is correct. At the endpoints, \(D=0\), giving equal real roots, so the endpoints must be excluded. Exam tip: for no real roots, always use the strict condition \(D<0\), not \(D\leq0\).