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द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। अतः \(12n-36>0\), जिससे \(12n>36\) और \(n>3\) प्राप्त होता है। \(n=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक तो होंगे, पर समान होंगे। परीक्षा में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Therefore, \(12n-36>0\), which gives \(12n>36\) and hence \(n>3\). At \(n=3\), \(D=0\), so the roots are real but equal. Exam tip: remember \(D>0\) for two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त \(D<0\) होती है। इसलिए \((z-4)(z+6)<0\) हल करना होगा। इसका गुणनफल दोनों शून्यों \(-6\) और \(4\) के बीच ऋणात्मक होता है, अतः \(-6<z<4\) सही अंतराल है। विकल्प B में गुणनफल धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो रैखिक गुणकों के गुणनफल का चिन्ह उनके शून्यों के बीच बदलता है। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, we solve \((z-4)(z+6)<0\). The product is negative between its zeros, \(-6\) and \(4\), so the correct interval is \(-6<z<4\). In option B, the product is positive, giving two real roots instead. Exam tip: for a product of two linear factors with positive leading coefficient, the sign is negative between the two zeros.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त \(D=0\) है। इसलिए \((w+2)^2=0\), जिससे \(w+2=0\) और \(w=-2\) प्राप्त होता है। \(w=2\) रखने पर विविक्तकर \(16\) होगा, इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) से समान मूल, \(D>0\) से दो भिन्न वास्तविक मूल और \(D<0\) से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is \(D=0\). Thus, \((w+2)^2=0\), which gives \(w+2=0\) and hence \(w=-2\). The distractor \(w=2\) gives \(D=16\), leading to two distinct real roots, not equal roots. Exam tip: remember that \(D=0\) indicates equal roots, \(D>0\) indicates two distinct real roots, and \(D<0\) indicates no real roots.
क्योंकि \(v\neq3\), इसलिए \((v-3)^2>0\) होगा। अतः \(D_1>0\), और धनात्मक विविक्तकर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल देता है। दूसरी ओर, \(D_2=-(v-3)^2<0\) होगा, इसलिए उससे कोई वास्तविक मूल नहीं मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) पर दो असमान वास्तविक मूल, \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Since \(v\neq3\), we have \((v-3)^2>0\). Therefore, \(D_1>0\), and a positive discriminant gives two distinct real roots of a quadratic equation. In contrast, \(D_2=-(v-3)^2<0\), so it gives no real roots. Exam tip: \(D>0\) gives two distinct real roots, \(D=0\) gives equal real roots, and \(D<0\) gives no real roots.
सही (D=4(k-2)2-4k-2=16(1-k)) है। ऐसे प्रश्नों में वर्ग खोलते समय चिन्ह न भूलें। / The correct (D=4(k-2)2-4k-2=16(1-k)). In such questions, do not miss signs while expanding squares.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-4\) और \(c=7\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(7)=16-56=-40\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः परवलय \(y=2x^2-4x+7\) \(x\)-अक्ष को नहीं काटता। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर ग्राफ का \(x\)-अक्ष से कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता। / Here, \(a=2\), \(b=-4\), and \(c=7\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(7)=16-56=-40\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, the parabola \(y=2x^2-4x+7\) does not intersect the \(x\)-axis. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason explains the assertion. Exam tip: If \(D<0\), the graph has no real point of intersection with the \(x\)-axis.
कथन: समीकरण \(x^2-2(a-b)x+(a+b)^2=0\) में यदि \(ab<0\) है, तो इसके मूल वास्तविक और असमान होंगे। कारण: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=-16ab\) है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a-b)\) और \(C=(a+b)^2\) हैं। अतः \(D=B^2-4AC=4(a-b)^2-4(a+b)^2=-16ab\)। जब \(ab<0\), तब \(-16ab>0\), इसलिए विविक्तकर धनात्मक है और दोनों मूल वास्तविक तथा असमान होते हैं। इस प्रकार कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या भी करता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो वास्तविक और असमान मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a-b)\), and \(C=(a+b)^2\). Therefore, \(D=B^2-4AC=4(a-b)^2-4(a+b)^2=-16ab\). Since \(ab<0\), we have \(-16ab>0\), so the discriminant is positive and the roots are real and distinct. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason explains the assertion. Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+16\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+16\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\). Since \(D<0\) for every real value of \(p\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: a negative discriminant means that a quadratic equation has no real roots.
द्विघात समीकरण में समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=0\\) है। यहाँ \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\) और \\(c=(k+1)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(7k^2-10k-1=0\\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\( (k-1)^2=0\\) को दर्शाता है और विविक्तकर की शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल, वास्तविक और भिन्न मूल की पहचान के लिए क्रमशः \\(D=0\\), \\(D>0\\) और \\(D<0\\) जाँचें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \\(a=2\\), \\(b=-2(3k-1)\\), and \\(c=(k+1)^2\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=4(3k-1)^2-8(k+1)^2=4(7k^2-10k-1)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(7k^2-10k-1=0\\), so option A is correct. Option B represents only \\( (k-1)^2=0\\) and does not express the discriminant condition. Exam tip: For a quadratic, check \\(D=0\\) for equal roots, \\(D>0\\) for two distinct real roots, and \\(D<0\\) for non-real roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-4)\) और \(c=m^2-7m+14\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(4(2-m)\geq0\), अर्थात् \(m\leq2\)। ध्यान रखें कि \(D=0\) पर दो समान वास्तविक मूल भी वास्तविक मूल माने जाते हैं; इसलिए सीमा \(m=2\) शामिल है। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-4)\), and \(c=m^2-7m+14\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\). For real roots, \(D\geq0\), so \(4(2-m)\geq0\), which gives \(m\leq2\). Remember that \(D=0\) gives two equal real roots, so the boundary value \(m=2\) is included.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-4)\) और \(c=m^2-7m+14\)। अतः \(D=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\)। \(D=0\) रखने पर \(4(2-m)=0\), इसलिए \(m=2\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2(m-4)\), and \(c=m^2-7m+14\). Therefore, \(D=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\). Setting \(D=0\) gives \(4(2-m)=0\), so \(m=2\). Exam tip: whenever equal roots are mentioned, immediately use the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3t+1)\) और \(c=5t^2+2t+4\) हैं। इसलिए \(D=4(3t+1)^2-4(5t^2+2t+4)=4(2t-1)(2t+3)\)। अतः \((2t-1)(2t+3)<0\), जिससे \(-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, कोई वास्तविक मूल न होने की स्थिति नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में गुणनखंडों के बीच का अंतराल चुनें, यदि अग्रणी गुणांक धनात्मक हो। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(3t+1)\), and \(c=5t^2+2t+4\). Thus, \(D=4(3t+1)^2-4(5t^2+2t+4)=4(2t-1)(2t+3)\). Therefore, \((2t-1)(2t+3)<0\), which gives \(-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2}\). At the endpoints, \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: for a positive leading coefficient, a factored quadratic is negative between its two distinct roots.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\mu\) और \(c=2\mu\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)\)। अतः \(4\mu(\mu-2)>0\) से \(\mu<0\) या \(\mu>2\) प्राप्त होता है। \(\mu=0\) या \(\mu=2\) पर \(D=0\), इसलिए मूल वास्तविक तो होंगे, पर असमान नहीं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2\mu\), and \(c=2\mu\), so \(D=b^2-4ac=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)\). Therefore, \(4\mu(\mu-2)>0\), which gives \(\mu<0\) or \(\mu>2\). At \(\mu=0\) or \(\mu=2\), \(D=0\), so the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: For two real and unequal roots, always apply the condition \(D>0\).
A. दो वास्तविक और समान मूल (\(D=0\))/Two real and equal roots (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a=7, b=-2\(\sqrt{21}\) और c=3 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{21})^2-4(7)(3)=84-84=0\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{\sqrt{21}}{7}\) है। विकल्प D में 84 को विविक्तकर समझ लिया गया है; 84 केवल \(b^2\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here, a=7, b=-2\(\sqrt{21}\), and c=3. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{21})^2-4(7)(3)=84-84=0\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{\sqrt{21}}{7}\). Option D incorrectly treats 84, which is only the value of \(b^2\), as the discriminant. Exam tip: \(D=0\) always indicates two equal real roots.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
दिया है कि \(a>0\) और \(c<0\), इसलिए \(ac<0\)। अतः \(-4ac>0\), और किसी भी वास्तविक \(b\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=b^2+(-4ac)>0\) होगा। इसलिए समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। समान मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(ac<0\), तो मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होते हैं। / Since \(a>0\) and \(c<0\), we have \(ac<0\). Therefore, \(-4ac>0\), and for any real \(b\), the discriminant \(D=b^2-4ac=b^2+(-4ac)>0\). Hence, the equation has two real and distinct roots. Equal roots would require \(D=0\), which is impossible here. Exam tip: When \(ac<0\), the roots are always real and distinct.
यहाँ द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a-b)]^2-4(a+b)^2\) है। अतः \(D=4[(a-b)^2-(a+b)^2]=-16ab\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(-16ab\geq0\), अर्थात् \(ab\leq0\)। विकल्प B में असमता की दिशा उलटी है। \(a+b=0\) होने पर शर्त पूरी हो सकती है, लेकिन यह आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\geq0\) लिखकर पैरामीटरों की शर्त निकालें। / The discriminant of the quadratic equation is \(D=[-2(a-b)]^2-4(a+b)^2\). Therefore, \(D=4[(a-b)^2-(a+b)^2]=-16ab\). For real roots, \(D\geq0\), so \(-16ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option B reverses the inequality. The condition \(a+b=0\) may satisfy the requirement, but it is not the complete necessary condition. Exam tip: begin with \(D\geq0\) whenever the nature of roots is asked.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(t+1)\) और \(c=3t+7\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(t+1)^2-4(3t+7)=4(t-3)(t+2)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \((t-3)(t+2)<0\), जिससे \(-2<t<3\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह सही शून्यों से प्राप्त अंतराल नहीं है; सिरों \(t=-2,3\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने की पहचान हमेशा \(D<0\) से करें। / Here, \(a=1\), \(b=2(t+1)\), and \(c=3t+7\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(t+1)^2-4(3t+7)=4(t-3)(t+2)\). An equation has no real roots when \(D<0\), so \((t-3)(t+2)<0\), giving \(-2<t<3\). Option B is incorrect because it does not come from the zeros \(-2\) and \(3\); at the endpoints \(t=-2,3\), \(D=0\) and the equation has equal real roots. Exam tip: For a quadratic equation, use \(D<0\) to identify the condition for no real roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) है। यहाँ \\(a=q+2\\), \\(b=-2(q-1)\\) और \\(c=q\\) हैं। इसलिए \\(D=4(q-1)^2-4q(q+2)=4(1-4q)\\)। \\(D=0\\) रखने पर \\(1-4q=0\\), अतः \\(q=\\frac14\\)। विकल्प \\(q=1\\) पर विविक्तकर शून्य नहीं है, जबकि \\(q=-2\\) में द्विघात पद समाप्त हो जाता है और यह दिए गए प्रतिबंध के कारण भी मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D=0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), equal roots occur when the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) is zero. Here, \\(a=q+2\\), \\(b=-2(q-1)\\), and \\(c=q\\). Thus, \\(D=4(q-1)^2-4q(q+2)=4(1-4q)\\). Setting \\(D=0\\) gives \\(1-4q=0\\), so \\(q=\\frac14\\). At \\(q=1\\), the discriminant is not zero, while \\(q=-2\\) removes the quadratic term and is also excluded by the condition. Exam tip: For equal roots, begin by setting the discriminant equal to zero.
समीकरण में \(a=1\), \(b=-(s+4)\) और \(c=4s\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। अतः \(D=(s+4)^2-16s=s^2-8s+16=(s-4)^2\)। इसलिए \((s-4)^2=0\), जिससे \(s=4\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(s=0\) रखने पर \(D=16\) आता है, इसलिए वह समान मूलों की स्थिति नहीं है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-(s+4)\), and \(c=4s\). Equal roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be zero. Thus, \(D=(s+4)^2-16s=s^2-8s+16=(s-4)^2\). Therefore, \((s-4)^2=0\), giving \(s=4\). The distractor \(s=0\) is incorrect because it gives \(D=16\), not zero. Exam tip: for equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-(r+5)\) और \(c=5r\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(r+5)^2-20r=(r-5)^2\)। दो वास्तविक और असमान मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \((r-5)^2>0\), अर्थात् \(r\ne5\)। विकल्प B में \(r=5\) होने पर \(D=0\), इसलिए दोनों मूल समान होंगे। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-(r+5)\), and \(c=5r\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(r+5)^2-20r=(r-5)^2\). Two real and distinct roots require \(D>0\). Hence, \((r-5)^2>0\), which gives \(r\ne5\). In option B, \(r=5\) makes \(D=0\), so the roots are equal. Exam tip: For two distinct real roots of a quadratic equation, always check that \(D>0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(k+2)]^2-4(k^2+3k+7)=4(k-3)\)। अतः \(4(k-3)\geq 0\), जिससे \(k\geq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(k=3\) पर भी मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq 0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq 0\). Here, \(D=[-2(k+2)]^2-4(k^2+3k+7)=4(k-3)\). Therefore, \(4(k-3)\geq 0\), which gives \(k\geq 3\). Option B is incorrect because \(k=3\) also gives real, equal roots. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq 0\).
A. दो वास्तविक और समान मूल \\(\\Delta=0\\)/Two real and equal roots \\(\\Delta=0\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=5\\), \\(b=-2\\sqrt{30}\\) और \\(c=6\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(\\Delta=b^2-4ac=(-2\\sqrt{30})^2-4(5)(6)=120-120=0\\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। विकल्प D में \\(\\Delta>0\\) मानकर मूलों को असमान बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \\(\\Delta=0\\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here, \\(a=5\\), \\(b=-2\\sqrt{30}\\), and \\(c=6\\). Therefore, the discriminant is \\(\\Delta=b^2-4ac=(-2\\sqrt{30})^2-4(5)(6)=120-120=0\\). Hence, the roots are real and equal. Option D is incorrect because \\(\\Delta>0\\) would indicate distinct roots. Exam tip: For a quadratic equation, \\(\\Delta=0\\) always means two equal real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((\Delta=-12)\)/No real roots \((\Delta=-12)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-4\sqrt{3}\) और \(c=5\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4(3)(5)=48-60=-12\) है। चूँकि \(\Delta<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसीलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि समान वास्तविक मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना चाहिए। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\Delta<0\) का अर्थ हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। / Here, \(a=3\), \(b=-4\sqrt{3}\), and \(c=5\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4(3)(5)=48-60=-12\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots. Option B is incorrect because equal real roots require \(\Delta=0\). Exam tip: For a quadratic equation, a negative discriminant always indicates that no real roots exist.
A. दो वास्तविक और समान/Two real and equal, \(\Delta=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-6\sqrt{2}\) और \(c=9\) हैं। अतः विभेदक \(\Delta=b^2-4ac=(-6\sqrt{2})^2-4(2)(9)=72-72=0\)। जब \(\Delta=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में समान मूल \(x=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B और D के लिए विभेदक धनात्मक होना चाहिए, जबकि यहाँ यह शून्य है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले \(\Delta\) का चिन्ह जाँचें। / Here, \(a=2\), \(b=-6\sqrt{2}\), and \(c=9\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-6\sqrt{2})^2-4(2)(9)=72-72=0\). When \(\Delta=0\), the quadratic equation has two real and equal roots. In fact, the repeated root is \(x=\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Hence, option A is correct; options B and D require a positive discriminant, whereas the discriminant here is zero. Exam tip: To determine the nature of roots, first check the sign of \(\Delta\).
A. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और वास्तविक मूल नहीं होते/The graph does not cut the (x)-axis and there are no real roots
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक (D) होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। ग्राफीय रूप में परवलय (x)-अक्ष को नहीं काटता। / When (D) is negative, no real root exists. Graphically, the parabola does not cut the (x)-axis.
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-1)]^2-4(a^2+1)=4(a-1)^2-4(a^2+1)=-8a\)। अतः \(-8a<0\), जिससे \(a>0\) प्राप्त होता है। \(a=0\) पर \(D=0\) होगा और दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ दिखे तो सबसे पहले \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(a-1)]^2-4(a^2+1)=4(a-1)^2-4(a^2+1)=-8a\). Therefore, \(-8a<0\), which gives \(a>0\). For \(a=0\), \(D=0\), so the equation has two real and equal roots. Exam tip: whenever ‘no real roots’ is stated, immediately apply the condition \(D<0\).
समीकरण को \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसके मूल \(x=a\) और \(x=b\) हैं। चूँकि a और b वास्तविक तथा असमान हैं, इसलिए दोनों मूल भिन्न वास्तविक होंगे। समान मूल केवल \(a=b\) होने पर मिलते, जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर \(D=(a-b)^2\) लिखें; \(a\neq b\) पर \(D>0\), इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / The equation can be factorised as \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0\). Hence, its roots are \(x=a\) and \(x=b\). Since a and b are real and unequal, the roots are distinct and real. Equal roots would occur only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: Use the discriminant \(D=(a-b)^2\); when \(a\neq b\), \(D>0\), which indicates two distinct real roots.
A. दो वास्तविक और असमान मूल, अर्थात् \\(a\\) और \\(a+1\\)/Two real and distinct roots, namely \\(a\\) and \\(a+1\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(A=1\\), \\(B=-(2a+1)\\) और \\(C=a(a+1)\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=B^2-4AC=(2a+1)^2-4a(a+1)=1\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में, मूल \\(a\\) और \\(a+1\\) हैं। इन्हें हमेशा परिमेय या अपरिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि यह \\(a\\) पर निर्भर करता है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर को सरल करके उसका चिह्न निर्धारित करें। / Here \\(A=1\\), \\(B=-(2a+1)\\), and \\(C=a(a+1)\\). Therefore, the discriminant is \\(D=B^2-4AC=(2a+1)^2-4a(a+1)=1\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \\(a\\) and \\(a+1\\). They cannot always be called rational or irrational, because that depends on the value of \\(a\\). Exam tip: simplify the discriminant first and then determine its sign.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2-5p)=20p\) होगा। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(20p>0\), अर्थात् \(p>0\)। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दोनों मूल समान हो जाते हैं, जबकि \(p<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2-5p)=20p\). A quadratic equation has two real and distinct roots only when \(D>0\). Hence, \(20p>0\), which gives \(p>0\). For \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal; for \(p<0\), the roots are non-real. Exam tip: For distinct real roots, always apply the condition \(D>0\).
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। अतः समीकरण \(x^2-2kx+k^2-4=0\) प्राप्त होता है। इसका विविक्तकर \(\Delta=(-2k)^2-4(1)(k^2-4)=16>0\) है, इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दो अलग-अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। वास्तव में मूल \(x=k-2\) और \(x=k+2\) हैं, इसलिए परवलय \((k-2,0)\) और \((k+2,0)\) पर \(x\)-अक्ष को काटता है। \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा दो भिन्न वास्तविक प्रतिच्छेद-बिंदु होता है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Therefore, we solve \(x^2-2kx+k^2-4=0\). Its discriminant is \(\Delta=(-2k)^2-4(1)(k^2-4)=16>0\), so for every real value of \(k\), the equation has two distinct real roots. In fact, the roots are \(x=k-2\) and \(x=k+2\), so the parabola intersects the \(x\)-axis at \((k-2,0)\) and \((k+2,0)\). Remember: \(\Delta>0\) indicates two distinct points of intersection.
