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A. केवल एक बिंदु पर स्पर्श करेगा/It will touch at exactly one point
Explanation
Simple Explanation
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\) है। x-अक्ष पर \(y=0\), इसलिए \((x-k)^2=0\), जिससे \(x=k\) का एक दोहराया हुआ मूल मिलता है। अतः परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु \((k,0)\) पर स्पर्श करता है। दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ सदैव समान मूल और x-अक्ष को स्पर्श करना होता है। / The equation can be written as \(y=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). On the x-axis, \(y=0\), so \((x-k)^2=0\), giving the repeated root \(x=k\). Therefore, the parabola touches the x-axis at exactly one point, \((k,0)\), for every real value of \(k\). It does not cut the axis at two distinct points because that would require \(D>0\), whereas here \(D=0\). Exam tip: for a quadratic, \(D=0\) indicates equal roots and tangency to the x-axis.
A. कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं/No real intersection
Explanation
Simple Explanation
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए समीकरण \(x^2-2kx+k^2+1=0\) प्राप्त होता है। इसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(1)(k^2+1)=-4<0\) है, अतः किसी भी वास्तविक \(k\) के लिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को नहीं काटता। इसी बात को \(y=(x-k)^2+1\ge 1\) से भी देखा जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर द्विघात ग्राफ और \(x\)-अक्ष का कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता। / On the \(x\)-axis, \(y=0\), so we get \(x^2-2kx+k^2+1=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(1)(k^2+1)=-4<0\), so it has no real roots for any real \(k\). Hence, the parabola has no real intersection with the \(x\)-axis. Equivalently, \(y=(x-k)^2+1\ge 1\), so its vertex always lies one unit above the \(x\)-axis. Exam tip: For a quadratic graph, \(D<0\) means there are no real intersections with the \(x\)-axis.
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2r)^2-4(1)(r^2+9)=-36\) है। यह प्रत्येक वास्तविक \(r\) के लिए ऋणात्मक रहता है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। वास्तव में मूल \(r\pm3i\) हैं, जो समिश्र और गैर-वास्तविक हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / The discriminant of the quadratic is \(D=b^2-4ac=(-2r)^2-4(1)(r^2+9)=-36\). It remains negative for every real value of \(r\), so the equation has no real roots. In fact, its roots are \(r\pm3i\), which are complex and non-real. Exam tip: If \(D<0\), a quadratic equation has no real roots.
यहाँ \\(a=1\\), \\(b=-2(3+\sqrt{2})\\) और \\(c=17+12\sqrt{2}\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{2})^2-4(17+12\sqrt{2})=-24(1+\sqrt{2})<0\\)। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र संयुग्मी होंगे। ध्यान रखें कि \\(D=0\\) होने पर ही मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \\(a=1\\), \\(b=-2(3+\sqrt{2})\\), and \\(c=17+12\sqrt{2}\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{2})^2-4(17+12\sqrt{2})=-24(1+\sqrt{2})<0\\). Hence, the quadratic has no real roots; its roots are a pair of complex conjugates. Remember that real and equal roots occur only when \\(D=0\\).
यहाँ \(a=1\), \(b=2(1-\sqrt{3})\) और \(c=4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(1-\sqrt{3})^2-16=-8\sqrt{3}<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(D=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक या सम्मिश्र होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=2(1-\sqrt{3})\), and \(c=4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(1-\sqrt{3})^2-16=-8\sqrt{3}<0\). Hence, the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates non-real, or complex, roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। इसलिए \(8m-24\geq 0\), अर्थात \(8m\geq 24\), जिससे \(m\geq 3\) प्राप्त होता है। \(m=3\) पर दोनों मूल समान होंगे, जबकि \(m>3\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। परीक्षा-टिप: विविक्तकर की असमानता हल करते समय धनात्मक या ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता की दिशा अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Thus, \(8m-24\geq 0\), which gives \(8m\geq 24\) and hence \(m\geq 3\). At \(m=3\), the roots are equal; for \(m>3\), the roots are distinct and real. Exam tip: when solving a discriminant inequality, check whether dividing by a negative quantity would reverse the inequality sign.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \((u+1)(u-5)<0\)। इस गुणनफल के दोनों रैखिक गुणनखंडों के शून्यक \(-1\) और \(5\) हैं, इसलिए गुणनफल इनके बीच ऋणात्मक होता है और \(-1<u<5\) मिलता है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले विविक्तकर की शर्त लिखकर संख्या रेखा पर शून्यकों के बीच का चिह्न जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Therefore, \((u+1)(u-5)<0\). The zeros of the two factors are \(-1\) and \(5\), and their product is negative between these values, giving \(-1<u<5\). At the endpoints, \(D=0\), so the equation has two equal real roots. Exam tip: First write the required discriminant condition, then check the sign of the product between its critical values.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की आवश्यक शर्त विविक्तकर D = 0 है। इसलिए (s − 2)2 = 0, जिससे s − 2 = 0 और s = 2 प्राप्त होता है। s = −2 लेने पर विविक्तकर 16 हो जाएगा, जो दो भिन्न वास्तविक मूलों को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के लिए हमेशा D = 0 याद रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is D = 0. Hence, (s − 2)2 = 0, which gives s − 2 = 0 and therefore s = 2. If s = −2, the discriminant becomes 16, indicating two distinct real roots. Exam tip: remember that equal roots require D = 0.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) आवश्यक है। चूँकि \(r\neq0\), इसलिए \(r^2>0\) और \(D_1=4r^2>0\), अतः विकल्प A सही है। \(D_2<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, जबकि \(D_3=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) को क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूलों से मिलाएँ। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Two distinct real roots require \(D>0\). Since \(r\neq0\), we have \(r^2>0\), so \(D_1=4r^2>0\); hence option A is correct. \(D_2<0\) gives no real roots, while \(D_3=0\) gives equal real roots. Exam tip: remember the sequence \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) for distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
विकल्प A के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4(1)(-1)=8+4=12\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं। साथ ही, \(\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए मूल \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) अपरिमेय हैं। विकल्प B में विविक्तकर शून्य है, C में ऋणात्मक है और D में मूल 2 तथा 3 परिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और असमान मूलों के लिए \(D>0\), जबकि अपरिमेय मूलों के लिए विविक्तकर का वर्गमूल अपरिमेय होना चाहिए। / For option A, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{2})^2-4(1)(-1)=8+4=12\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, \(\sqrt{D}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) is irrational, giving the roots \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\), both of which are irrational. In option B, the discriminant is zero; option C has a negative discriminant; and option D has the rational roots 2 and 3. Exam tip: real and distinct roots require \(D>0\), while irrational roots require the square root of the discriminant to be irrational.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की आवश्यक और पर्याप्त शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। विकल्प A में \(a=7\), \(b=-10\sqrt{7}\) और \(c=25\) हैं, इसलिए \(D=(-10\sqrt{7})^2-4(7)(25)=700-700=0\)। अतः इसके दोनों मूल समान हैं। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \(D=(-9\sqrt{7})^2-700=-133\), इसलिए उसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए पूरी quadratic formula लगाने के बजाय सीधे \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), equal roots occur if and only if the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. In option A, \(a=7\), \(b=-10\sqrt{7}\), and \(c=25\), so \(D=(-10\sqrt{7})^2-4(7)(25)=700-700=0\). Hence, its two roots are equal. For instance, option B has \(D=(-9\sqrt{7})^2-700=-133\), so it does not have real roots. Exam tip: To identify equal roots, check \(D=0\) directly instead of using the full quadratic formula.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4[(k+1)^2-k^2]=4(2k+1)\)। विकल्प B में \(k\) से जुड़े पदों को अनदेखा किया गया है, जबकि विकल्प D में स्थिर पद \(4\) छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) पहचानकर विविक्तकर का सूत्र लगाएँ, फिर बीजीय सरलीकरण करें। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2\). Hence, \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4[(k+1)^2-k^2]=4(2k+1)\). Option B ignores the terms involving \(k\), while option D omits the constant term \(4\). Exam tip: identify \(a,b,c\) carefully before applying the discriminant formula, and simplify only afterward.
कथन: समीकरण \(x^2-2(a+b)x+(a-b)^2=0\) में यदि \(ab>0\) है, तो इसके मूल वास्तविक और असमान हैं। कारण: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=16ab\) है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=(a-b)^2\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\)। चूँकि \(ab>0\), इसलिए \(D>0\), और द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक तथा असमान होते हैं। अतः कारण सही है और वह कथन को सीधे सिद्ध करता है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) का चिह्न निर्धारित करें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=(a-b)^2\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\). Since \(ab>0\), we have \(D>0\), so the roots are real and distinct. Therefore, the reason is correct and directly explains the assertion. Exam tip: Determine the sign of \(D\) first; \(D>0\) indicates two real and distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+q^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2+q^2)=-4q^2\) है। चूँकि \(q\ne0\), इसलिए \(D<0\), अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। वास्तव में मूल \(p\pm iq\) हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) दिखते ही निष्कर्ष निकालें कि वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+q^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2+q^2)=-4q^2\). Since \(q\ne0\), \(D<0\), so the equation has no real roots. In fact, its roots are \(p\pm iq\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) immediately implies that the roots are not real.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-q^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-q^2)=4q^2\) होगा। चूँकि \(q\neq 0\), इसलिए \(D=4q^2>0\), जिससे दो वास्तविक और असमान मूल प्राप्त होते हैं। वास्तव में मूल \(p+q\) और \(p-q\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा दो वास्तविक और असमान मूल होता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-q^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-q^2)=4q^2\). Since \(q\neq 0\), we have \(D=4q^2>0\), so the equation has two real and distinct roots. In fact, the roots are \(p+q\) and \(p-q\). Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) always indicates two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण में दो असमान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\) और \(c=(k+1)^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\)। अतः \(k^2-2k-2>0\), अर्थात् \((k-1)^2>3\), जिससे \(k<1-\sqrt{3}\) या \(k>1+\sqrt{3}\) प्राप्त होता है। सीमांत मानों पर \(D=0\) होता है और मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two distinct real roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\), and \(c=(k+1)^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\). Therefore, \(k^2-2k-2>0\), or equivalently \((k-1)^2>3\), which gives \(k<1-\sqrt{3}\) or \(k>1+\sqrt{3}\). At the endpoint values, \(D=0\), so the roots are equal. Exam tip: for two distinct real roots, first impose the condition \(D>0\).
A. \(k=1+\sqrt{3}\) या \(k=1-\sqrt{3}\)/\(k=1+\sqrt{3}\) or \(k=1-\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\) और \(c=(k+1)^2\) हैं। अतः \(D=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\)। इसलिए \(k^2-2k-2=0\), जिससे \(k=1\pm\sqrt{3}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मिलने वाले मान गलत गुणनखंडन से आते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\), and \(c=(k+1)^2\). Thus, \(D=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\). Setting this equal to zero gives \(k^2-2k-2=0\), so \(k=1\pm\sqrt{3}\). The values in option B result from incorrect factorisation. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-2)\) और \(c=m^2-3m+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) आवश्यक है, इसलिए \(-4m<0\), अर्थात \(m>0\)। ध्यान रखें कि \(m=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने पर हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-2)\), and \(c=m^2-3m+4\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\). For the equation to have no real roots, \(D<0\), so \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Note that when \(m=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For a quadratic equation with no real roots, directly apply the condition \(D<0\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=1\\), \\(b=2(m-2)\\) और \\(c=m^2-3m+4\\) हैं। अतः \\(D=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\\)। \\(D=0\\) रखने पर \\(m=0\\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=1\\), \\(b=2(m-2)\\), and \\(c=m^2-3m+4\\). Therefore, \\(D=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\\). Setting \\(D=0\\) gives \\(m=0\\). Exam tip: Whenever equal roots are mentioned, immediately use \\(b^2-4ac=0\\).
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: \\(a=\alpha+1\\), \\(b=-2\alpha\\), और \\(c=\alpha\\)। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4\alpha^2-4\alpha(\alpha+1)=-4\alpha\\)। वास्तविक मूलों के लिए \\(D\ge0\\) होना चाहिए, इसलिए \\(-4\alpha\ge0\\), अर्थात् \\(\alpha\le0\\)। इसमें \\(\alpha=0\\) भी शामिल है, जबकि \\(\alpha=-1\\) पहले से ही दिए गए प्रतिबंध के कारण मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात प्रश्नों में पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ और फिर यह जाँचें कि द्विघात गुणांक शून्य न हो। / The coefficients are \\(a=\alpha+1\\), \\(b=-2\alpha\\), and \\(c=\alpha\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4\alpha^2-4\alpha(\alpha+1)=-4\alpha\\). For real roots, \\(D\ge0\\), so \\(-4\alpha\ge0\\), which gives \\(\alpha\le0\\). The value \\(\alpha=0\\) is included, whereas \\(\alpha=-1\\) is already excluded because it would make the quadratic coefficient zero. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, apply \\(D\ge0\\) and also verify that the coefficient of \\(x^2\\) is non-zero.
A. \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)/\(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\lambda\) और \(c=\lambda\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(\lambda-1)\)। अतः \(D=0\) के लिए \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(\lambda=0\) छूट गया है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\lambda\), and \(c=\lambda\), so \(D=b^2-4ac=4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(\lambda-1)\). Setting \(D=0\) gives \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\). Hence, option A is correct. Option B is incomplete because it omits \(\lambda=0\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
A. दो वास्तविक और समान मूल/Two real and equal roots \(D=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{6}\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4(3)(2)=24-24=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर ही कोई वास्तविक मूल नहीं होता, जबकि \(D=0\) समान मूलों को दर्शाता है। / Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{6}\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4(3)(2)=24-24=0\). When \(D=0\), the quadratic equation has two real and equal roots. Hence, option A is correct. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, while \(D=0\) specifically indicates equal real roots.
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4ac=-4ac\) होगा। क्योंकि \(a>0\) और \(c>0\), इसलिए \(ac>0\) तथा \(D<0\)। अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र संयुग्मी होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) आवश्यक होता है, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) देखते ही निष्कर्ष निकालें—कोई वास्तविक मूल नहीं। / The discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4ac=-4ac\). Since \(a>0\) and \(c>0\), we have \(ac>0\), so \(D<0\). Therefore, the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Option B is incorrect because equal real roots require \(D=0\), not \(D<0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude immediately that there are no real roots.
विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(a^2+b^2)=4(a+b)^2-4(a^2+b^2)=8ab\) है। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(8ab\geq0\), अर्थात् \(ab\geq0\)। विकल्प B का संबंध सामान्यतः \(D\leq0\) देता है और वास्तविक मूलों की गारंटी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(a^2+b^2)=4(a+b)^2-4(a^2+b^2)=8ab\). For real roots, \(D\geq0\), so \(8ab\geq0\), which gives \(ab\geq0\). Option B generally gives \(D\leq0\) and does not ensure real roots. Exam tip: For a quadratic equation, first apply the condition \(D\geq0\) to test for real roots.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के वास्तविक और असमान मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=(a-b)^2\) हैं। इसलिए \(D=[-2(a+b)]^2-4(a-b)^2=16ab\)। अतः \(16ab>0\), जिससे \(ab>0\) प्राप्त होता है। \(ab=0\) होने पर मूल समान होंगे, जबकि \(ab<0\) होने पर मूल अवास्तविक होंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर को सरल करके उसका चिह्न निर्धारित करें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=(a-b)^2\). Thus, \(D=[-2(a+b)]^2-4(a-b)^2=16ab\). The condition \(D>0\) gives \(16ab>0\), and hence \(ab>0\). If \(ab=0\), the roots are equal, while \(ab<0\) gives non-real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=k\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k+3\) हैं। अतः \(D=4(k+1)^2-4k(k+3)=4(1-k)\)। \(D=0\) रखने पर \(k=1\) प्राप्त होता है, और यह \(k\neq0\) की शर्त को भी संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरणों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k+3\). Therefore, \(D=4(k+1)^2-4k(k+3)=4(1-k)\). Setting \(D=0\) gives \(k=1\), which also satisfies \(k\neq0\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, apply \(D=0\) directly.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+5\), इसलिए \(D=[2(k-1)]^2-4(k+5)=4(k^2-3k-4)=4(k-4)(k+1)\)। अतः \((k-4)(k+1)<0\), जिसका हल \(-1<k<4\) है। विकल्प D में विविक्तकर शून्य होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D<0\) लिखकर गुणनखंडों के मूलों के बीच का अंतराल चुनें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+5\), so \(D=[2(k-1)]^2-4(k+5)=4(k^2-3k-4)=4(k-4)(k+1)\). Thus, \((k-4)(k+1)<0\), giving \(-1<k<4\). In option D, the discriminant is zero, so the equation has two equal real roots. Exam tip: write \(D<0\) first and select the interval between the two critical values.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-(k+4)\) और \(c=2k\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(k+4)^2-16k=(k-4)^2\)। अतः \((k-4)^2=0\) से \(k=4\) मिलता है। उदाहरण के लिए \(k=-4\) रखने पर \(D=64\), इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / Equal roots require the discriminant to be zero. Here \(a=2\), \(b=-(k+4)\), and \(c=2k\), so \(D=b^2-4ac=(k+4)^2-16k=(k-4)^2\). Thus, \((k-4)^2=0\) gives \(k=4\). For example, when \(k=-4\), \(D=64\), so the roots are not equal. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-(k+4)\) और \(c=2k\), इसलिए \(D=(k+4)^2-16k=k^2-8k+16=(k-4)^2\)। अतः \((k-4)^2=0\) से \(k=4\)। परीक्षा में याद रखें: द्विघात समीकरण के समान मूलों की शर्त हमेशा \(D=0\) होती है। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=2\), \(b=-(k+4)\), and \(c=2k\). Thus, \(D=(k+4)^2-16k=k^2-8k+16=(k-4)^2\). Setting this equal to zero gives \(k=4\). The other values do not make the discriminant zero. Exam tip: equal roots in a quadratic equation always require \(D=0\).
यहाँ \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\) और \(c=p+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\), इसलिए \(p\leq 0\)। साथ ही \(p=-1\) दिया हुआ है, इसलिए अंतिम शर्त \(p\leq 0,\ p\ne -1\) होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) लगाएँ और जाँचें कि समीकरण वास्तव में द्विघात है। / Here, \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\), and \(c=p+4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\). For real roots, \(D\geq 0\), which gives \(p\leq 0\). Since \(p=-1\) is excluded, the complete condition is \(p\leq 0,\ p\ne -1\). Option B is incorrect because at \(p=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For real roots, apply \(D\geq 0\) and also verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
