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द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और अलग-अलग मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(m+3)^2-4(1)(3m)=m^2-6m+9=(m-3)^2\)। यह मान \(m=3\) पर शून्य और अन्य सभी मानों पर धनात्मक होता है। इसलिए आवश्यक शर्त \(m\ne3\) है। विकल्प B में मूल वास्तविक तो होंगे, लेकिन समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग मूलों के लिए हमेशा \(D>0\), समान मूलों के लिए \(D=0\), और अवास्तविक मूलों के लिए \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(D=(m+3)^2-4(1)(3m)=m^2-6m+9=(m-3)^2\). This is zero when \(m=3\) and positive for every other real value of \(m\). Therefore, the required condition is \(m\ne3\). In option B, the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: use \(D>0\) for distinct real roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2+4\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\)। अतः \(8k-12\geq0\), जिससे \(k\geq\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है। \(k=\frac{3}{2}\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए उसे केवल एकमात्र मान कहना गलत है। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2+4\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\). Thus, \(8k-12\geq0\), giving \(k\geq\frac{3}{2}\). At \(k=\frac{3}{2}\), the roots are equal and real, so option C is too restrictive. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots and \(D>0\) only for distinct real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \(\Delta=-4\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2\sqrt{5}\) और \(c=6\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4(1)(6)=20-24=-4\) है। चूँकि \(\Delta<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूल वास्तविक नहीं होते; \(\Delta=0\) होने पर ही मूल वास्तविक और समान होते हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2\sqrt{5}\), and \(c=6\). Thus, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4(1)(6)=20-24=-4\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: a negative discriminant means the roots are non-real; equal real roots occur only when \(\Delta=0\).
A. दो वास्तविक और समान (\(D=0\))/Two real and equal (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=4\), \(b=-4\sqrt{3}\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4(4)(3)=48-48=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, मूल \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) दोहराया जाता है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि यहाँ \(D=4\) नहीं बल्कि \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान निकालें। / Here, \(a=4\), \(b=-4\sqrt{3}\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4(4)(3)=48-48=0\). When \(D=0\), the quadratic equation has two real and equal roots. In fact, the repeated root is \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Thus, option B is incorrect because the discriminant is not \(4\); it is \(0\). Exam tip: To determine the nature of the roots, first calculate \(D=b^2-4ac\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2k\) और \(c=27\), इसलिए \((-2k)^2-4(3)(27)=0\), अर्थात् \(4k^2=324\)। इससे \(k^2=81\) और \(k=\pm9\)। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=3\), \(b=-2k\), and \(c=27\), so \((-2k)^2-4(3)(27)=0\), giving \(4k^2=324\). Hence \(k^2=81\), and therefore \(k=\pm9\). Thus, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant equal to zero.
यहां (D=52-4\cdot2\cdot(-12)=121), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D=121) धनात्मक पूर्ण वर्ग भी है। / Here (D=52-4\cdot2\cdot(-12)=121), so there are two distinct real roots. In exams, (D=121) is also a positive perfect square.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(m+1)\) और \(c=16\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-64=0\), जिससे \((m+1)^2=16\) प्राप्त होता है। अतः \(m+1=\pm4\), इसलिए \(m=3\) या \(m=-5\)। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(m+1)\), and \(c=16\). Thus, \(D=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-64=0\), giving \((m+1)^2=16\). Hence, \(m+1=\pm4\), so \(m=3\) or \(m=-5\). Exam tip: In questions involving equal roots of a quadratic equation, begin by using \(D=0\).
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-7)2-4\cdot2\cdot6=1), इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में (D=1) भी धनात्मक पूर्ण वर्ग है। / Here (D=(-7)2-4\cdot2\cdot6=1), so the roots are two distinct real roots. In exams, (D=1) is also a positive perfect square.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=k+2\) और \(c=9\), इसलिए \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=0\)। अतः \((k+2)^2=36\), जिससे \(k+2=\pm6\) और \(k=4\) या \(k=-8\)। विकल्प B में चिह्नों का उलटा प्रयोग हुआ है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लिखें। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=k+2\), and \(c=9\), so \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=0\). Therefore, \((k+2)^2=36\), giving \(k+2=\pm6\) and hence \(k=4\) or \(k=-8\). Option B results from reversing the signs incorrectly. Exam tip: For equal roots, begin by setting the discriminant \(D\) equal to zero.
यहां (D=(-2)2-4\cdot5\cdot3=-56), इसलिए (D<0)। परीक्षा में ऋणात्मक (D) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-2)2-4\cdot5\cdot3=-56), so (D<0). In exams, negative (D) means no real roots.
यहाँ \(a=3\), \(b=-5\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\) है। चूँकि \(\Delta>0\), इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। \(\Delta=0\) होने पर ही दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान निकालें। / Here, \(a=3\), \(b=-5\), and \(c=2\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\). Since \(\Delta>0\), the equation has two distinct real roots. Two equal real roots occur only when \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: calculate the discriminant first to determine the nature of the roots.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k-2)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(16(1-k)<0\), अर्थात् \(k>1\)। ध्यान दें कि \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ है कि मूल वास्तविक नहीं हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2(k-2)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\). No real roots require \(D<0\), so \(16(1-k)<0\), which gives \(k>1\). At \(k=1\), however, \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल (\(\Delta=1\))/Two real, rational and distinct roots (\(\Delta=1\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-19\) और \(c=90\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\) है। चूँकि \(\Delta\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे; वास्तव में मूल 9 और 10 हैं। विकल्प B के लिए \(\Delta=0\) होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\Delta>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-19\), and \(c=90\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\). Since \(\Delta\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct; in fact, they are 9 and 10. Option B would require \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that they are rational.
यहाँ \(a=5, b=-14, c=11\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=24\) लिया गया है, जो गणना में चिह्न की गलती के कारण आता है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते हैं, \(D=0\) पर समान और \(D>0\) पर असमान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=5, b=-14, c=11\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from a sign error that gives \(D=24\). Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=12, c=37\), इसलिए \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D=0\) होने पर ही दो समान वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। परीक्षा में पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=12, c=37\), so \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. The condition \(D=0\), given in option B, would instead indicate two equal real roots. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
A. दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल \(D=1\)/Two distinct real rational roots \(D=1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-21\) और \(c=110\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-21)^2-4(1)(110)=441-440=1\) है। चूँकि \(D>0\) और 1 एक पूर्ण वर्ग है, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल होंगे। अतः विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से मूल भिन्न और वास्तविक, जबकि पूर्ण वर्ग विविक्तकर से उनकी परिमेयता पहचानी जाती है। / Here, \(a=1\), \(b=-21\), and \(c=110\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-21)^2-4(1)(110)=441-440=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the equation has two distinct real rational roots. Therefore, option A is correct; equal roots occur only when \(D=0\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that the roots are rational.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-20)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=30\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(30)=100-120=-20\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=30\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(30)=100-120=-20\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: the sign of the discriminant directly determines the nature of the roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=p\), \(b=-18\) और \(c=9\), इसलिए \((-18)^2-4(p)(9)=0\), अर्थात \(324-36p=0\)। अतः \(p=9\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले द्विघात समीकरण में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=p\), \(b=-18\), and \(c=9\), so \((-18)^2-4(p)(9)=0\), giving \(324-36p=0\) and hence \(p=9\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के समान वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) है। यहाँ \\(a=4, b=-9, c=q\\) हैं, इसलिए \\(D=(-9)^2-4(4)(q)=81-16q\\)। अतः \\(81-16q=0\\), जिससे \\(q=\\frac{81}{16}\\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के लिए सीधे \\(D=0\\) लगाएँ। / A quadratic equation has two real and equal roots when its discriminant satisfies \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4, b=-9, c=q\\), so \\(D=(-9)^2-4(4)(q)=81-16q\\). Setting this equal to zero gives \\(q=\\frac{81}{16}\\). Exam tip: for equal roots, immediately use the condition \\(D=0\\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-5)\) और \(c=36\) हैं। इसलिए \(D=4(k-5)^2-144=0\), अर्थात \((k-5)^2=36\)। अतः \(k-5=\pm6\), जिससे \(k=11\) या \(k=-1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k-5)\), and \(c=36\). Thus, \(D=4(k-5)^2-144=0\), which gives \((k-5)^2=36\). Therefore, \(k-5=\pm6\), so \(k=11\) or \(k=-1\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
A. मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(\Delta=144\) एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है। \(\Delta>0\) होने से दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग होते हैं, जबकि पूर्ण वर्ग होने से, परिमेय गुणांकों वाले समीकरण में, मूल परिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(\Delta=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) से पहले वास्तविकता तथा पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता जाँचें। / The discriminant \(\Delta=144\) is a positive perfect square. Since \(\Delta>0\), the two roots are real and distinct; because the coefficients are rational and the discriminant is a perfect square, the roots are rational. Hence, option A is correct. Option B is true only when \(\Delta=0\). Exam tip: first use the sign of \(\Delta\) to determine whether the roots are real and distinct, and then check whether it is a perfect square to determine rationality.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(1)=41\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा 41 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसके लिए विविक्तकर धनात्मक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और अपूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, असमान और अपरिमेय होते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(1)=41\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because 41 is not a perfect square, they are also irrational. Option B is incorrect because rational roots in this test require a positive perfect-square discriminant. Exam tip: when \(D>0\) and is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। साथ ही, \\(121\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय हैं। वास्तव में, समीकरण के मूल \\(x=\frac{2}{5}\\) और \\(x=\frac{3}{2}\\) हैं। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है। परीक्षा-टिप: \\(D>0\\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेय मूल निर्धारित करें। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. Also, \\(121\\) is a perfect square, so both roots are rational. In fact, the roots are \\(x=\frac{2}{5}\\) and \\(x=\frac{3}{2}\\). Therefore, option A is correct; option D is incorrect because the discriminant is a perfect square. Exam tip: Use \\(D>0\\) for distinct real roots, and check whether \\(D\\) is a perfect square to decide if they are rational.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-47)\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=1, c=4\), इसलिए \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D<0\) का अर्थ वास्तविक मूलों का न होना, जबकि \(D=0\) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होना है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=1, c=4\), so \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates two equal real roots.
A. (D=9)�, दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल/�(D=9)�, two distinct real rational roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के लिए विविक्तकर �D=b-2-4ac� होता है। यहाँ �a=1,b=15,c=54� हैं, इसलिए �D=152-4(1)(54)=225-216=9�। चूँकि �D>0� और 9 एक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होंगे। वास्तव में समीकरण �(x+6)(x+9)=0� है, जिससे मूल �-6� और �-9� प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: �D>0� पर मूल भिन्न वास्तविक होते हैं; यदि �D� पूर्ण वर्ग हो, तो वे परिमेय भी होते हैं। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, the discriminant is �D=b-2-4ac�. Here, �a=1,b=15,c=54�, so �D=152-4(1)(54)=225-216=9�. Since �D>0� and 9 is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational. In fact, �(x+6)(x+9)=0�, giving the roots �-6� and �-9�. Exam tip: �D>0� indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates rational roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल \((D=0)\)/Two real and equal roots \((D=0)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=12\), \(b=-12\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(12)(3)=144-144=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, समीकरण \(3(2x-1)^2=0\) है, इसलिए समान मूल \(x=\frac{1}{2}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D>0\) होने पर मूल असमान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) को देखते ही समान वास्तविक मूल चुनें। / Here, \(a=12\), \(b=-12\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(12)(3)=144-144=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \(3(2x-1)^2=0\), giving the repeated root \(x=\frac{1}{2}\). Option B is incorrect because \(D>0\) gives two distinct real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates equal real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-47)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=3\) और \(c=2\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=3\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\), but the discriminant here is negative. Exam tip: To determine the nature of the roots, first calculate the sign of \(D=b^2-4ac\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=8, b=2, c=-3\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=2^2-4(8)(-3)=100\\)। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा \\(100\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \\(\frac{1}{2}\\) और \\(-\frac{3}{4}\\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, असमान और परिमेय होते हैं। / Here, \\(a=8, b=2, c=-3\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=2^2-4(8)(-3)=100\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct; since \\(100\\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \\(\frac{1}{2}\\) and \\(-\frac{3}{4}\\). Exam tip: If \\(D>0\\) and the discriminant is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=-14\) और \(c=7\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(7)(7)=196-196=0\)। द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण कथन की सही व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का मान निकालें। / Here, \(a=7\), \(b=-14\), and \(c=7\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(7)(7)=196-196=0\). For a quadratic equation, \(D=0\) means that the two roots are real and equal. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: Calculate \(D=b^2-4ac\) first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=5\) हैं, इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ऋणात्मक विविक्तकर यह भी बताता है कि समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(b\) ऋणात्मक हो तो भी \(b^2\) धनात्मक होगा। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=5\), so \(D=(-3)^2-4(2)(5)=9-40=-31\). Therefore, option A is correct. Since the discriminant is negative, the equation has no real roots. Exam tip: even when \(b\) is negative, \(b^2\) is positive.
