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यदि परिमेय गुणांकों वाले किसी द्विघात समीकरण का परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है और उसका विविक्तकर \(D\) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो उसके मूल कैसे होंगे?
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
परवलय का x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटना \(D>0\) दर्शाता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण में \(D\) यदि पूर्ण वर्ग नहीं है, तो सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) के कारण मूल अपरिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B तब सही होता जब \(D\) पूर्ण वर्ग होता। परीक्षा-टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A parabola intersecting the x-axis at two distinct points means \(D>0\), so the roots are real and distinct. For a quadratic equation with rational coefficients, if \(D\) is not a perfect square, then \(\sqrt{D}\) is irrational; hence, from \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), both roots are irrational. Therefore, option A is correct. Option B would apply when \(D\) is a perfect square. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
A. दो भिन्न वास्तविक अपरिमेय मूल/Two distinct real irrational roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) होने पर दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। यहाँ \(\Delta=27\) धनात्मक है, इसलिए मूल भिन्न और वास्तविक होंगे। चूँकि \(27\) पूर्ण वर्ग नहीं है और गुणांक परिमेय हैं, मूल अपरिमेय होंगे। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः भिन्न वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation, \(\Delta>0\) means that the roots are real and distinct. Since \(\Delta=27\) is positive, the roots are distinct and real. Also, 27 is not a perfect square; with rational coefficients, the roots are therefore irrational. Hence, option A is correct. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
A. \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या/or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3\\), \\(b=k-2\\) और \\(c=4\\), इसलिए \\(D=(k-2)^2-48\\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, अतः \\((k-2)^2>48\\)। इससे \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), यानी \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, जबकि सीमांत मानों पर मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D>0\\) जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3\\), \\(b=k-2\\), and \\(c=4\\), so \\(D=(k-2)^2-48\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\), which gives \\((k-2)^2>48\\). Hence \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), so \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Therefore, option A is correct. In option B, the discriminant is negative, and at the boundary values the roots are equal. Exam tip: for distinct real roots, always check \\(D>0\\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=(k+2)^2-36\) है। अतः \((k+2)^2<36\), जिससे \(-6<k+2<6\) और इसलिए \(-8<k<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=(k+2)^2-36\). Thus, \((k+2)^2<36\), giving \(-6<k+2<6\), and hence \(-8<k<4\). In option B, \(D>0\), so the equation has two distinct real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+4)\) और \(c=25\), इसलिए \(D=4(k+4)^2-100=0\)। अतः \((k+4)^2=25\), यानी \(k+4=\pm5\)। इसलिए \(k=1\) या \(k=-9\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k+4)\), and \(c=25\), so \(D=4(k+4)^2-100=0\). Thus, \((k+4)^2=25\), giving \(k+4=\pm5\). Therefore, \(k=1\) or \(k=-9\), so option A is correct. Exam tip: For equal-root questions, directly apply the condition \(D=0\).
A. \\(k\\le -\\sqrt{10}\\) या/or \\(k\\ge \\sqrt{10}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \\(a=5\\), \\(b=2k\\) और \\(c=2\\) हैं। वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\ge 0\\) होना चाहिए। इसलिए \\(D=(2k)^2-4(5)(2)=4(k^2-10)\\ge0\\), जिससे \\(k^2\\ge10\\) और अतः \\(k\\le-\\sqrt{10}\\) या \\(k\\ge\\sqrt{10}\\) मिलता है। विकल्प B में \\(D<0\\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D\\ge0\\) लगाएँ; बराबरी की स्थिति में दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / For the quadratic equation, \\(a=5\\), \\(b=2k\\), and \\(c=2\\). Real roots require the discriminant \\(D=b^2-4ac\\ge0\\). Thus, \\(D=(2k)^2-4(5)(2)=4(k^2-10)\\ge0\\), giving \\(k^2\\ge10\\), or \\(k\\le-\\sqrt{10}\\) or \\(k\\ge\\sqrt{10}\\). In option B, \\(D<0\\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, use \\(D\\ge0\\); equality represents two equal real roots.
समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=k\), \(b=10\) और \(c=5\), इसलिए \(D=10^2-4(k)(5)=0\)। इससे \(100-20k=0\), अतः \(k=5\)। परीक्षा-टिप: समान मूल वाले द्विघात समीकरणों में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=10\), and \(c=5\), so \(10^2-4(k)(5)=0\). Thus, \(100-20k=0\), giving \(k=5\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=m\) और \(c=18\), इसलिए \(m^2-4(2)(18)=0\), अर्थात \(m^2=144\)। अतः \(m=\pm12\), यानी \(m=12\) या \(m=-12\)। विकल्प B में \(4ac\) की गणना सही नहीं की गई है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=2\), \(b=m\), and \(c=18\), so \(m^2-4(2)(18)=0\), giving \(m^2=144\). Therefore, \(m=\pm12\), or \(m=12\) or \(m=-12\). Option B results from an incorrect calculation of \(4ac\). Exam tip: whenever equal roots are mentioned, immediately use \(D=0\).
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-4\) और \(c=p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(p)=16-12p\)। अतः \(16-12p\geq0\), जिससे \(p\leq\frac{4}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B इस असमानता के विपरीत है, जबकि \(p<0\) केवल पर्याप्त स्थिति है, आवश्यक नहीं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=3\), \(b=-4\), and \(c=p\), so \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(p)=16-12p\). Thus, \(16-12p\geq0\), which gives \(p\leq\frac{4}{3}\). Hence, option A is correct. Option B reverses the required inequality, while \(p<0\) is only a sufficient condition, not the complete condition. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq0\).
द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k\) होगा। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(36-4k<0\), अर्थात् \(k>9\)। \(k=9\) पर एक समान वास्तविक मूल मिलता है, जबकि \(k<9\) पर दो वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k\). No real roots occur when \(D<0\), so \(36-4k<0\), which gives \(k>9\). At \(k=9\), the equation has one repeated real root, while \(k<9\) gives two real roots. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-16\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(256-4k>0\), अर्थात् \(k<64\)। \(k=64\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-16\), and \(c=k\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-16)^2-4(1)(k)=256-4k\). Two real and distinct roots require \(D>0\), so \(256-4k>0\), which gives \(k<64\). When \(k=64\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: Check the sign of the discriminant first when determining the nature of roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=36\), इसलिए \(D=k^2-4(1)(36)=k^2-144\)। अतः \(k^2-144=0\), जिससे \(k^2=144\) और \(k=\pm12\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले द्विघात समीकरणों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here \(a=1\), \(b=k\), and \(c=36\), so \(D=k^2-4(1)(36)=k^2-144\). Therefore, \(k^2-144=0\), giving \(k^2=144\) and \(k=\pm12\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ (a=1,b=-14,c=k), इसलिए (-14)2-4(1)(k)=0, अर्थात (196-4k=0) और (k=49)। विकल्प 196 में (4k) से भाग देना भूलने की त्रुटि होती है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखें तो सबसे पहले (D=0) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, (a=1,b=-14,c=k), so (-14)2-4(1)(k)=0, giving (196-4k=0) and hence (k=49). The value 196 results from forgetting to divide by 4. Exam tip: For equal roots, immediately use (D=0).
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल \\(D=25\\)/Two real, rational and distinct roots \\(D=25\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=6, b=-13, c=6\\), इसलिए \\(D=(-13)^2-4(6)(6)=169-144=25\\)। चूँकि \\(D>0\\) और 25 एक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \\(2/3\\) और \\(3/2\\) हैं। विकल्प B के लिए \\(D=0\\) होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=6, b=-13, c=6\\), so \\(D=(-13)^2-4(6)(6)=169-144=25\\). Since \\(D>0\\) and 25 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \\(2/3\\) and \\(3/2\\). Option B would require \\(D=0\\). Exam tip: a positive perfect-square discriminant indicates distinct rational roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((D=-19)\)/No real roots \((D=-19)\)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5, b=1, c=1\), इसलिए \(D=1^2-4(5)(1)=-19\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) पर वास्तविक मूल नहीं, \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D>0\) पर दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5, b=1, c=1\), so \(D=1^2-4(5)(1)=-19\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, option A is correct. Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means two distinct real roots.
A. मूल वास्तविक और समान हैं; \\(x=-\frac{3}{4}\\)/The roots are real and equal; \\(x=-\frac{3}{4}\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=16, b=24, c=9\\) हैं। विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=24^2-4(16)(9)=0\\) है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। साथ ही, \\(16x^2+24x+9=(4x+3)^2\\) से \\(4x+3=0\\), अतः समान मूल \\(x=-\frac{3}{4}\\) है। इसलिए विकल्प B में चिन्ह गलत है और विकल्प C में \\(D\\) का मान भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: जब द्विघात व्यंजक पूर्ण वर्ग हो या \\(D=0\\) हो, तो मूल समान होते हैं। / Here, \\(a=16, b=24, c=9\\). The discriminant is \\(D=b^2-4ac=24^2-4(16)(9)=0\\), so the roots are real and equal. Also, \\(16x^2+24x+9=(4x+3)^2\\), which gives \\(4x+3=0\\) and hence the equal root \\(x=-\frac{3}{4}\\). Therefore, option B has the wrong sign, while option C gives an incorrect discriminant. Exam tip: If a quadratic is a perfect square or its discriminant is zero, its roots are equal.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न मूल \(D=28\)/Two real, irrational, and distinct roots \(D=28\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\) और \(c=-2\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(3)(-2)=28\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और भिन्न हैं; तथा \(28\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि विविक्तकर \(4\) नहीं, बल्कि \(28\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और अपूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\), and \(c=-2\), so \(D=(-2)^2-4(3)(-2)=28\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 28 is not a perfect square, the roots are irrational. Option B is incorrect because the discriminant is 28, not 4. Exam tip: If \(D>0\) and is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=11, c=31\), इसलिए \(D=11^2-4(1)(31)=121-124=-3\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D=0\) होने पर ही दो वास्तविक और समान मूल प्राप्त होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=11, c=31\), so \(D=11^2-4(1)(31)=121-124=-3\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: two real and equal roots occur only when \(D=0\), not when the discriminant is negative.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल (\(D=81\))/Two real, rational and distinct roots (\(D=81\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=4, b=7, c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(4)(-2)=81\) है। \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(\frac{1}{4}\) और \(-2\) हैं। विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि धनात्मक विविक्तकर होने के साथ-साथ \(81\) पूर्ण वर्ग भी है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय तथा असमान होते हैं। / Here, \(a=4, b=7, c=-2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=7^2-4(4)(-2)=81\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(\frac{1}{4}\) and \(-2\). Option B is incorrect because a positive discriminant gives irrational roots only when it is not a perfect square. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
दिया गया समीकरण \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \((3x-1)^2=0\), इसलिए \(3x-1=0\) और समान मूल \(x=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल की जाँच के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) को भी शून्य पाया जाना चाहिए। / The equation can be factorised as \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Thus, \((3x-1)^2=0\), giving \(3x-1=0\) and the equal root \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
दिए गए समीकरण में \(a=2\), \(b=-1\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(2)=1-16=-15\) है। क्योंकि \(D<0\), इसलिए इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में पहले \(D\) का मान निकालकर उसका चिह्न देखें: ऋणात्मक होने पर मूल अवास्तविक होते हैं। / For the given equation, \(a=2\), \(b=-1\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(2)=1-16=-15\). Since \(D<0\), the quadratic equation has no real roots. Exam tip: calculate the discriminant first and identify the nature of the roots from its sign.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots \((D=5)\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,b=-1,c=-1\), इसलिए \(D=(-1)^2-4(1)(-1)=5\)। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; और 5 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) तथा \(D\) पूर्ण वर्ग न होने पर मूल वास्तविक, असमान और अपरिमेय होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1,b=-1,c=-1\), so \(D=(-1)^2-4(1)(-1)=5\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 5 is not a perfect square, the roots are irrational. Therefore, option A is correct. Exam tip: If \(D>0\) and \(D\) is not a perfect square, the roots are real, distinct, and irrational.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
(D>0) होने से मूल वास्तविक और असमान होते हैं। (D) पूर्ण वर्ग न हो तो वे अपरिमेय होते हैं। / When (D>0), the roots are real and distinct. If (D) is not a perfect square, they are irrational.
किसी द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\) है। अतः \(-16(k+2)<0\), जिससे \(k>-2\) प्राप्त होता है। \(k=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि \(k<-2\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\). Therefore, \(-16(k+2)<0\), which gives \(k>-2\). At \(k=-2\), \(D=0\), giving two equal real roots, while \(k<-2\) gives two distinct real roots. Exam tip: simplify the discriminant first and then impose the required sign condition.
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2k, c=9\), इसलिए \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq0\), अर्थात \(k^2\geq9\), जिससे \(k\leq-3\) या \(k\geq3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है और केवल \(k=3\) कहना अधूरा है, क्योंकि \(k=-3\) पर भी वास्तविक समान मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1, b=-2k, c=9\), so \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus, \(4k^2-36\geq0\), which gives \(k^2\geq9\), or \(k\leq-3\) or \(k\geq3\). Option B makes the discriminant negative, while option D is incomplete because \(k=-3\) also gives real equal roots. Exam tip: For real roots, always apply the condition \(D\geq0\).
यहाँ \(a=1, b=10, c=29\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(29)=100-116=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि समान वास्तविक मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान और उसका चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1, b=10, c=29\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(29)=100-116=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B is incorrect because equal real roots require \(D=0\). Exam tip: To determine the nature of roots, first calculate the discriminant and check its sign.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल (\(\Delta=1\))/Two real, rational and distinct roots (\(\Delta=1\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2, b=-11, c=15\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4(2)(15)=1\) है। \(\Delta\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे। वास्तव में, \(2x^2-11x+15=(2x-5)(x-3)\), अतः मूल \(x=\frac{5}{2}\) और \(x=3\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय तथा भिन्न होते हैं। / Here, \(a=2, b=-11, c=15\), so the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4(2)(15)=1\). Since \(\Delta\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, \(2x^2-11x+15=(2x-5)(x-3)\), giving the roots \(x=\frac{5}{2}\) and \(x=3\). Exam tip: when \(\Delta>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+4)\) और \(C=a^2+8a+16=(a+4)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a+4)^2=0\) होगा। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-(a+4))^2=0\) है और दोहरा मूल \(x=a+4\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल समान और वास्तविक होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a+4)\), and \(C=a^2+8a+16=(a+4)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a+4)^2=0\). Hence, for every real value of \(a\), the roots are real and equal; in fact, the equation is \((x-(a+4))^2=0\), so the repeated root is \(x=a+4\). Exam tip: \(D=0\) indicates equal real roots.
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे; \(a\) परिमेय होने पर वे परिमेय भी होंगे/The roots will always be real and distinct; they will also be rational when \(a\) is rational
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+4)\) और \(C=a^2+8a+15\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a^2+8a+15)=4>0\)। इसलिए दोनों मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। वास्तव में मूल \(a+3\) और \(a+5\) हैं; इसलिए \(a\) परिमेय होने पर ही ये परिमेय होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D\neq0\), और विकल्प D गलत है क्योंकि \(a\) परिमेय होने पर मूल परिमेय हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here \(A=1\), \(B=-2(a+4)\), and \(C=a^2+8a+15\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a^2+8a+15)=4>0\). Hence, the roots are always real and distinct. In fact, the roots are \(a+3\) and \(a+5\); thus, they are rational when \(a\) is rational. Option B is incorrect because \(D\neq0\), and option D is incorrect because rational values of \(a\) give rational roots. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a_1=1\), \(b=-2(a+4)\) और \(c=a^2+8a+20\) हैं। इसलिए \(D=4(a+4)^2-4(a^2+8a+20)=-16\), जो प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए ऋणात्मक है। अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और मूलों की संख्या \(0\) है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या शून्य होती है; \(D=0\) होने पर एक वास्तविक मूल मिलता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a_1=1\), \(b=-2(a+4)\), and \(c=a^2+8a+20\). Thus, \(D=4(a+4)^2-4(a^2+8a+20)=-16\), which is negative for every real value of \(a\). Therefore, the equation has no real roots, so their number is \(0\). Exam tip: \(D<0\) means no real roots, whereas \(D=0\) means one repeated real root.
