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यहाँ \(a=1\), \(b=2(n+2)\) और \(c=n^2+4n+8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[2(n+2)]^2-4(n^2+4n+8)=-16\) प्राप्त होता है। चूँकि \(D<0\), किसी भी वास्तविक \(n\) के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) और विकल्प C के लिए \(D>0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / Here, \(a=1\), \(b=2(n+2)\), and \(c=n^2+4n+8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[2(n+2)]^2-4(n^2+4n+8)=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots for any real value of \(n\); its roots are complex. Option B would require \(D=0\), while option C would require \(D>0\). Exam tip: determine the nature of quadratic roots from the sign of the discriminant.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=2(n+2)\) और \(c=n^2+4n+1\) हैं। इसलिए \(D=4(n+2)^2-4(n^2+4n+1)=12\), जो प्रत्येक वास्तविक \(n\) के लिए धनात्मक है। अतः मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=2(n+2)\), and \(c=n^2+4n+1\). Thus, \(D=4(n+2)^2-4(n^2+4n+1)=12\), which is positive for every real value of \(n\). Therefore, the roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.
यहाँ a=1, b=-2(k-3) और c=k-2-6k+9 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+9)=0\), क्योंकि \(k^2-6k+9=(k-3)^2\)। इसलिए प्रत्येक वास्तविक k के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-(k-3))^2=0\) है और मूल \(x=k-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा समान वास्तविक मूल होता है। / Here, a=1, b=-2(k-3), and c=k-2-6k+9. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+9)=0\), since \(k^2-6k+9=(k-3)^2\). Thus, for every real value of k, the roots are real and equal; in fact, the equation is \((x-(k-3))^2=0\), giving the repeated root \(x=k-3\). Exam tip: \(D=0\) indicates equal real roots.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-3)\) और \(c=k^2-6k+8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+8)=4\)। चूँकि \(D=4>0\) प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए है, इसलिए मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से दो वास्तविक और असमान मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k-3)\), and \(c=k^2-6k+8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+8)=4\). Since \(D=4>0\) for every real value of \(k\), the roots are always real and distinct. Exam tip: \(D>0\) indicates two real and unequal roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
यहाँ a=1, b=-2(k-3) और c=k-2-6k+10 हैं। अतः विविक्तकर �\(\Delta=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+10)=-4\)� आता है। चूँकि �\(\Delta<0\)� है, इसलिए किसी भी वास्तविक k के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि k=3 रखने पर भी विविक्तकर -4 ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में �\(\Delta<0\)� होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, a=1, b=-2(k-3), and c=k-2-6k+10. Therefore, the discriminant is �\(\Delta=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+10)=-4\)�. Since �\(\Delta<0\)�, the equation has no real roots for any real value of k. Option D is also incorrect because even at k=3, the discriminant remains -4. Exam tip: For a quadratic equation, �\(\Delta<0\)� indicates that the roots are not real.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-(2r+5)\) और \(c=r^2+5r+7\), इसलिए \(D=(2r+5)^2-4(r^2+5r+7)=-3\)। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(r\) के लिए है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प B और C संभव नहीं हैं, जबकि विकल्प D गलत है क्योंकि यह केवल \(r=0\) तक सीमित करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) दिखते ही निष्कर्ष निकालें कि वास्तविक मूल नहीं होंगे। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-(2r+5)\), and \(c=r^2+5r+7\). Thus, \(D=(2r+5)^2-4(r^2+5r+7)=-3\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Therefore, options B and C are impossible, while option D is incorrect because the result is not restricted to \(r=0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude immediately that the quadratic has no real roots.
क्योंकि \(b\neq -3\), इसलिए \(b+3\neq 0\) और \((b+3)^2>0\)। अतः \(D=-(b+3)^2<0\)। द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते; वे सम्मिश्र conjugate मूल होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) का अर्थ हमेशा ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ होता है। / Since \(b\neq -3\), we have \(b+3\neq 0\), so \((b+3)^2>0\). Therefore, \(D=-(b+3)^2<0\). For a quadratic equation, a negative discriminant means that the roots are not real; they are complex conjugates. Hence, option A is correct. Exam tip: Always remember that \(D<0\) means no real roots.
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। अतः \(-(b+3)^2=0\), जिससे \((b+3)^2=0\) और \(b=-3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: किसी वास्तविक संख्या के वर्ग का ऋणात्मक मान केवल तभी शून्य हो सकता है, जब वह संख्या स्वयं शून्य हो। / The roots of a quadratic equation are real and equal only when its discriminant is \(D=0\). Thus, \(-(b+3)^2=0\), which gives \((b+3)^2=0\) and hence \(b=-3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the negative of a real square can be zero only when the quantity being squared is zero.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
किसी भी वास्तविक (a) के लिए ((a-1)2\geq 0) होता है। इसलिए (D=(a-1)2+5\geq 5>0)। द्विघात समीकरण में (D>0) होने पर दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। समान मूल के लिए (D=0) होना आवश्यक है, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का मान देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत तय करें—(D>0) भिन्न वास्तविक मूल, (D=0) समान वास्तविक मूल और (D<0) अवास्तविक मूल दर्शाता है। / For every real (a), ((a-1)2\geq 0). Hence, (D=(a-1)2+5\geq 5>0). A quadratic equation with (D>0) has two real and distinct roots. Equal roots require (D=0), which is impossible here. Exam tip: use the discriminant directly—(D>0) means distinct real roots, (D=0) means equal real roots, and (D<0) means non-real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं होगा/There will be no real roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। जब D < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; यहाँ D = −4 है। विकल्प C गलत है क्योंकि समान वास्तविक मूल के लिए D = 0 चाहिए, जबकि दो भिन्न वास्तविक मूल के लिए D > 0 आवश्यक है। परीक्षा में विविक्तकर का चिन्ह तुरंत पहचानें: ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान मूल और भिन्न वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. When D < 0, the equation has no real roots; here, D = −4. Option C is incorrect because equal real roots require D = 0, while two distinct real roots require D > 0. Exam tip: check the sign of the discriminant—negative, zero and positive indicate no real roots, equal roots and distinct real roots, respectively.
A. मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय होंगे/The roots will be real, distinct, and irrational
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि D = 18 > 0, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, 18 पूर्ण वर्ग नहीं है और √18 = 3√2 अपरिमेय है; अतः परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के मूल अपरिमेय होंगे। इसलिए विद्यार्थी का ‘परिमेय मूल’ लिखना गलत है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 से वास्तविक और भिन्न मूल मिलते हैं, जबकि D का पूर्ण वर्ग होना मूलों की परिमेयता तय करता है। / Since D = 18 > 0, the roots are real and distinct. Also, 18 is not a perfect square, and √18 = 3√2 is irrational. Therefore, for a quadratic equation with rational coefficients, the roots are irrational. The student’s statement that the roots are rational is incorrect. Exam tip: D > 0 indicates real and distinct roots, while whether D is a perfect square determines their rationality.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(2a+1)]^2-4(3)(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)<0\), जिससे \(-2<a<1\) प्राप्त होता है। सिरों \(a=-2\) और \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(D<0\) का अर्थ है दो असमान वास्तविक मूल नहीं, बल्कि कोई वास्तविक मूल नहीं। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(2a+1)]^2-4(3)(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)<0\), which gives \(-2<a<1\). At the endpoints \(a=-2\) and \(a=1\), \(D=0\), so they are not included. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates equal real roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)>0\), जिससे \(a<-2\) या \(a>1\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) या \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल समान होंगे। परीक्षा टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A quadratic equation has real and distinct roots when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)>0\), which gives \(a<-2\) or \(a>1\). At \(a=-2\) or \(a=1\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\), इसलिए \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\)। अतः \(D\ge0\) के लिए \(a^2+a-2\ge0\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ, फिर आवश्यकता हो तो असमता का हल निकालें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have real roots, its discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\), so \(D=4(2a+1)^2-12(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)\). Therefore, the required condition is \(a^2+a-2\ge0\). Exam tip: apply the discriminant condition first and solve the resulting inequality only if the question asks for the range of \(a\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2h\) और \(c=h^2+8h\) हैं। इसलिए \(D=(-2h)^2-4(1)(h^2+8h)=-32h\)। \(-32h=0\) से \(h=0\) प्राप्त होता है। वास्तव में, इस मान पर समीकरण \(x^2=0\) बनता है, जिसके दोनों मूल \(0\) हैं। परीक्षा-टिप: समान मूल वाले द्विघात समीकरणों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=-2h\), and \(c=h^2+8h\). Thus, \(D=(-2h)^2-4(1)(h^2+8h)=-32h\). Setting \(-32h=0\) gives \(h=0\). Indeed, for this value the equation becomes \(x^2=0\), whose two roots are both \(0\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, immediately use the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2h\) और \(c=h^2+8h\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4h^2-4(h^2+8h)=-32h\)। अतः \(-32h>0\) से \(h<0\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(h=0\) पर \(D=0\), इसलिए मूल समान होंगे; जबकि \(h>0\) पर मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2h\), and \(c=h^2+8h\), so \(D=b^2-4ac=4h^2-4(h^2+8h)=-32h\). Therefore, \(-32h>0\), which gives \(h<0\). Note that \(h=0\) makes \(D=0\), producing equal roots, while \(h>0\) gives non-real roots. Exam tip: For real and distinct roots, always impose \(D>0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2g\) और \(c=g^2-6g+11\) हैं। अतः \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\)। \(D=0\) रखने पर \(24g-44=0\), इसलिए \(g=\frac{11}{6}\)। विकल्प B में अंश और हर उलट दिए गए हैं। परीक्षा में समान मूलों के लिए सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=2g\), and \(c=g^2-6g+11\). Therefore, \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\). Setting \(D=0\) gives \(24g-44=0\), so \(g=\frac{11}{6}\). Option B results from incorrectly reversing the numerator and denominator. In an exam, first apply the condition \(D=0\) for equal roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2g\) और \(c=g^2-6g+11\) हैं। इसलिए \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\)। अतः \(24g-44\ge0\), जिससे \(g\ge\frac{11}{6}\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(g=\frac{11}{6}\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि वह इस सीमा-बिंदु को शामिल नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2g\), and \(c=g^2-6g+11\). Thus, \(D=(2g)^2-4(g^2-6g+11)=24g-44\). Therefore, \(24g-44\ge0\), giving \(g\ge\frac{11}{6}\). At \(g=\frac{11}{6}\), the roots are equal and real, so option B is incorrect because it excludes this boundary value. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\ge0\).
यहाँ \(a=2\), \(b=-4v\) और \(c=2v^2+5\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(v\) के लिए, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों की प्रकृति \(v\) बदलने पर भी नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-4v\), and \(c=2v^2+5\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\). Since \(D<0\) for every real value of \(v\), the equation has no real roots. Hence, option A is correct; option D is incorrect because the nature of the roots does not change with \(v\). Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant is negative.
A. हर वास्तविक \(w\) के लिए वास्तविक और समान/Real and equal for every real \(w\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=4\), \(b=-4w\) और \(c=w^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4w)^2-4(4)(w^2)=0\) है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(w\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((2x-w)^2=0\) है और मूल \(x=\frac{w}{2}\) दोहराया हुआ है। ध्यान दें कि \(w=0\) होने पर भी \(x^2\) का गुणांक 4 रहता है, इसलिए समीकरण द्विघात ही रहता है। परीक्षा टिप: \(D=0\) होने पर मूल समान होते हैं। / Here, \(a=4\), \(b=-4w\), and \(c=w^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4w)^2-4(4)(w^2)=0\). Hence, for every real \(w\), the roots are real and equal; in fact, the equation is \((2x-w)^2=0\), giving the repeated root \(x=\frac{w}{2}\). Even when \(w=0\), the coefficient of \(x^2\) remains 4, so the equation is still quadratic. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.
A. वास्तविक मूल होंगे यदि और केवल यदि \(ab\le 0\)/Real roots exist if and only if \(ab\le 0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=[2(a-b)]^2-4(a+b)^2\) है। अतः \(D=-16ab\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge 0\) होना चाहिए, इसलिए \(-16ab\ge 0\), अर्थात \(ab\le 0\)। विकल्प D भी सही नहीं है, क्योंकि समान मूलों की शर्त \(D=0\) से \(ab=0\) मिलती है, न कि सामान्यतः \(a=b\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों की वास्तविकता जाँचने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For the quadratic equation, the discriminant is \(D=[2(a-b)]^2-4(a+b)^2\). Hence, \(D=-16ab\). Real roots require \(D\ge 0\), so \(-16ab\ge 0\), which gives \(ab\le 0\). Option D is also incorrect because equal roots require \(D=0\), giving \(ab=0\), not generally \(a=b\). Exam tip: To determine whether quadratic roots are real, first check the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण के समान वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(m+n)^2-4mn=m^2-2mn+n^2=(m-n)^2\) है। इसलिए \((m-n)^2=0\), अर्थात् \(m=n\)। ध्यान रखें: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal real roots when its discriminant is zero. Here, \(D=(m+n)^2-4mn=m^2-2mn+n^2=(m-n)^2\). Thus \((m-n)^2=0\), which gives \(m=n\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=4ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+b)^2-16ab=4(a-b)^2\)। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \((a-b)^2>0\) और \(D>0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=4ab\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+b)^2-16ab=4(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), we have \((a-b)^2>0\), so \(D>0\). Hence, the roots are real and distinct. Equal roots occur only when \(D=0\), so option B is not correct. Exam tip: for a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-(a+6)]^2-4(1)(6a)=(a+6)^2-24a=(a-6)^2\)। अतः \((a-6)^2=0\), इसलिए \(a=6\)। ध्यान रखें कि समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) का प्रयोग करना चाहिए; अन्य मानों पर मूल अलग-अलग होंगे। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(D=[-(a+6)]^2-4(1)(6a)=(a+6)^2-24a=(a-6)^2\). Thus, \((a-6)^2=0\), giving \(a=6\). Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant directly equal to zero; the other listed values produce distinct roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। इसलिए \((z+1)^2-9<0\), अर्थात् \((z+1)^2<9\)। इससे \(-3<z+1<3\) और अतः \(-4<z<2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \(D=0\) पर दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं, इसलिए सिरों \(-4\) और \(2\) को अंतराल में शामिल नहीं किया जाएगा। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, \((z+1)^2-9<0\), which gives \((z+1)^2<9\). Therefore, \(-3<z+1<3\), and hence \(-4<z<2\). So, option A is correct. Remember that \(D=0\) gives two equal real roots, so the endpoints \(-4\) and \(2\) are excluded from the interval.
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। अतः \((s-2)(s+5)>0\)। दोनों रैखिक गुणकों के मूल \(s=2\) और \(s=-5\) हैं; इसलिए गुणनफल मूलों के बाहर धनात्मक होगा, अर्थात् \(s<-5\) या \(s>2\)। विकल्प B में \(D<0\) होता है, इसलिए मूल अवास्तविक होते हैं, जबकि विकल्प C में \(D=0\) होने से मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे गुणनफल असमिकरण में पहले शून्य बिंदु लिखकर संख्या रेखा पर चिह्न-जाँच करें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D>0\). Thus, \((s-2)(s+5)>0\). The zero points are \(s=2\) and \(s=-5\); the product is positive outside these points, giving \(s<-5\) or \(s>2\). In option B, \(D<0\), so the roots are non-real, while in option C, \(D=0\), so the roots are equal. Exam tip: for a product inequality, mark the zero points on a number line and check the sign in each interval.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\sqrt{n}\) और \(c=4\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{n})^2-4(1)(4)=4n-16\)। अतः \(4n-16=0\), जिससे \(n=4\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूल दिखते ही सबसे पहले \(D=0\) का प्रयोग करें। / For a quadratic equation to have real and equal roots, its discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\sqrt{n}\), and \(c=4\), so \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{n})^2-4(1)(4)=4n-16\). Setting \(D=0\) gives \(4n-16=0\), hence \(n=4\). As an exam tip, use \(D=0\) immediately whenever the roots are stated to be equal and real.
यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{15}\) और \(c=5\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{15})^2-4(3)(5)=60-60=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{3}\) है। ध्यान रखें कि मूल अपरिमेय होने पर भी वे समान हो सकते हैं; इसलिए विकल्प D गलत है, क्योंकि उसमें भिन्न मूल बताए गए हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{15}\), and \(c=5\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{15})^2-4(3)(5)=60-60=0\). When \(D=0\), the two roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{15}}{3}\). Remember that the roots may be irrational and still equal; therefore, option D is incorrect because it states that the roots are distinct.
वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(c+1)\) और \(d=c^2-2c+5\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ad=16(c-1)\)। अतः \(16(c-1)\ge0\), जिससे \(c\ge1\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(c=1\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए केवल \(c>1\) कहना सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here \(a=1\), \(b=-2(c+1)\), and the constant term is \(c^2-2c+5\), so \(D=b^2-4ac=16(c-1)\). Thus \(16(c-1)\ge0\), giving \(c\ge1\). At \(c=1\), the equation has equal real roots, so the stricter condition \(c>1\) is incorrect. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by imposing \(D\ge0\).
समान मूलों के लिए द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=t-1\), \(b=-2(t+2)\) और \(c=t+5\) हैं। इसलिए \(D=4(t+2)^2-4(t-1)(t+5)=4[(t+2)^2-(t^2+4t-5)]=36\), जो हर वास्तविक \(t\) के लिए शून्य नहीं है। अतः कोई वास्तविक मान समान मूल नहीं देता। ध्यान दें कि \(t=1\) पर \(x^2\) का गुणांक शून्य हो जाता है और समीकरण द्विघात न रहकर रैखिक बन जाता है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a\neq0\) जाँचें और फिर समान मूलों के लिए \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, a quadratic equation must satisfy the condition \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=t-1\), \(b=-2(t+2)\), and \(c=t+5\). Thus, \(D=4(t+2)^2-4(t-1)(t+5)=4[(t+2)^2-(t^2+4t-5)]=36\), which is never zero for any real \(t\). Therefore, no real value of \(t\) produces equal roots. Also, when \(t=1\), the coefficient of \(x^2\) becomes zero, so the equation is linear rather than quadratic. Exam tip: check \(a\neq0\) first, and then apply the equal-roots condition \(D=0\).
