Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समीकरण में \(a=2\), \(b=-(q+4)\) और \(c=2q\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=(q+4)^2-16q=q^2-8q+16=(q-4)^2\)। इसलिए \((q-4)^2=0\) से \(q=4\) प्राप्त होता है। विकल्प B के मानों पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For the equation, \(a=2\), \(b=-(q+4)\), and \(c=2q\). Equal roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be zero. Thus, \(D=(q+4)^2-16q=q^2-8q+16=(q-4)^2\). Setting this equal to zero gives \(q=4\). The values in option B do not make the discriminant zero. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\)। अतः \(-16(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, न कि कोई वास्तविक मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\). Therefore, \(-16(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). At \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
यहाँ a=1, b=−2(m−4) और c=m²−16 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=32(4-m)\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) आवश्यक है, इसलिए \(32(4-m)>0\), जिससे \(m<4\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(m=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान हो जाते हैं; इसलिए \(m\le4\) सही शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / Here, a=1, b=−2(m−4), and c=m²−16. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=32(4-m)\). Real and distinct roots require \(D>0\), so \(32(4-m)>0\), which gives \(m<4\). Note that when \(m=4\), \(D=0\) and the roots are equal; hence \(m\le4\) is not the correct condition. Exam tip: determine the sign of the discriminant first when analysing the nature of quadratic roots.
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=r+2\), \(b=-2(r+5)\) और \(c=r+2\) हैं। इसलिए \(D=4(r+5)^2-4(r+2)^2=12(2r+7)\)। \(D=0\) रखने पर \(2r+7=0\), अतः \(r=-\frac{7}{2}\)। विकल्प \(r=-2\) पर \(x^2\) का गुणांक शून्य हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और फिर जाँचें कि \(a\neq0\) है। / For real and equal roots, the discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=r+2\), \(b=-2(r+5)\), and \(c=r+2\). Thus, \(D=4(r+5)^2-4(r+2)^2=12(2r+7)\). Setting \(D=0\) gives \(2r+7=0\), so \(r=-\frac{7}{2}\). The value \(r=-2\) is not valid because it makes the coefficient of \(x^2\) zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set \(D=0\) first and then verify that \(a\neq0\).
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=9)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=9)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-13, c=40\) हैं। अत: विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-13)^2-4(1)(40)=169-160=9\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; तथा \(D=9\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी होंगे। वास्तव में मूल \(5\) और \(8\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होते हैं। / Here, \(a=1, b=-13, c=40\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-13)^2-4(1)(40)=169-160=9\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(D=9\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(5\) and \(8\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं, बल्कि समिश्र होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant does not produce real irrational roots; it produces non-real complex roots. Exam tip: remember that \(D<0\) means no real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं (\\(D=-8\\))/No real roots (\\(D=-8\\))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=8,c=18\\), इसलिए \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \\(D=0\\) होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति बताने से पहले विविक्तकर का चिह्न अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=8,c=18\\), so \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \\(D=0\\). Exam tip: Always check the sign of the discriminant before identifying the nature of the roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान/Two real, rational and distinct \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-15\) और \(c=56\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\)। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल दो वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। ध्यान रखें: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर दो असमान परिमेय मूल देता है, जबकि केवल \(D>0\) होने पर मूल अपरिमेय भी हो सकते हैं। / For the given equation, \(a=1\), \(b=-15\), and \(c=56\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant gives two distinct rational roots; merely having \(D>0\) does not guarantee rational roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((D<0)\)/No real roots \((D<0)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=10\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः क्षेत्रफल में \(s\) का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) क्रमशः शून्य, समान और असमान वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For the quadratic equation, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=10\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so \(s\) cannot have a real value in the area problem. Exam tip: \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) indicate no real roots, equal real roots, and distinct real roots, respectively.
A. \(k\leq\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) या \(k\geq\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+2\), इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\)। अतः \(k^2-3k-1\geq0\)। इसके शून्यक \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) और \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) हैं। चूँकि \(k^2-3k-1\) का अग्रणी गुणांक धनात्मक है, असमानता शून्यकों के बाहर सत्य होगी, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(k^2-3k-4\) प्राप्त करना गणना की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) लगाकर परिणामी द्विघात असमानता का चिन्ह-विश्लेषण करें। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+2\), so \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\). Thus, \(k^2-3k-1\geq0\). The zeros of this quadratic are \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) and \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\). Since its leading coefficient is positive, the inequality holds outside the interval between these zeros; hence option A is correct. Option C results from the calculation error of writing \(k^2-3k-4\) instead. Exam tip: Set the discriminant \(D\geq0\), then solve the resulting quadratic inequality using its zeros and sign pattern.
समान मूलों के लिए द्विघात समीकरण का विविक्तकर शून्य होता है। यहाँ \(a=p\), \(b=-14\) और \(c=7\), इसलिए \(b^2-4ac=0\), अर्थात \((-14)^2-4(p)(7)=0\)। इससे \(196-28p=0\) और \(p=7\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। विकल्प 14 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होगा। / For equal roots, the discriminant of a quadratic equation must be zero. Here, \(a=p\), \(b=-14\), and \(c=7\). Thus, \(b^2-4ac=0\) gives \((-14)^2-4(p)(7)=0\), so \(196-28p=0\) and \(p=7\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For equal roots, directly use \(b^2-4ac=0\). Choosing 14 does not make the discriminant zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=-5\) और \(c=q\) हैं, इसलिए \((-5)^2-4(2)(q)=0\), अर्थात \(25-8q=0\)। अतः \(q=\frac{25}{8}\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has two real and equal roots when its discriminant, \(D=b^2-4ac\), is zero. Here, \(a=2\), \(b=-5\), and \(c=q\). Thus, \((-5)^2-4(2)(q)=0\), giving \(25-8q=0\) and hence \(q=\frac{25}{8}\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
A. \\(k=7\\) या \\(k=-1\\)/\\(k=7\\) or \\(k=-1\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) है। यहाँ \\(a=1\\), \\(b=-2(k-3)\\) और \\(c=16\\) हैं। अतः \\(D=4(k-3)^2-64=0\\), जिससे \\(k-3=\\pm4\\) और इसलिए \\(k=7\\) या \\(k=-1\\)। परीक्षा में समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D=0\\) लगाएँ। / A quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\) has equal roots when its discriminant satisfies \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=1\\), \\(b=-2(k-3)\\), and \\(c=16\\). Therefore, \\(4(k-3)^2-64=0\\), so \\(k-3=\\pm4\\), giving \\(k=7\\) or \\(k=-1\\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में, जहाँ \(a,b,c\) परिमेय संख्याएँ हैं और \(a\ne0\), यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=100\) हो, तो मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?
A. मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=100>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, \(100\) एक पूर्ण वर्ग है, अतः \(\sqrt{D}=10\) परिमेय है। चूँकि \(a,b,c\) परिमेय हैं, सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दोनों मूल परिमेय होंगे। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(D\) का धनात्मक पूर्ण वर्ग होना मूलों को परिमेय बनाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेय मूल दर्शाता है। / Here, \(D=100>0\), so the two roots are real and distinct. Also, 100 is a perfect square, so \(\sqrt{D}=10\) is rational. Since \(a,b,c\) are rational, the formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) shows that both roots are rational. Therefore, option A is correct. Option D is incorrect because a positive perfect-square discriminant gives rational, not irrational, roots. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and when \(D\) is a perfect square, the roots are rational.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न मूल \(D=13\)/Two real, irrational and distinct roots \(D=13\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-3, c=-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(-1)=13\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; और 13 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में मूलों को परिमेय बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से पहले मूलों के वास्तविक और भिन्न होने का निर्णय करें, फिर देखें कि \(D\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Here, \(a=1, b=-3, c=-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(-1)=13\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since 13 is not a perfect square, they are also irrational. Hence, option A is correct. Option B is wrong because the roots are not rational. Exam tip: Use \(D>0\) to identify real and distinct roots first, then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल \((D=25)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=25)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=-9\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(7)(2)=25\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(1\) और \(\frac{2}{7}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल दर्शाता है। / Here, \(a=7\), \(b=-9\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(7)(2)=25\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(1\) and \(\frac{2}{7}\), so option A is correct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant indicates rational and distinct roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \\(D=-15\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=1, c=2\\), इसलिए \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: \\(D<0\\) पर मूल काल्पनिक या सम्मिश्र होते हैं, वास्तविक नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=1, c=2\\), so \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Exam tip: \\(D<0\\) indicates non-real complex roots; \\(D=0\\) indicates equal real roots, while \\(D>0\\) indicates distinct real roots.
A. \\(D=25\\), दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/\\(D=25\\), two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=9,c=14\\), इसलिए \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\)। चूँकि \\(D>0\\) और 25 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\(D=0\\) होने पर सही होता। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\), \\(D=0\\) और \\(D<0\\) से पहले मूलों की संख्या और प्रकृति जाँचें; परिमेयता के लिए देखें कि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=9,c=14\\), so \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\). Since \\(D>0\\) and 25 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Therefore, option A is correct. Option B would apply only when \\(D=0\\). Exam tip: Use the sign of \\(D\\) to determine whether the roots are real and distinct, equal, or non-real; then check whether \\(D\\) is a perfect square to identify rational roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल \\(D=0\\)/Two real and equal roots \\(D=0\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=5\), \(b=-30\) और \(c=45\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-30)^2-4(5)(45)=900-900=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \(5x^2-30x+45=5(x-3)^2=0\) से समान मूल \(x=3\) मिलता है। विकल्प B और D के लिए \(D>0\) होना आवश्यक है, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=5\), \(b=-30\), and \(c=45\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-30)^2-4(5)(45)=900-900=0\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \(5x^2-30x+45=5(x-3)^2=0\), giving the repeated root \(x=3\). Options B and D require \(D>0\), but here \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं; \(D=-80\)/No real roots; \(D=-80\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=8\), \(b=-4\) और \(c=3\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(8)(3)=16-96=-80\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूलों की प्रकृति सीधे “कोई वास्तविक मूल नहीं” होती है। / Here, \(a=8\), \(b=-4\), and \(c=3\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(8)(3)=16-96=-80\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Exam tip: A negative discriminant immediately indicates that a quadratic equation has no real roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6\), \(b=7\) और \(c=-3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\) है। चूँकि \(D>0\) और 121 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि अपरिमेय मूल तब मिलते हैं जब \(D>0\) हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के चिह्न और पूर्ण वर्ग होने की जाँच क्रमशः अवश्य करें। / Here, \(a=6\), \(b=7\), and \(c=-3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\). Since \(D>0\) and 121 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because irrational roots occur when \(D>0\) but is not a perfect square. Exam tip: First check the sign of the discriminant, then check whether it is a perfect square.
कथन: समीकरण \(x^2+3x+7=0\) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
कारण: यदि द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D<0\) हो, तो उसके कोई वास्तविक मूल नहीं होते।
सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=3\) और \(c=7\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः कथन सही है। यही विविक्तकर का सामान्य नियम कारण को भी सही बनाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) पर मूल अवास्तविक और संयुग्मित होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=3\), and \(c=7\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so the assertion is correct. This same discriminant criterion makes the reason correct as well. Exam tip: When \(D<0\), the roots are non-real conjugates.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-8\) और \(c=8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(2)(8)=64-64=0\)। द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। वास्तव में, समीकरण \(2(x-2)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए दोहरा मूल \(x=2\) है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान निकालें। / Here, \(a=2\), \(b=-8\), and \(c=8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(2)(8)=64-64=0\). For a quadratic equation, \(D=0\) means that the two roots are equal. In fact, the equation can be written as \(2(x-2)^2=0\), giving the repeated root \(x=2\). Exam tip: Calculate the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=6\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि \(D<0\) होने पर समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; विकल्प 16 केवल \(b^2\) का मान है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=6\), so \(D=(-4)^2-4(1)(6)=16-24=-8\). Therefore, option A is correct. As an exam tip, remember that \(D<0\) means the equation has no real roots; 16 is only the value of \(b^2\).
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विविक्तकर �Delta=b-2-4ac का उपयोग करते हैं। विकल्प (A) के लिए �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0 है, इसलिए इसके दो वास्तविक और असमान मूल हैं; वास्तव में मूल 2 और 9 हैं। विकल्प (B) और (D) में �Delta=0 है, इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं, जबकि विकल्प (C) में �Delta=4-24=-20<0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: �Delta>0,
elta=0 और
elta<0 क्रमशः दो असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined using the discriminant, �Delta=b-2-4ac. For option (A), �Delta=(-11)2-4(1)(18)=49>0, so the equation has two real and distinct roots; they are 2 and 9. In options (B) and (D), �Delta=0, so the roots are real and equal, while in option (C), �Delta=4-24=-20<0, so its roots are not real. Exam tip: �Delta>0,
elta=0, and
elta<0 indicate two distinct real roots, equal real roots, and non-real roots, respectively.
A. दो वास्तविक, असमान और अपरिमेय मूल/Two real, distinct and irrational roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(D=18\) धनात्मक है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। चूँकि 18 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए ये मूल अपरिमेय होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि असमान वास्तविक मूल परिमेय तभी होते हैं जब विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से असमान वास्तविक मूल, \(D=0\) से समान मूल और \(D<0\) से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। / The discriminant \(D=18\) is positive, so the roots are real and distinct. Since 18 is not a perfect square, the roots are irrational. Option B is incorrect because distinct real roots are rational only when the discriminant is a perfect square. Exam tip: \(D>0\) gives distinct real roots, \(D=0\) gives equal roots, and \(D<0\) gives no real roots.
A. \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) या \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)/\\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) or \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \\(a=2, b=k+1, c=3\\) हैं, इसलिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(k+1)^2-24\\) होगा। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है। अतः \\((k+1)^2>24\\), जिससे \\(k+1<-2\\sqrt{6}\\) या \\(k+1>2\\sqrt{6}\\), अर्थात \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) या \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\)। विकल्प B में \\(D<0\\) होता है, इसलिए वहाँ वास्तविक मूल नहीं मिलते। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए “असमान” मूलों के लिए सदैव \\(D>0\\) लें। / For the quadratic equation, \\(a=2, b=k+1, c=3\\), so the discriminant is \\(D=b^2-4ac=(k+1)^2-24\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\). Hence \\((k+1)^2>24\\), which gives \\(k+1<-2\\sqrt{6}\\) or \\(k+1>2\\sqrt{6}\\). Therefore, \\(k<-1-2\\sqrt{6}\\) or \\(k>-1+2\\sqrt{6}\\). In option B, \\(D<0\\), so the roots are not real. Exam tip: \\(D=0\\) gives equal roots; therefore, use \\(D>0\\) for distinct real roots.
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=k-3, c=4\), इसलिए \(D=(k-3)^2-16\)। अतः \((k-3)^2<16\), जिससे \(-4<k-3<4\) और इसलिए \(-1<k<7\) प्राप्त होता है। विकल्प C में दिए गए सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=k-3, c=4\), so \(D=(k-3)^2-16\). Thus, \((k-3)^2<16\), which gives \(-4<k-3<4\), and hence \(-1<k<7\). At the endpoints in option C, \(D=0\), so the equation has two equal real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+2)\) और \(c=9\) हैं। इसलिए \(D=4(k+2)^2-36=0\), जिससे \((k+2)^2=9\) और \(k+2=\pm3\) प्राप्त होता है। अतः \(k=1\) या \(k=-5\)। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k+2)\), and \(c=9\). Thus, \(D=4(k+2)^2-36=0\), giving \((k+2)^2=9\) and hence \(k+2=\pm3\). Therefore, \(k=1\) or \(k=-5\). Exam tip: For equal-root questions, immediately apply the condition \(D=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=k\), \(b=8\) और \(c=4\) हैं। इसलिए \(D=8^2-4(k)(4)=0\), अर्थात \(64-16k=0\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 या 16 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=8\), and \(c=4\). Thus, \(D=8^2-4(k)(4)=0\), giving \(64-16k=0\) and hence \(k=4\). Values such as 8 or 16 do not make the discriminant zero. Exam tip: For a quadratic equation with equal roots, set the discriminant equal to zero.
