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समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=m\) और \(c=12\), इसलिए \(m^2-4(3)(12)=0\)। अतः \(m^2=144\), जिससे \(m=\pm12\), अर्थात् \(m=12\) या \(m=-12\)। विकल्प B में \(m^2=36\) होगा, जो आवश्यक शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लिखें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=3\), \(b=m\), and \(c=12\), so \(m^2-4(3)(12)=0\). Therefore, \(m^2=144\), giving \(m=\pm12\), that is, \(m=12\) or \(m=-12\). Option B would give \(m^2=36\), which does not satisfy the required condition. Exam tip: For equal-root questions, start by setting the discriminant equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=p\) हैं, इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(p)=9-8p\)। अतः \(9-8p\geq0\), जिससे \(p\leq\frac{9}{8}\) प्राप्त होता है। विकल्प C केवल एक विशेष मान है, जबकि विकल्प D आवश्यक शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=p\), so \(D=(-3)^2-4(2)(p)=9-8p\). Therefore, \(9-8p\geq0\), which gives \(p\leq\frac{9}{8}\). Option C is only one particular allowed value, while option D is not necessary. Exam tip: For real roots, first apply the condition \(D\geq0\).
इस समीकरण में \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=16-4k\) होगा। वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) आवश्यक है, इसलिए \(16-4k<0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) होने पर \(D=0\) और एक दोहरा वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=16-4k\). A quadratic equation has no real roots when \(D<0\), so \(16-4k<0\), which gives \(k>4\). The closest distractor, \(k=4\), makes \(D=0\) and gives one repeated real root. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\), इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k=4(36-k)\)। अतः \(D>0\) के लिए \(k<36\), इसलिए विकल्प A सही है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have two real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac>0\). Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k=4(36-k)\). Therefore, \(D>0\) gives \(k<36\), making option A correct. At \(k=36\), the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: use \(D>0\) specifically for two distinct real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=k, c=25\), इसलिए \(\Delta=k^2-4(1)(25)=k^2-100\)। अतः \(k^2-100=0\), जिससे \(k=\pm10\), अर्थात \(k=10\) या \(k=-10\)। विकल्प B में \(k=\pm5\) रखने पर विविक्तकर \(-75\) आता है, इसलिए वह समान मूल नहीं देता। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूल के प्रश्नों में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(\Delta=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1, b=k, c=25\), so \(\Delta=k^2-4(1)(25)=k^2-100\). Thus, \(k^2-100=0\), giving \(k=\pm10\), or \(k=10\) and \(k=-10\). For the closest distractor, \(k=\pm5\) gives a discriminant of \(-75\), so the roots are not equal real roots. Exam tip: For equal roots, immediately use \(b^2-4ac=0\).
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान ((D=5))/Two real irrational and distinct ((D=5))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-7)2-4(1)(11)=5) है। (D) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय और असमान हैं। / Here (D=(-7)2-4(1)(11)=5). (D) is not a perfect square, so the roots are irrational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल (\(D=49\))/Two real, rational and distinct roots (\(D=49\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=5\) और \(c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\)। चूँकि \(D>0\) और \(49\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(\frac{1}{3}\) और \(-2\) हैं। विकल्प B समान मूल के लिए \(D=0\) और विकल्प C वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) तथा पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=5\), and \(c=-2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\). Since \(D>0\) and 49 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(\frac{1}{3}\) and \(-2\). Option B applies when \(D=0\), while option C applies when \(D<0\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
C. दो वास्तविक, असमान और अपरिमेय/Two real, distinct and irrational
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-5\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(3)=25-12=13\)। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान हैं; और \(13\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय होंगे। इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा-टिप: \(D>0\) केवल वास्तविक तथा असमान मूल बताता है; परिमेय या अपरिमेय तय करने के लिए देखें कि \(D\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Here, \(a=1\), \(b=-5\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(3)=25-12=13\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Because 13 is not a perfect square, the roots are irrational. Hence, option C is correct. Exam tip: \(D>0\) establishes that the roots are real and distinct; check whether \(D\) is a perfect square to decide whether they are rational or irrational.
यहाँ \(a=4, b=-20, c=25\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=0\), इसलिए दोनों मूल समान होंगे। समीकरण को \((2x-5)^2=0\) लिखने पर \(2x-5=0\), अतः समान मूल \(x=\frac{5}{2}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}\) से भी सीधे निकाला जा सकता है। / Here, \(a=4, b=-20, c=25\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(4)(25)=0\), so the two roots are equal. Factoring gives \((2x-5)^2=0\), hence \(2x-5=0\) and the repeated root is \(x=\frac{5}{2}\). Exam tip: When \(D=0\), the equal root can also be found directly using \(x=\frac{-b}{2a}\).
यहाँ \(a=1, b=6, c=13\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(13)=36-52=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूलों की प्रकृति हमेशा अवास्तविक होती है। / Here, \(a=1, b=6, c=13\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(13)=36-52=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means that there are no real roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-9)2-4(1)(20)=1) है। (D=1) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(-9)2-4(1)(20)=1). Since (D=1) is a positive perfect square, the roots are rational and distinct.
यहाँ \(a=5\), \(b=-6\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(5)(2)=36-40=-4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(D=0\) होने पर ही समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=5\), \(b=-6\), and \(c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(5)(2)=36-40=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots occur only when \(D=0\), so option B is incorrect; the other listed discriminant values are also miscalculations. Exam tip: determine the nature of quadratic roots by checking the sign of the discriminant first.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=64)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=64)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-10\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(3)(3)=100-36=64\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल होंगे। वास्तव में मूल \(3\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय एवं असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-10\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(3)(3)=100-36=64\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the equation has two real, rational, and distinct roots. In fact, the roots are \(3\) and \(\frac{1}{3}\). Exam tip: when \(D>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तो वर्गमूल \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होते हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में सबसे पहले \(D\) का मान या उसका चिन्ह जाँचें। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), \(\sqrt{D}\) is not real, so the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Equal real roots require \(D=0\), so option B is incorrect. In an exam, first determine the sign of the discriminant.
यहाँ \(a=k-2\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k\) हैं। समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(k+1)^2-4(k-2)k=16k+4\)। इसलिए \(16k+4=0\), जिससे \(k=-\frac{1}{4}\) प्राप्त होता है। इस मान पर \(a\neq 0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और अंत में जाँच लें कि \(a\neq 0\) है। / Here, \(a=k-2\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k\). For real and equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Thus, \(D=4(k+1)^2-4(k-2)k=16k+4\). Setting this equal to zero gives \(k=-\frac{1}{4}\). For this value, \(a\neq 0\), so the equation remains quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant to zero and then verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
द्विघात समीकरण में वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=(2k)^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)=0\) से \(k=2\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=(2k)^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Setting this equal to zero gives \(k=2\), so option A is correct. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)\ge0\), जिससे \(k\ge2\) प्राप्त होता है। \(k=2\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए बराबरी का चिह्न भी शामिल होगा। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होगा। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Therefore, \(16(k-2)\ge0\), giving \(k\ge2\). At \(k=2\), the roots are equal, so equality must be included. Exam tip: use \(D\ge0\) for real roots, whereas distinct real roots require \(D>0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=3m\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)<0\) से \(0<m<3\) प्राप्त होता है। \(m=0\) या \(m=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) को क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान वास्तविक मूल और दो भिन्न वास्तविक मूल से जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=3m\), so \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\). Thus, \(4m(m-3)<0\), which gives \(0<m<3\). At \(m=0\) or \(m=3\), \(D=0\), so the equation has real and equal roots rather than no real roots. Exam tip: remember that \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) correspond respectively to no real roots, equal real roots, and two distinct real roots.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2m, c=3m\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)>0\), जिससे \(m<0\) या \(m>3\) प्राप्त होता है। \(m=0\) या \(m=3\) पर \(D=0\) होता है और मूल समान हो जाते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1, b=-2m, c=3m\), so \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\). Therefore, \(4m(m-3)>0\), which gives \(m<0\) or \(m>3\). At \(m=0\) or \(m=3\), the discriminant is zero, so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: For real and distinct roots, apply \(D>0\).
समीकरण के वास्तविक और समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=3m\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(3m)=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)=0\) से \(m=0\) या \(m=3\) प्राप्त होते हैं। दोनों मान समीकरण को वैध द्विघात समीकरण बनाए रखते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real and equal roots, its discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=3m\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(1)(3m)=4m(m-3)\). Setting \(D=0\) gives \(m=0\) or \(m=3\). Both values are valid because the coefficient of \(x^2\) remains non-zero. Exam tip: For equal real roots, immediately use the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a_1=1\), \(b=2(a+1)\) और \(c=a^2+2a+5\) हैं। इसलिए \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+2a+5)=-16<0\)। अतः किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और परस्पर संयुग्मी होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a_1=1\), \(b=2(a+1)\), and \(c=a^2+2a+5\). Thus, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+2a+5)=-16<0\). Therefore, for every real value of \(a\), the equation has no real roots. Exam tip: When \(D<0\), the roots are non-real and conjugate to each other.
यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+b)\) और \(C=ab\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\) होगा। चूँकि \(a\ne b\), इसलिए \(\Delta>0\), और दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसके मूल \(a\) और \(b\) हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(a=b\), जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण में \(\Delta>0\) का अर्थ हमेशा वास्तविक और भिन्न मूल होता है। / Here, \(A=1\), \(B=-(a+b)\), and \(C=ab\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=B^2-4AC=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\). Since \(a\ne b\), \(\Delta>0\), so the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-a)(x-b)=0\), giving the roots \(a\) and \(b\). Option B would apply only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta>0\) indicates two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) है। चूँकि a और b वास्तविक हैं, \((a-b)^2=0\) तभी होगा जब \(a=b\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाकर शर्त निकालें; केवल \(a+b=0\) या \(ab=1\) समान मूल होने की आवश्यक शर्त नहीं हैं। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Since a and b are real, \((a-b)^2=0\) only when \(a=b\). Therefore, option A is correct. Exam tip: set \(D=0\) first; conditions such as \(a+b=0\) or \(ab=1\) do not generally imply equal roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \Delta=0 होना चाहिए। यहाँ \Delta=[-2(a+b)]2-4(1)(4ab)=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2। अतः \Delta=0 से (a-b)2=0, इसलिए a=b। विकल्प C और D केवल विशेष स्थिति a=b=0 में साथ-साथ सत्य हो सकते हैं, पर आवश्यक संबंध नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \Delta=0 लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \Delta=[-2(a+b)]2-4(1)(4ab)=4(a+b)2-16ab=4(a-b)2. Thus, \Delta=0 gives (a-b)2=0, so a=b. Options C and D can also hold in the special case a=b=0, but they are not necessary relations. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, first set \Delta=0.
समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC=0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+b)\) और \(C=(a-b)^2\) हैं। इसलिए \(D=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\)। अतः \(16ab=0\), यानी \(ab=0\)। विकल्प B या C केवल विशेष स्थितियाँ हैं, जबकि आवश्यक और पर्याप्त संबंध विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=B^2-4AC=0\). Here, \(A=1\), \(B=-2(a+b)\), and \(C=(a-b)^2\). Thus, \(D=4(a+b)^2-4(a-b)^2=16ab\). Therefore, \(16ab=0\), giving \(ab=0\). Options B and C describe only particular cases, whereas option A gives the necessary and sufficient relation. Exam tip: For equal roots, immediately apply \(D=0\).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=3\), \(B=-6a\) और \(C=3a^2+2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-6a)^2-4(3)(3a^2+2)=36a^2-36a^2-24=-24\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए \(a\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प D गलत है, क्योंकि विविक्तकर \(a\) पर निर्भर न रहकर हमेशा \(-24\) रहता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(A=3\), \(B=-6a\), and \(C=3a^2+2\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(-6a)^2-4(3)(3a^2+2)=36a^2-36a^2-24=-24\). Since \(D<0\), the equation has no real roots for every real value of \(a\). Option D is incorrect because the discriminant remains fixed at \(-24\), independent of \(a\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are not real.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(A=2\), \(B=-4a\) और \(C=2a^2-3\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\) है। चूँकि \(D=24>0\) प्रत्येक वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। इसलिए विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले प्रश्नों में विविक्तकर को सरल करके देखें कि उसका चिह्न पैरामीटर पर निर्भर करता है या नहीं। / For the quadratic equation, \(A=2\), \(B=-4a\), and \(C=2a^2-3\). Its discriminant is \(D=B^2-4AC=(-4a)^2-4(2)(2a^2-3)=16a^2-16a^2+24=24\). Since \(D=24>0\) for every real value of \(a\), the roots are always real and distinct. Hence option A is correct; equal roots would require \(D=0\). Exam tip: in parameter-based questions, simplify the discriminant fully and check whether its sign depends on the parameter.
A. किसी भी वास्तविक \(p\) के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots for any real \(p\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2+1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\) है, जो हर वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(p=0\) रखने पर समीकरण \(x^2+1=0\) बनता है, जिसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक और संयुग्मी होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2+1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(1)(p^2+1)=-4\), which remains negative for every real \(p\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is also incorrect because putting \(p=0\) gives \(x^2+1=0\), which has no real roots. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means the roots are non-real conjugates.
द्विघात समीकरण के लिए \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2)=0\) होगा। इसलिए दोनों मूल हमेशा वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \((x-p)^2=0\) है और दोनों मूल \(x=p\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta=0\) पर मूल भिन्न नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta=0\) का अर्थ समान वास्तविक मूल होता है। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2)=0\). Hence the roots are always real and equal. In fact, the equation can be written as \((x-p)^2=0\), so both roots are \(x=p\). Option B is incorrect because \(\Delta=0\) does not give distinct roots. Exam tip: \(\Delta=0\) indicates equal real roots.
A. हमेशा वास्तविक और भिन्न/Always real and distinct
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Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=2p\) और \(c=p^2-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\) है। चूँकि \(D>0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि समान मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले विविक्तकर का मान सरल करें। / Here, \(a=1\), \(b=2p\), and \(c=p^2-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2p)^2-4(p^2-1)=4\). Since \(D>0\) for every real value of \(p\), both roots are always real and distinct. Option B is incorrect because equal roots require \(D=0\). Exam tip: For a quadratic involving a parameter, simplify the discriminant before testing particular parameter values.
