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A. (D=0) पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं/When �(D=0), the roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में मूलों की प्रकृति विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। जब �(D=0) होता है, तो सूत्र �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) में �\(\sqrt{D}=0\) हो जाता है, इसलिए दोनों मूल समान वास्तविक मूल �\(x=\frac{-b}{2a}\) होते हैं। दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए �(D>0) आवश्यक है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: �(D=0), �(D>0), और �(D<0) को क्रमशः समान वास्तविक, भिन्न वास्तविक और कोई वास्तविक मूल नहीं से जोड़कर याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant �\(D=b^2-4ac\). When �(D=0), the quadratic formula �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) gives �\(\sqrt{D}=0\), so both roots coincide at �\(x=\frac{-b}{2a}\); hence they are equal real roots. Two distinct real roots require �(D>0), so options B and C are incorrect. Exam tip: remember �(D=0), �(D>0), and �(D<0) as equal real, distinct real, and no real roots, respectively.
किसी भी वास्तविक ctc के लिए c\(t^2\ge 0\)c होता है, इसलिए c\(t^2+4>0\)c और cD=-\(t^2+4\)<0c होगा। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; इसके मूल सम्मिश्र होते हैं। अतः सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: cD<0c, cD=0c और cD>0c क्रमशः 0, 1 और 2 वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For every real ctc, c\(t^2\ge 0\)c, so c\(t^2+4>0\)c and therefore cD=-\(t^2+4\)<0c. A negative discriminant means that a quadratic equation has no real roots; its roots are complex. Hence, the correct answer is 0. Exam tip: cD<0c, cD=0c and cD>0c indicate 0, 1 and 2 real roots, respectively.
यदि किसी वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=2r^2+3\) है, जहाँ \(r\) वास्तविक संख्या है, तो उसके मूलों के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे/The roots will always be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(r\) वास्तविक है, इसलिए \(r^2\ge 0\)। अतः \(D=2r^2+3\ge 3>0\)। द्विघात समीकरण में \(D>0\) होने पर दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं। समान मूल के लिए \(D=0\) होना आवश्यक है, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के लिए \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) के तीनों मानदंड याद रखें। / Since \(r\) is real, \(r^2\ge 0\). Therefore, \(D=2r^2+3\ge 3>0\). For a quadratic equation, \(D>0\) indicates two real and distinct roots. Equal roots require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: remember the three discriminant tests: \(D>0\) for real and distinct roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=0\) है। इसलिए \((m-5)^2=0\), जिससे \(m-5=0\) और \(m=5\) प्राप्त होता है। \(m=-5\) रखने पर विविक्तकर \((-10)^2=100\) होगा, इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग शून्य तभी होता है जब वह संख्या स्वयं शून्य हो। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is \(D=0\). Thus, \((m-5)^2=0\), which gives \(m-5=0\) and hence \(m=5\). If \(m=-5\), the discriminant is \((-10)^2=100\), so the roots are not equal. Exam tip: The square of a real number is zero only when the number itself is zero.
यहाँ \(a=9\), \(b=-6(k-1)\) और \(c=(k-1)^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\) मिलता है। इसलिए प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में समीकरण को \([3x-(k-1)]^2=0\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। \(k=1\) होने पर भी यह \(9x^2=0\) रहता है और द्विघात ही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=9\), \(b=-6(k-1)\), and \(c=(k-1)^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[-6(k-1)]^2-4(9)(k-1)^2=0\). Hence, for every real value of \(k\), the roots are real and equal. The equation can also be written as \([3x-(k-1)]^2=0\). Even when \(k=1\), it becomes \(9x^2=0\), which is still a quadratic equation. Exam tip: When \(D=0\), the roots are real and equal.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। यहाँ a = 4, b = −4(k + 1) और c = k² + 2k हैं। इसलिए D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16। चूँकि D = 16 > 0 प्रत्येक वास्तविक k के लिए है, अतः हर वास्तविक k पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले D को सरल करके उसकी k पर निर्भरता जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. Here, a = 4, b = −4(k + 1), and c = k² + 2k. Thus, D = 16(k + 1)² − 16(k² + 2k) = 16. Since D = 16 > 0 for every real value of k, the equation has two distinct real roots for every real k. Therefore, option A is correct. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, simplify the discriminant completely before deciding the condition on the parameter.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=n+2\) और \(c=2n\), इसलिए \(D=(n+2)^2-8n=n^2-4n+4=(n-2)^2\)। अतः \((n-2)^2=0\) से \(n=2\) प्राप्त होता है। जाँचने पर समीकरण \(x^2+4x+4=0\), अर्थात् \((x+2)^2=0\), बनता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=n+2\), and \(c=2n\), so \(D=(n+2)^2-8n=n^2-4n+4=(n-2)^2\). Thus, \((n-2)^2=0\), giving \(n=2\). Substitution produces \(x^2+4x+4=0\), or \((x+2)^2=0\), confirming equal roots. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant equal to zero first.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2h-1\) और \(c=h^2\) हैं, इसलिए \(D=(2h-1)^2-4h^2=1-4h\)। अब \(1-4h=0\) रखने पर \(h=\frac{1}{4}\) मिलता है। ध्यान रखें कि समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में विविक्तकर हमेशा शून्य होता है; उदाहरणतः \(h=\frac{1}{2}\) पर \(D=-1\), इसलिए वह सही नहीं है। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(a=1\), \(b=2h-1\), and \(c=h^2\), so \(D=(2h-1)^2-4h^2=1-4h\). Setting \(D=0\) gives \(1-4h=0\), hence \(h=\frac{1}{4}\). Remember that equal roots always require a zero discriminant; for example, \(h=\frac{1}{2}\) gives \(D=-1\), so it is not correct.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\) और \(c=\alpha^2\) हैं। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\)। अतः \(16(\alpha+1)>0\), जिससे \(\alpha>-1\) प्राप्त होता है। \(\alpha=-1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक तो होंगे, पर भिन्न नहीं। परीक्षा-युक्ति: ‘वास्तविक और भिन्न मूल’ के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\), and \(c=\alpha^2\). For real and distinct roots, the discriminant must satisfy \(D>0\). Thus, \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\). Hence, \(16(\alpha+1)>0\), giving \(\alpha>-1\). When \(\alpha=-1\), \(D=0\), so the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).
दिए गए द्विघात समीकरण में \(A=a-1\), \(B=2a\) और \(C=a+3\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4(3-2a)\)। \(D=0\) रखने पर \(3-2a=0\), इसलिए \(a=\frac{3}{2}\)। विकल्प \(a=1\) लेने पर \(A=0\) हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और फिर जाँचें कि \(A\neq0\) है। / For the given quadratic equation, \(A=a-1\), \(B=2a\), and \(C=a+3\). Equal roots require the discriminant \(D=B^2-4AC\) to be zero. Thus, \(D=(2a)^2-4(a-1)(a+3)=4(3-2a)\). Setting \(D=0\) gives \(3-2a=0\), so \(a=\frac{3}{2}\). The value \(a=1\) is not valid because it makes \(A=0\), so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set the discriminant to zero and then verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
समीकरण ax-2+bx+c=0) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर D=b-2-4ac=0 होना चाहिए। यहाँ a=m, b=m+3, c=3 हैं, इसलिए D=(m+3)2-12m=(m-3)2। अतः D=0 से m=3 मिलता है। इस मान पर a=m=3, जो शून्य नहीं है; इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात रहता है। m=0 पर विविक्तकर तो शून्य होता है, लेकिन x-2 का गुणांक शून्य होने से समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में पहले D=0 लगाएँ और अंत में a\ne0 अवश्य जाँचें। / For an equation ax-2+bx+c=0), equal roots require the discriminant D=b-2-4ac to be zero. Here, a=m, b=m+3, c=3, so D=(m+3)2-12m=(m-3)2. Thus, D=0 gives m=3. For this value, the coefficient of x-2 is a=m=3, which is non-zero, so the equation remains quadratic. Although m=0 also makes the discriminant zero, it removes the quadratic term and therefore does not satisfy the condition. Exam tip: After setting D=0, always verify that the coefficient of x-2 is not zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2u\) और \(c=u^2+7u\) हैं। इसलिए \(D=(-2u)^2-4(1)(u^2+7u)=-28u\)। अतः \(-28u\ge0\), जिससे \(u\le0\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(D=0\) होने पर समान वास्तविक मूल भी मान्य होते हैं। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge 0\). Here, \(a=1\), \(b=-2u\), and \(c=u^2+7u\), so \(D=(-2u)^2-4(1)(u^2+7u)=-28u\). Thus, \(-28u\ge0\), giving \(u\le0\). Remember that \(D=0\), which gives equal real roots, is also included.
द्विघात समीकरण में वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\)। अतः \(20p>0\), जिससे \(p>0\) प्राप्त होता है। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे; इसलिए \(p\ge0\) भी पूर्णतः सही नहीं है। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\), so \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\). Thus, \(20p>0\), which gives \(p>0\). When \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal, so \(p\ge0\) is not fully correct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).
A. किसी भी वास्तविक p के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं होगा/It will have no real roots for any real p
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a = 1, b = 2 और c = p² + 2 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4 − 4(p² + 2) = −4(p² + 1)। किसी भी वास्तविक p के लिए p² + 1 > 0, इसलिए D < 0 होता है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है, क्योंकि p = 0 पर भी D = −4 रहता है, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: D < 0 होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, a = 1, b = 2, and c = p² + 2. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4 − 4(p² + 2) = −4(p² + 1). For every real p, p² + 1 > 0, so D < 0; hence the equation has no real roots. Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because even when p = 0, D = −4, not zero. Exam tip: A quadratic equation has no real roots whenever its discriminant is negative.
A. \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2t, c=t+4\), इसलिए \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\)। अतः \(t^2-t-4<0\), जिसके शून्यक \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) और \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\) हैं। परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए असमानता इन दोनों शून्यकों के बीच संतुष्ट होती है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में विविक्तकर के शून्यकों के बीच का अंतराल चुनें, सिरों को शामिल न करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=2t, c=t+4\), so \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\). Thus, \(t^2-t-4<0\), whose zeros are \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) and \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Since the corresponding parabola opens upward, the inequality holds between these two zeros. Exam tip: For \(D<0\), choose the interval between the discriminant’s zeros and exclude the endpoints.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2s\), और \(c=s+2\) हैं, इसलिए \(D=(-2s)^2-4(1)(s+2)=4(s-2)(s+1)\)। अतः \((s-2)(s+1)>0\) से \(s<-1\) या \(s>2\) प्राप्त होता है। \(-1<s<2\) में \(D<0\), जबकि \(s=-1\) या \(s=2\) पर \(D=0\) होता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2s\), and \(c=s+2\), so \(D=(-2s)^2-4(1)(s+2)=4(s-2)(s+1)\). Thus, \((s-2)(s+1)>0\), which gives \(s<-1\) or \(s>2\). For \(-1<s<2\), \(D<0\), while \(s=-1\) or \(s=2\) gives \(D=0\). Exam tip: For real and distinct roots, always check that \(D>0\).
द्विघात समीकरण में वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-3)]^2-4(a^2-9)=24(3-a)\) है। अतः \(24(3-a)=0\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। जाँच के लिए \(a=3\) रखने पर समीकरण \(x^2=0\) बनता है, जिसके दोनों मूल समान हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real and equal roots only when its discriminant is zero. Here, \(D=[-2(a-3)]^2-4(a^2-9)=24(3-a)\). Therefore, \(24(3-a)=0\), giving \(a=3\). As a check, substituting \(a=3\) reduces the equation to \(x^2=0\), whose roots are equal. Exam tip: For equal roots, set the discriminant \(D\) equal to zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\)। अतः \(8(a-1)\ge0\), जिससे \(a\ge1\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(a>3\) पर्याप्त तो है, लेकिन आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले \(D\) को शून्य से बड़ा या बराबर रखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge0\), giving \(a\ge1\). Option C, \(a>3\), is sufficient but unnecessarily restrictive; it is not the complete condition. Exam tip: For a parameter-based quadratic equation, begin by setting its discriminant greater than or equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-(r+4)\) और \(c=4r\), इसलिए \(D=(r+4)^2-16r=(r-4)^2\)। अतः \((r-4)^2=0\), जिससे \(r=4\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के लिए सबसे पहले \(D=0\) लिखना याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), equal roots occur when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=-(r+4)\), and \(c=4r\), so \(D=(r+4)^2-16r=(r-4)^2\). Setting \(D=0\) gives \((r-4)^2=0\), hence \(r=4\). Exam tip: whenever a question asks for equal roots, begin with the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=B^2-4AC=0\) है। यहाँ \(A=1\), \(B=-(a+3)\) और \(C=3a\), इसलिए \(D=(a+3)^2-12a=(a-3)^2\)। अतः \((a-3)^2=0\) से \(a=3\), इसलिए विकल्प A सही है। उदाहरण के लिए \(a=0\) पर \(D=9\), अतः मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\) has equal roots only when its discriminant \(D=B^2-4AC\) is zero. Here, \(A=1\), \(B=-(a+3)\), and \(C=3a\), so \(D=(a+3)^2-12a=(a-3)^2\). Thus, \((a-3)^2=0\) gives \(a=3\), making option A correct. For comparison, when \(a=0\), \(D=9\), so the roots are not equal. Exam tip: For equal roots, set the discriminant equal to zero.
A. \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\)/\(k^2<9\) and \(k\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k^2\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\), इसलिए \(36-4k^2>0\), अर्थात् \(k^2<9\)। साथ ही समीकरण द्विघात रहने के लिए \(a=k\ne0\) होना आवश्यक है। इसलिए सही शर्त \(k^2<9\) तथा \(k\ne0\) है। केवल \(k^2<9\) लिखने पर \(k=0\) छूट जाता है, जब समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D>0\) लगाएँ और फिर अग्रणी गुणांक के शून्य न होने की जाँच करें। / Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k^2\). Real and distinct roots require \(D>0\), giving \(36-4k^2>0\), or \(k^2<9\). In addition, the equation must remain quadratic, so its leading coefficient must satisfy \(k\ne0\). Hence the correct condition is \(k^2<9\) and \(k\ne0\). Option B is incomplete because it allows \(k=0\), which makes the equation linear. Exam tip: for distinct real roots, impose \(D>0\) and also verify that the leading coefficient is non-zero.
यहाँ \\(a=p-2\\), \\(b=4\\) और \\(c=1\\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \\(D=16-4(p-2)=24-4p=0\\), जिससे \\(p=6\\) प्राप्त होता है। विकल्प \\(p=2\\) मान्य नहीं है, क्योंकि तब द्विघात पद समाप्त हो जाएगा और समीकरण द्विघात नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में पहले \\(D=0\\) लगाएँ और यह भी जाँचें कि \\(a\ne0\\) हो। / Here, \\(a=p-2\\), \\(b=4\\), and \\(c=1\\). An equation has equal roots when its discriminant \\(D=b^2-4ac\\) is zero. Thus, \\(D=16-4(p-2)=24-4p=0\\), giving \\(p=6\\). The value \\(p=2\\) is not valid because it eliminates the quadratic term, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal roots, set \\(D=0\\) and also verify that \\(a\ne0\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=p\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(p^2-4(2)(8)=0\), अर्थात् \(p^2=64\)। अतः \(p=\pm 8\), इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि वर्गमूल लेने पर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेने होते हैं; इसी कारण केवल \(p=8\) सही नहीं है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=2\), \(b=p\), and \(c=8\). Thus, \(p^2-4(2)(8)=0\), so \(p^2=64\) and \(p=\pm 8\). Therefore, option A is correct. Exam tip: when taking the square root of \(p^2=64\), include both the positive and negative values; hence option C is incomplete.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=2\sqrt{3}, c=1\), इसलिए \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4(3)(1)=12-12=0\)। जब \(\Delta=0\), तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\) है; इसलिए इसे भिन्न मूल नहीं माना जाएगा। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta=0\) दिखते ही ‘वास्तविक और समान मूल’ चुनें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=2\sqrt{3}, c=1\), so \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4(3)(1)=12-12=0\). A zero discriminant means that the two roots are real and equal. The repeated root is \(x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\); therefore, the roots are not distinct. Exam tip: whenever \(\Delta=0\), select ‘real and equal roots’.
द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=1, b=-2(k-2), c=k^2-4\\) हैं। इसलिए \\(D=4(k-2)^2-4(k^2-4)=16(2-k)\\)। अब \\(D=0\\) रखने पर \\(16(2-k)=0\\), अतः \\(k=2\\)। जाँच के लिए, \\(k=2\\) पर समीकरण \\(x^2=0\\) बनता है, जिसका दोहराया हुआ मूल \\(x=0\\) है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant satisfies \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=1, b=-2(k-2), c=k^2-4\\), so \\(D=4(k-2)^2-4(k^2-4)=16(2-k)\\). Setting \\(D=0\\) gives \\(16(2-k)=0\\), hence \\(k=2\\). As a check, when \\(k=2\\), the equation becomes \\(x^2=0\\), which has the repeated root \\(x=0\\). Exam tip: For equal roots, directly apply \\(b^2-4ac=0\\).
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-1)\) और \(c=m+5\) हैं। वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\)। इसलिए \((m-4)(m+1)<0\), जिससे \(-1<m<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल होते हैं, जबकि विकल्प C पर समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए पहले \(D\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-1)\), and \(c=m+5\). For no real roots, the discriminant must satisfy \(D<0\). Thus, \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\). Therefore, \((m-4)(m+1)<0\), giving \(-1<m<4\). In option B, the discriminant is positive, so there are two real roots; at the endpoint values in option C, the roots are real and equal. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of the roots by checking the sign of its discriminant.
द्विघात समीकरण में \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\) और \\(c=k^2\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\) होगा। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, इसलिए \\(2k+1>0\\), अर्थात \\(k>-\\frac{1}{2}\\)। \\(k=-\\frac{1}{2}\\) पर \\(D=0\\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें। / For the quadratic equation, \\(a=1\\), \\(b=-2(k+1)\\), and \\(c=k^2\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\\). Distinct real roots require \\(D>0\\), so \\(2k+1>0\\), which gives \\(k>-\\frac{1}{2}\\). At \\(k=-\\frac{1}{2}\\), \\(D=0\\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: determine the sign of the discriminant before classifying the roots.
यहाँ \\(a=k+1\\), \\(b=-2(k+3)\\) और \\(c=k+1\\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। इसलिए \\(D=4(k+3)^2-4(k+1)^2=16(k+2)\\)। अतः \\(16(k+2)=0\\), जिससे \\(k=-2\\) प्राप्त होता है। विकल्प \\(k=-1\\) पर \\(x^2\\) का गुणांक शून्य हो जाता है, इसलिए समीकरण द्विघात नहीं रहता। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \\(b^2-4ac=0\\) लगाएँ। / Here, \\(a=k+1\\), \\(b=-2(k+3)\\), and \\(c=k+1\\). Equal roots require the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) to be zero. Thus, \\(D=4(k+3)^2-4(k+1)^2=16(k+2)\\)। Hence, \\(16(k+2)=0\\), giving \\(k=-2\\). At \\(k=-1\\), the coefficient of \\(x^2\\) becomes zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \\(b^2-4ac=0\\) directly.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। वास्तविक और समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना आवश्यक है, इसलिए \(b^2=4ac\) सही शर्त है। \(b^2>4ac\) पर मूल वास्तविक लेकिन असमान होते हैं, जबकि \(b^2<4ac\) पर मूल गैर-वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए सीधे \(\Delta=0\) याद रखें। / The nature of the roots is determined by the discriminant \(\Delta=b^2-4ac\). Real and equal roots occur only when \(\Delta=0\), which gives \(b^2=4ac\). If \(b^2>4ac\), the roots are real and distinct; if \(b^2<4ac\), they are non-real. Exam tip: for equal roots, immediately set the discriminant equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=5^2-4(1)(7)=25-28=-3\), जो ऋणात्मक है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; विकल्प A भी गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर सीधे ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ चुनें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=5^2-4(1)(7)=25-28=-3\), which is negative. Therefore, the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant cannot produce real roots. Exam tip: when \(D<0\), the quadratic has no real roots.
