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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

यदि समीकरण \(x^2-2(\alpha+2)x+\alpha^2=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(\alpha\) के लिए सही शर्त क्या होगी?

If the roots of the equation \(x^2-2(\alpha+2)x+\alpha^2=0\) are real and distinct, what is the correct condition on \(\alpha\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\alpha>-1\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\) और \(c=\alpha^2\) हैं। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\)। अतः \(16(\alpha+1)>0\), जिससे \(\alpha>-1\) प्राप्त होता है। \(\alpha=-1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक तो होंगे, पर भिन्न नहीं। परीक्षा-युक्ति: ‘वास्तविक और भिन्न मूल’ के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\), and \(c=\alpha^2\). For real and distinct roots, the discriminant must satisfy \(D>0\). Thus, \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\). Hence, \(16(\alpha+1)>0\), giving \(\alpha>-1\). When \(\alpha=-1\), \(D=0\), so the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).

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यदि समीकरण \(x^2-2(\alpha+2)x+\alpha^2=0\) के मूल वास्तविक और भिन्न हों, तो \(\alpha\) के लिए सही शर्त क्या होगी? / If the roots of the equation \(x^2-2(\alpha+2)x+\alpha^2=0\) are real and distinct, what is the correct condition on \(\alpha\)?

Correct Answer: A. \(\alpha>-1\). Explanation: यहाँ \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\) और \(c=\alpha^2\) हैं। वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\)। अतः \(16(\alpha+1)>0\), जिससे \(\alpha>-1\) प्राप्त होता है। \(\alpha=-1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक तो होंगे, पर भिन्न नहीं। परीक्षा-युक्ति: ‘वास्तविक और भिन्न मूल’ के लिए हमेशा \(D>0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-2(\alpha+2)\), and \(c=\alpha^2\). For real and distinct roots, the discriminant must satisfy \(D>0\). Thus, \(D=[-2(\alpha+2)]^2-4(1)(\alpha^2)=16(\alpha+1)\). Hence, \(16(\alpha+1)>0\), giving \(\alpha>-1\). When \(\alpha=-1\), \(D=0\), so the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).