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द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=k-4\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(D=(k-4)^2-4(2)(8)=(k-4)^2-64\)। अतः \((k-4)^2<64\), जिससे \(-8<k-4<8\) और \(-4<k<12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है, जिससे समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) लिखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=2\), \(b=k-4\), and \(c=8\), so \(D=(k-4)^2-4(2)(8)=(k-4)^2-64\). Therefore, \((k-4)^2<64\), which gives \(-8<k-4<8\), and hence \(-4<k<12\). Thus, option A is correct. In option B, \(D>0\), giving two distinct real roots, while in option C, \(D=0\), giving equal real roots. Exam tip: For the nature of roots, first calculate the discriminant using \(D=b^2-4ac\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-1)\) और \(c=k+1\) हैं। इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+1)=4(k^2-3k)=4k(k-3)\)। \(D=0\) रखने पर \(k=0\) या \(k=3\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2(k-1)\), and \(c=k+1\). Thus, \(D=4(k-1)^2-4(k+1)=4(k^2-3k)=4k(k-3)\). Setting \(D=0\) gives \(k=0\) or \(k=3\), so option A is correct. Exam tip: whenever a quadratic equation has equal roots, begin by applying \(D=0\).
द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-2\) और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=(m-2)^2-4\)। अतः \((m-2)^2<4\), जिससे \(-2<m-2<2\) और परिणामस्वरूप \(0<m<4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=m-2\), and \(c=1\), so \(D=(m-2)^2-4\). Thus, \((m-2)^2<4\), which gives \(-2<m-2<2\), and hence \(0<m<4\). Therefore, option A is correct. In option C, \(D=0\), which gives two equal real roots rather than no real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, first apply the condition \(D<0\).
A. \\(q=\\frac{5}{2}\\) या \\(q=-\\frac{5}{2}\\)/\\(q=\\frac{5}{2}\\) or \\(q=-\\frac{5}{2}\\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \\(a=q\\), \\(b=5\\), \\(c=q\\), इसलिए \\(D=25-4q^2=0\\)। अतः \\(q^2=\\frac{25}{4}\\), जिससे \\(q=\\pm\\frac{5}{2}\\)। विकल्प B में \\(5\\) और \\(-5\\) लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। ध्यान रखें कि \\(q=0\\) को पहले ही निषिद्ध किया गया है और तब समीकरण द्विघात भी नहीं रहेगा। / For equal roots, the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) must be zero. Here, \\(a=q\\), \\(b=5\\), and \\(c=q\\), so \\(D=25-4q^2=0\\). Thus, \\(q^2=\\frac{25}{4}\\), giving \\(q=\\pm\\frac{5}{2}\\). The values \\(5\\) and \\(-5\\) in option B do not make the discriminant zero. Also, \\(q=0\\) is excluded because it would make the equation non-quadratic. Exam tip: for equal roots, set the discriminant directly equal to zero.
A. दो समान वास्तविक मूल (\(D=0\))/Two equal real roots (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-8\) और \(c=16\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं; वास्तव में, \(t^2-8t+16=(t-4)^2\), इसलिए दोनों मूल \(t=4\) हैं। विकल्प B में \(D>0\) होने पर असमान मूल बताए गए हैं, जो यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / Here, \(a=1\), \(b=-8\), and \(c=16\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\). When \(D=0\), a quadratic equation has two equal real roots. In fact, \(t^2-8t+16=(t-4)^2\), so both roots are \(t=4\). Option B applies only when \(D>0\), which gives distinct real roots. Exam tip: To determine the nature of roots, first check the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूल समान तभी होते हैं जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो। इसलिए \(D_1=0\) वाली स्थिति में समान मूल मिलेंगे। \(D_2=7>0\) पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं, जबकि \(D_3=-2<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के लिए सीधे \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are equal only when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Therefore, the equation with \(D_1=0\) has equal roots. When \(D_2=7>0\), the roots are distinct and real, while \(D_3=-2<0\) gives no real roots. Exam tip: For equal roots, check \(D=0\) directly.
A. दो वास्तविक, अपरिमेय और असमान मूल/Two real, irrational and distinct roots (\(D=12\))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-4, c=1\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(1)(1)=12\)। चूँकि \(D>0\) और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, दोनों मूल वास्तविक, अपरिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि उसका दिया गया \(D=16\) इस समीकरण का विविक्तकर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से मूल असमान और \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से उनकी परिमेयता निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=-4, c=1\), so \(D=(-4)^2-4(1)(1)=12\). Since \(D>0\) and 12 is not a perfect square, the roots are real, irrational, and distinct. Option B is incorrect because \(D=16\) is not the discriminant of this equation. Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether the roots are real and distinct, then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
द्विघात समीकरण 8ax-2+bx+c=09 के समान मूलों के लिए विविक्तकर 8D=b-2-4ac9 शून्य होता है। यहाँ 8a=1,b=p,c=169, इसलिए 8D=p-2-4\times1\times16=p-2-64=09। अतः 8p-2=649 और 8p=\pm89, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 8p=\pm49 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखे तो तुरंत 8D=09 लगाएँ। / For a quadratic equation 8ax-2+bx+c=09 to have equal roots, its discriminant 8D=b-2-4ac9 must be zero. Here, 8a=1,b=p,c=169, so 8D=p-2-4\times1\times16=p-2-64=09. Hence 8p-2=649 and 8p=\pm89, making option A correct. For the closest distractor, 8p=\pm49 gives a non-zero discriminant. Exam tip: whenever roots are equal, set the discriminant equal to zero first.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। विकल्प (A) में D = 2² − 4(1)(5) = −16 है। चूँकि D < 0, इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प (D) में D = 0 है, इसलिए उसका एक समान वास्तविक मूल है; जबकि (B) और (C) में D > 0 है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option (A), D = 2² − 4(1)(5) = −16. Since D < 0, the equation has no real roots. In option (D), D = 0, so it has one repeated real root, while options (B) and (C) have D > 0. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और समान मूल तभी होते हैं जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) हो। विकल्प (A) में \(a=1, b=-6, c=9\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(9)=36-36=0\)। अतः इसके मूल समान हैं: \(x=3,3\)। विकल्प (B) और (D) में विविक्तकर क्रमशः 4 और 16 है, इसलिए उनके मूल अलग-अलग हैं; विकल्प (C) में विविक्तकर \(-4\) है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए पहले \(D=0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has two real and equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. For option (A), \(a=1, b=-6, c=9\), so \(D=(-6)^2-4(1)(9)=36-36=0\). Hence its roots are equal, namely \(x=3,3\). Options (B) and (D) have discriminants 4 and 16, respectively, so their roots are distinct; option (C) has discriminant \(-4\), so its roots are not real. Exam tip: For equal roots, check directly whether \(D=0\).
A. दो वास्तविक और समान मूल/Two real and equal roots \(D=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \(3(x-1)^2=0\) से समान मूल \(x=1\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर का मान गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(3)=36-36=0\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \(3(x-1)^2=0\), giving the repeated root \(x=1\). Option B is incorrect because its discriminant value is wrong. Exam tip: When \(D=0\), the roots are always real and equal.
A. D = 9; दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/D = 9; two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=7, c=10\), इसलिए \(D=7^2-4(1)(10)=49-40=9\)। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे; वास्तव में मूल \(-5\) और \(-2\) हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) पर मूल असमान होते हैं, और यदि \(D\) पूर्ण वर्ग हो तो वे परिमेय होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=7, c=10\), so \(D=7^2-4(1)(10)=49-40=9\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct; in fact, they are \(-5\) and \(-2\). Therefore, option A is correct. Exam tip: \(D>0\) gives distinct real roots, and a perfect-square discriminant makes those roots rational.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots; \\(D=-64\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=4,b=4,c=5\\), इसलिए \\(D=4^2-4(4)(5)=16-80=-64\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \\(D=0\\) होने पर ही मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=4,b=4,c=5\\), so \\(D=4^2-4(4)(5)=16-80=-64\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. The roots are real and equal only when \\(D=0\\), so option B is not correct. Exam tip: determine the nature of roots by checking the sign of the discriminant first.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots \(D=49\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6, b=-1, c=-2\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(6)(-2)=49\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, अतः दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि विकल्प D में दिया गया \(D=7\) सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय तथा असमान होते हैं। / Here, \(a=6, b=-1, c=-2\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(6)(-2)=49\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B would require \(D=0\), while the value \(D=7\) in option D is incorrect. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=25\)। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा \(D=25\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \(3\) और \(\frac{1}{2}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता पहचानें। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=25\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since \(D=25\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(3\) and \(\frac{1}{2}\). Hence, option A is correct. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, while a perfect-square discriminant indicates rational roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \(D=-136\)/No real roots \(D=-136\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=-2\) और \(c=5\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(7)(5)=4-140=-136\) है। क्योंकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प C में विविक्तकर का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले \(D\) का मान और फिर उसका चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=-2\), and \(c=5\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(7)(5)=4-140=-136\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option C results from taking the sign of the discriminant incorrectly. In an exam, calculate \(D\) first and then check its sign to determine the nature of the roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल (D = 0)/Two real and equal roots (D = 0)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a = 9, b = 12 और c = 4 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 12² − 4 × 9 × 4 = 144 − 144 = 0। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, 9x² + 12x + 4 = (3x + 2)² है और इसका दोहराया हुआ मूल x = −2/3 है। विकल्प B के लिए D > 0 होना चाहिए, जबकि यहाँ D = 0 है। परीक्षा युक्ति: D = 0 होने पर द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, a = 9, b = 12, and c = 4. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 12² − 4 × 9 × 4 = 144 − 144 = 0. Hence, the roots are real and equal. In fact, 9x² + 12x + 4 = (3x + 2)², so the repeated root is x = −2/3. Option B would require D > 0, but the discriminant here is zero. Exam tip: For a quadratic equation, D = 0 indicates two equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=2\) और \(c=3\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(1)(3)=4-12=-8\)। विकल्प 16 उस गलत सूत्र \(b^2+4ac\) से प्राप्त होता है। परीक्षा में विभेदक का सूत्र याद रखें: \(b^2-4ac\)। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=3\), so \(D=2^2-4(1)(3)=4-12=-8\). The value 16 results from using the incorrect formula \(b^2+4ac\). Exam tip: remember the discriminant formula as \(b^2-4ac\).
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, अभिकथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason is the correct explanation of the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-10\) और \(c=25\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=100-100=0\)। द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं; वास्तव में, \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), इसलिए दोनों मूल \(5\) हैं। अतः अभिकथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले \(D\) का मान निकालें। / Here, \(a=1\), \(b=-10\), and \(c=25\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=100-100=0\). For a quadratic equation, \(D=0\) means that the two roots are equal. In fact, \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so both roots are \(5\). Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: Calculate \(D\) first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। जब D < 0 होता है, तब �समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होते। यहाँ D = -3 < 0 है, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। विकल्प B केवल D = 0 पर सही होता है, जबकि वास्तविक अपरिमेय मूल के लिए D > 0 और पूर्ण वर्ग न होना आवश्यक है। परीक्षा में पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is D = b² − 4ac. When D < 0, the equation has no real roots. Since D = -3 < 0 here, option A is correct. Option B applies only when D = 0, while distinct real irrational roots require D > 0 and a discriminant that is not a perfect square. In an exam, first check the sign of the discriminant.
A. दो वास्तविक अपरिमेय और असमान/Two real irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में D = b² − 4ac होता है। यहाँ D = 12 धनात्मक है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। चूँकि 12 पूर्ण वर्ग नहीं है और गुणांक परिमेय हैं, इसलिए मूल अपरिमेय होंगे। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 से असमान वास्तविक मूल, D = 0 से समान मूल और D < 0 से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। / For a quadratic equation, D = b² − 4ac. Since D = 12 is positive, the roots are real and distinct. Also, 12 is not a perfect square and the coefficients are rational, so the roots are irrational. Hence, option A is correct. Exam tip: D > 0 gives distinct real roots, D = 0 gives equal roots, and D < 0 gives no real roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर D = 49 एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है। D > 0 होने पर दोनों मूल वास्तविक और असमान होते हैं, तथा D पूर्ण वर्ग होने के कारण वे परिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। D = 0 होने पर मूल समान होते, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय तथा असमान होते हैं। / The discriminant D = 49 is positive and a perfect square. Since D > 0, the roots are real and distinct; because D is a perfect square, the roots are rational. Therefore, option A is correct. The roots would be equal only when D = 0, so option B is incorrect. Exam tip: If D > 0 and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac\) होता है। जब \(\Delta=0\), तब मूल \(\frac{-b}{2a}\) और \(\frac{-b}{2a}\) होते हैं, इसलिए दोनों समान और वास्तविक होते हैं। विकल्प B में दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में मूल काल्पनिक/गैर-वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति पूछे जाने पर सबसे पहले \(\Delta\) का मान जाँचें। / The discriminant of a quadratic equation is \(\Delta=b^2-4ac\). When \(\Delta=0\), both roots are \(\frac{-b}{2a}\), so they are equal and real. Option B gives two distinct real roots, while option C gives non-real roots. Exam tip: To determine the nature of roots, first calculate the discriminant.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(k+1)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(4(2k+1)>0\), अर्थात \(k>-\frac{1}{2}\)। \(k=-\frac{1}{2}\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा में असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(k+1)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4k^2=4(2k+1)\). Two distinct real roots require \(D>0\), so \(4(2k+1)>0\), which gives \(k>- rac{1}{2}\). At \(k=-\frac{1}{2}\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: use \(D>0\) specifically for two distinct real roots.
द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) होती है। यहाँ \(a=1\), \(b=-(k+1)\), और \(c=4\), इसलिए \(D=(k+1)^2-16\)। अतः \((k+1)^2<16\), जिससे \(-4<k+1<4\) और \(-5<k<3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। सीमावर्ती मान \(k=-5\) या \(k=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल होते हैं, वास्तविक मूलों का अभाव नहीं। परीक्षा-युक्ति: ‘वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-(k+1)\), and \(c=4\), so \(D=(k+1)^2-16\). Thus, \((k+1)^2<16\), which gives \(-4<k+1<4\), and hence \(-5<k<3\). Therefore, option A is correct. At the boundary values \(k=-5\) and \(k=3\), \(D=0\), so the equation has two equal real roots rather than no real roots. Exam tip: for ‘no real roots’, always use the condition \(D<0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-6\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(k)(1)=0\)। अतः \(36-4k=0\), जिससे \(k=9\) प्राप्त होता है। विकल्प 6 लेने पर विविक्तकर शून्य नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=-6\), and \(c=1\), so \(D=(-6)^2-4(k)(1)=0\). Thus, \(36-4k=0\), giving \(k=9\). The value 6 does not make the discriminant zero. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(D=0\).
यहाँ \(a=3\), \(b=2k\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2k)^2-4(3)(k)=4k(k-3)\) होगा। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\) आवश्यक है, इसलिए \(k(k-3)\geq 0\), जिससे \(k\leq 0\) या \(k\geq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq 0\) लगाएँ। / Here \(a=3\), \(b=2k\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2k)^2-4(3)(k)=4k(k-3)\). For real roots, \(D\geq 0\), so \(k(k-3)\geq 0\), which gives \(k\leq 0\) or \(k\geq 3\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq 0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=p\), \(b=4\) और \(c=1\), इसलिए \(D=4^2-4(p)(1)=0\), अर्थात \(16-4p=0\) और \(p=4\)। विकल्प B में चिह्न गलत है; \(p=4\) ही समीकरण को द्विघात बनाए रखता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=p\), \(b=4\), and \(c=1\), so \(D=4^2-4(p)(1)=0\), giving \(16-4p=0\) and hence \(p=4\). Option B has the wrong sign, while \(p=4\) also satisfies \(p\neq 0\), keeping the equation quadratic. Exam tip: For equal roots, immediately use \(D=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=4\), \(b=m\), और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=m^2-16=0\)। अतः \(m^2=16\), जिससे \(m=4\) या \(m=-4\) प्राप्त होता है। केवल \(m=4\) लेना अधूरा है, क्योंकि ऋणात्मक मान भी समीकरण को समान मूल देता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=4\), \(b=m\), and \(c=1\), so \(D=m^2-16=0\). Therefore, \(m^2=16\), giving \(m=4\) or \(m=-4\). Choosing only \(m=4\) is incomplete because the negative value also produces equal roots. Exam tip: For equal-root questions, set \(b^2-4ac=0\) directly.
परवलय और x-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु ही द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल दर्शाते हैं। यदि परवलय x-अक्ष को न काटता है और न स्पर्श करता है, तो कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता; इसलिए विविक्तकर \(D<0\) और कोई वास्तविक मूल नहीं होता। ध्यान रखें, x-अक्ष को केवल स्पर्श करने की स्थिति में \(D=0\) होता है। / The points where the parabola intersects the x-axis represent the real roots of the quadratic equation. If it neither intersects nor touches the x-axis, there is no real intercept; therefore, the discriminant satisfies \(D<0\), and the equation has no real roots. In contrast, touching the x-axis would give \(D=0\).
