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A. दो वास्तविक और असमान मूल \(D>0\)/Two real and distinct roots \(D>0\)
Explanation
Simple Explanation
परवलय का x-अक्ष से प्रत्येक प्रतिच्छेद संबंधित द्विघात समीकरण के एक वास्तविक मूल को दर्शाता है। दो अलग-अलग प्रतिच्छेद होने पर दो वास्तविक और असमान मूल होते हैं, इसलिए विविक्तकर \(D>0\) होता है। \(D=0\) केवल तब होता है जब ग्राफ x-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदों की संख्या से मूलों की प्रकृति तुरंत पहचानी जा सकती है। / Each intersection of the parabola with the x-axis represents one real root of the corresponding quadratic equation. Two distinct intersections therefore indicate two real and distinct roots, so the discriminant is \(D>0\). The condition \(D=0\) applies only when the graph touches the x-axis at one point. Exam tip: Use the number of x-intercepts to identify the nature of the roots quickly.
A. दो वास्तविक और समान मूल (D=0)/Two real and equal roots (D=0)
Explanation
Simple Explanation
परवलय का x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करना दर्शाता है कि समीकरण का एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल है। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है और दोनों मूल वास्तविक तथा समान होते हैं। (D>0) परवलय के x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटने को दर्शाता है, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ x-अक्ष को छुए तो (D=0), काटे तो (D>0) और x-अक्ष से अलग रहे तो (D<0) याद रखें। / When a parabola touches the x-axis at exactly one point, the quadratic has one repeated real root. Hence, the discriminant \(D=b^2-4ac=0\), and the two roots are real and equal. If (D>0), the graph cuts the x-axis at two points, so option B is incorrect. Exam tip: touching means (D=0), cutting means (D>0), and staying away means (D<0).
A. D < 0, कोई वास्तविक मूल नहीं/D < 0, no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=5\), \(b=2\) और \(c=1\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\), अर्थात् \(D<0\)। ऋणात्मक विविक्तकर होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; इसके मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होते हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(D=0\) हो। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) को क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान वास्तविक मूल और असमान वास्तविक मूल से जोड़कर याद रखें। / Here, \(a=5\), \(b=2\), and \(c=1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\), so \(D<0\). A negative discriminant means that the quadratic equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Option B would be correct only if \(D=0\). Exam tip: remember that \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) correspond respectively to no real roots, equal real roots, and distinct real roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(3x^2-12=0\) में \(a=3\), \(b=0\) और \(c=-12\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0-4(3)(-12)=144\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और असमान होंगे; साथ ही \(\sqrt{D}=12\) पूर्णांक है, इसलिए दोनों मूल परिमेय हैं। वास्तव में मूल \(x=2\) और \(x=-2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय तथा असमान होते हैं। / For the equation \(3x^2-12=0\), \(a=3\), \(b=0\), and \(c=-12\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0-4(3)(-12)=144\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(\sqrt{D}=12\) is an integer, both roots are rational. In fact, the roots are \(x=2\) and \(x=-2\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \(D=9\)/Two real, rational, and distinct roots \(D=9\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=2\), \(b=-5\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय तथा भिन्न होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि धनात्मक विविक्तकर के अपरिमेय मूल तभी मिलते हैं जब वह पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेयता सुनिश्चित करता है। / For the given quadratic equation, \(a=2\), \(b=-5\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(2)(2)=25-16=9\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because a positive discriminant gives irrational roots only when it is not a perfect square. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, while a perfect-square discriminant indicates that the roots are rational.
A. वास्तविक असमान और अपरिमेय ((D=5))/Real distinct and irrational ((D=5))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=9-4=5) है जो धनात्मक है पर पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक असमान और अपरिमेय हैं। / Here (D=9-4=5), which is positive but not a perfect square. So roots are real distinct and irrational.
समीकरण को �(x-4)2=0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए दोनों समान मूल 4 हैं। जाँच के लिए द्विघात सूत्र में मूलों का मान या �x=-\frac{b}{2a}=4 भी प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल होने पर विविक्तकर �D=b-2-4ac का मान 0 होता है। / The equation can be factorised as \((x-4)^2=0\), so both roots are 4. Alternatively, for equal roots, use \(x=-\frac{b}{2a}=4\). Exam tip: a quadratic has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero.
द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(k)=4-4k\) है। अतः \(4-4k<0\), जिससे \(k>1\) प्राप्त होता है। \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(k)=4-4k\). Thus, \(4-4k<0\), which gives \(k>1\). If \(k=1\), then \(D=0\), so the equation has two equal real roots; hence option B is incorrect. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-6, c=k\), इसलिए \(\Delta=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\)। अतः \(36-4k>0\), जिससे \(k<9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) पर दोनों मूल समान होंगे, जबकि \(k>9\) पर मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(\Delta>0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have two real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(\Delta=b^2-4ac>0\). Here, \(a=1, b=-6, c=k\), so \(\Delta=(-6)^2-4(1)(k)=36-4k\). Thus, \(36-4k>0\), which gives \(k<9\). When \(k=9\), the roots are equal, and when \(k>9\), the roots are not real. Exam tip: for distinct real roots, always require \(\Delta>0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=9\), इसलिए \(D=k^2-36=0\)। अतः \(k^2=36\), जिससे \(k=6\) या \(k=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ और वर्ग समीकरण के दोनों चिन्हों को जाँचें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=k\), and \(c=9\), so \(D=k^2-36=0\). Thus, \(k^2=36\), giving \(k=6\) or \(k=-6\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(D=0\) and remember to consider both positive and negative square roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=k\), इसलिए \((-4)^2-4(1)(k)=0\), अर्थात \(16-4k=0\) और \(k=4\)। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा में समान मूलों के प्रश्नों के लिए सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=k\). Thus, \((-4)^2-4(1)(k)=0\), giving \(16-4k=0\) and hence \(k=4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: for equal roots, immediately use \(D=0\).
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \(D=-23\)/No real roots \(D=-23\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=1\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=1^2-4(2)(3)=-23\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(D<0\), इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प B और C गलत हैं, क्योंकि वे क्रमशः \(D=0\) और \(D>0\) के लिए होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D\) का चिह्न देखें। / Here, \(a=2\), \(b=1\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=1^2-4(2)(3)=-23\). Since \(D<0\), the quadratic equation has no real roots. Options B and C are incorrect because they correspond to \(D=0\) and \(D>0\), respectively. Exam tip: To determine the nature of the roots, first check the sign of the discriminant.
A. दो वास्तविक और समान मूल (\(D=0\))/Two real and equal roots (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=4, c=4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(4)=0\)। जब \(D=0\) होता है, तो द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल होते हैं। वास्तव में, \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), इसलिए दोनों मूल \(x=-2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले \(D=b^2-4ac\) का मान निकालें। / Here, \(a=1, b=4, c=4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(4)=0\). When \(D=0\), a quadratic equation has two real and equal roots. In fact, \(x^2+4x+4=(x+2)^2\), so both roots are \(x=-2\). Exam tip: To determine the nature of roots, first calculate \(D=b^2-4ac\).
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के मूल \\(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\) होते हैं। जब \\(D>0\\) होता है, तब \\(\sqrt{D}\\) धनात्मक वास्तविक संख्या होती है, इसलिए प्लस और माइनस से प्राप्त दोनों मूल वास्तविक तथा भिन्न होते हैं। \\(D=0\\) पर मूल समान और \\(D<0\\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) का मान या चिह्न जाँचें। / The roots of a quadratic equation are \\(\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\). When \\(D>0\\), \\(\sqrt{D}\\) is a positive real number, so the plus and minus forms give two real and distinct roots. For comparison, \\(D=0\\) gives equal roots, while \\(D<0\\) gives no real roots. In an exam, first calculate or determine the sign of the discriminant \\(D=b^2-4ac\\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=t, c=12\), इसलिए \(D=t^2-48\) और \(t^2-48<0\), अर्थात \(t^2<48\)। \(t^2=48\) होने पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=t, c=12\), so \(D=t^2-48\). Thus, \(t^2-48<0\), which gives \(t^2<48\). If \(t^2=48\), the equation has two equal real roots, so option B is incorrect. Exam tip: determine the nature of the roots by checking the sign of the discriminant first.
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=4\), \(b=s\) और \(c=9\), इसलिए \(s^2-4(4)(9)=0\)। अतः \(s^2=144\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=4\), \(b=s\), and \(c=9\), so \(s^2-4(4)(9)=0\). Therefore, \(s^2=144\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant equal to zero.
समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-2r, c=9\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2r)^2-4(1)(9)=4r^2-36\)। अब \(4r^2-36=0\) से \(r^2=9\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal real roots, the discriminant must be \(D=0\). Here, \(a=1, b=-2r, c=9\), so \(D=b^2-4ac=(-2r)^2-4(1)(9)=4r^2-36\). Thus, \(4r^2-36=0\), giving \(r^2=9\). Exam tip: For equal roots, immediately use the condition \(D=0\).
यहाँ \(a=7\), \(b=2\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=2^2-4(7)(3)=4-84=-80\) है। क्योंकि \(\Delta<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(\Delta=0\) होने पर ही दो वास्तविक और समान मूल मिलते हैं; अतः विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=2\), and \(c=3\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=2^2-4(7)(3)=4-84=-80\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots. Two real and equal roots occur only when \(\Delta=0\), so option B is incorrect. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
मानक रूप \\(ax^2+bx+c=0\\) से \\(a=7\\), \\(b=2\\) और \\(c=3\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=(2)^2-4(7)(3)=4-84=-80\\)। अतः सही उत्तर -80 है। चूँकि \\(D<0\\), इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में विविक्तकर निकालते समय \\(b\\) के चिह्न सहित उसका वर्ग अवश्य लें। / Comparing the equation with the standard form \\(ax^2+bx+c=0\\), we get \\(a=7\\), \\(b=2\\), and \\(c=3\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=(2)^2-4(7)(3)=4-84=-80\\). Therefore, -80 is correct. Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. In exams, remember to use the coefficient of \\(x\\), including its sign, when calculating \\(b^2\\).
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a = 2, b = 7 और c = 3 हैं। विविक्तकर D = b² − 4ac = 7² − 4(2)(3) = 25 है। D > 0 होने से मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं, तथा 25 पूर्ण वर्ग होने से वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल −1/2 और −3 हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, a = 2, b = 7 and c = 3. The discriminant is D = b² − 4ac = 7² − 4(2)(3) = 25. Since D > 0, the roots are real and distinct; since 25 is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are −1/2 and −3. Therefore, option A is correct. Exam tip: If D > 0 and D is a perfect square, the roots are real, rational and distinct.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=2, b=7, c=3\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(2)(3)=49-24=25\) होगा। विकल्प 49 केवल \(b^2\) है; उसमें \(4ac\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा-टिप: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले \(D\) का मान और उसका चिह्न निर्धारित करें। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0\), we get \(a=2, b=7, c=3\). Thus, \(D=b^2-4ac=7^2-4(2)(3)=49-24=25\). The distractor 49 is only \(b^2\), without subtracting \(4ac\). Exam tip: Calculate the value and sign of \(D\) first to determine the nature of the roots.
A. मूल वास्तविक और समान हैं/The roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=8, c=16\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=8^2-4(1)(16)=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, \(x^2+8x+16=(x+4)^2\), इसलिए दोनों मूल \(x=-4\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1, b=8, c=16\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=8^2-4(1)(16)=0\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, \(x^2+8x+16=(x+4)^2\), so both roots are \(x=-4\). Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has real and equal roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=8, c=16\), इसलिए \(D=8^2-4(1)(16)=64-64=0\)। अतः मूल समान होंगे। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानकर सूत्र में रखें; \(64\) केवल \(b^2\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=8, c=16\), so \(D=8^2-4(1)(16)=64-64=0\). Therefore, the equation has equal roots. In an exam, identify the signs of \(a,b,c\) before substitution; \(64\) is only the value of \(b^2\), not the complete discriminant.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24\)। अतः सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि धनात्मक विविक्तकर दो भिन्न वास्तविक मूलों को दर्शाता है; 36 केवल \(b^2\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=1\), so \(D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24\). Therefore, option A is correct. Remember that a positive discriminant indicates two distinct real roots; 36 is only the value of \(b^2\), not the complete discriminant.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\) है। \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग होने पर दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। वास्तव में मूल \(x=\frac{1}{2}\) और \(x=\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=\frac{1}{2}\) and \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: if \(D>0\) is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=6\), \(b=-5\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\), अतः सही उत्तर A है। \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; तथा \(D\) पूर्ण वर्ग होने के कारण वे परिमेय भी होंगे। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋण चिह्न को कोष्ठक में रखें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a=6\), \(b=-5\), and \(c=1\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\), so option A is correct. Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(D\) is also a perfect square, they are rational. Exam tip: always place the signed value of \(b\) in parentheses when calculating the discriminant.
यहाँ \(a=4\), \(b=-4\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(4)(3)=16-48=-32<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D गलत है, क्योंकि अपरिमेय और भिन्न वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर धनात्मक होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta<0\) होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=4\), \(b=-4\), and \(c=3\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(4)(3)=16-48=-32<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is incorrect because irrational and distinct roots are real roots and require a positive discriminant. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta<0\) means that it has no real roots.
कथन गलत है। द्विघात समीकरण में \(D>0\) होने पर दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं, समान मूल नहीं। समान मूल केवल \(D=0\) होने पर मिलते हैं, जबकि \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के लिए याद रखें—\(D>0\): वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\): समान मूल, \(D<0\): अवास्तविक मूल। / The statement is incorrect. For a quadratic equation, \(D>0\) gives two real and distinct roots, not equal roots. Equal roots occur only when \(D=0\), while \(D<0\) gives no real roots. Exam tip: remember the sequence—\(D>0\): real and distinct roots, \(D=0\): equal roots, \(D<0\): non-real roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल मिलने वाला कथन असत्य है। दो वास्तविक और भिन्न मूल \(D>0\) होने पर मिलते हैं; \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति याद रखने के लिए \(D>0\), \(D=0\), और \(D<0\) के क्रम को अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), the equation has no real roots, so the statement claiming two real and distinct roots is false. Two real and distinct roots occur when \(D>0\), while \(D=0\) gives equal real roots. Exam tip: Always check the three cases \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) to determine the nature of the roots.
विकल्प B में \(a=1, b=-2, c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-2)=12\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल वास्तविक और भिन्न हैं; और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय हैं। वास्तव में मूल \(1\pm\sqrt{3}\) हैं। विकल्प A में विविक्तकर 16 है, इसलिए मूल परिमेय हैं; C में विविक्तकर 0 है और D में यह ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय मूलों के लिए \(\Delta>0\) तथा \(\Delta\) का पूर्ण वर्ग न होना आवश्यक है। / For option B, \(a=1, b=-2, c=-2\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-2)=12\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct; since 12 is not a perfect square, the roots are irrational. In fact, the roots are \(1\pm\sqrt{3}\). Option A has discriminant 16, giving rational roots; option C has discriminant 0, giving equal roots; and option D has a negative discriminant, so it has no real roots. Exam tip: real, distinct, irrational roots require \(\Delta>0\) and \(\Delta\) not to be a perfect square.
