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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

समीकरण \(x^2+2tx+t+4=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (t) किस अंतराल में होना चाहिए?

For which interval of (t) will the equation \(x^2+2tx+t+4=0\) have no real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2t, c=t+4\), इसलिए \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\)। अतः \(t^2-t-4<0\), जिसके शून्यक \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) और \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\) हैं। परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए असमानता इन दोनों शून्यकों के बीच संतुष्ट होती है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में विविक्तकर के शून्यकों के बीच का अंतराल चुनें, सिरों को शामिल न करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=2t, c=t+4\), so \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\). Thus, \(t^2-t-4<0\), whose zeros are \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) and \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Since the corresponding parabola opens upward, the inequality holds between these two zeros. Exam tip: For \(D<0\), choose the interval between the discriminant’s zeros and exclude the endpoints.

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समीकरण \(x^2+2tx+t+4=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए (t) किस अंतराल में होना चाहिए? / For which interval of (t) will the equation \(x^2+2tx+t+4=0\) have no real roots?

Correct Answer: A. \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Explanation: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=2t, c=t+4\), इसलिए \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\)। अतः \(t^2-t-4<0\), जिसके शून्यक \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) और \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\) हैं। परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए असमानता इन दोनों शून्यकों के बीच संतुष्ट होती है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में विविक्तकर के शून्यकों के बीच का अंतराल चुनें, सिरों को शामिल न करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=2t, c=t+4\), so \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\). Thus, \(t^2-t-4<0\), whose zeros are \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) and \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Since the corresponding parabola opens upward, the inequality holds between these two zeros. Exam tip: For \(D<0\), choose the interval between the discriminant’s zeros and exclude the endpoints.