For which interval of \(t\) will the equation \(x^2+2tx+t+4=0\) have no real roots?समीकरण \(x^2+2tx+t+4=0\) के कोई वास्तविक मूल न हों, इसके लिए \(t\) किस अंतराल में होना चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)\(\frac{1-\sqrt{17}}{2}<t<\frac{1+\sqrt{17}}{2}\)
A quadratic has no real roots when its discriminant is negative. Here, \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\), so we need \(t^2-t-4<0\). The zeros of this quadratic expression are \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) and \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\). Since its leading coefficient is positive, it is negative between these zeros, excluding the endpoints. Thus, option A is correct.द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते जब उसका विविक्तकर ऋणात्मक हो। यहाँ \(D=(2t)^2-4(1)(t+4)=4(t^2-t-4)\), इसलिए \(t^2-t-4<0\) होना चाहिए। इस व्यंजक के शून्यक \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\) और \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\) हैं। इसका अग्रणी गुणांक धनात्मक है, इसलिए व्यंजक इन दोनों शून्यकों के बीच ऋणात्मक होता है; सिरों को शामिल नहीं किया जाता। अतः विकल्प A सही है।
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