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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 37

समीकरण \(x^2+2(m-1)x+(m+5)=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(m\) की शर्त क्या होगी?

What condition on \(m\) is required for the equation \(x^2+2(m-1)x+(m+5)=0\) to have no real roots?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(-1<m<4\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-1)\) और \(c=m+5\) हैं। वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\)। इसलिए \((m-4)(m+1)<0\), जिससे \(-1<m<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल होते हैं, जबकि विकल्प C पर समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए पहले \(D\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-1)\), and \(c=m+5\). For no real roots, the discriminant must satisfy \(D<0\). Thus, \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\). Therefore, \((m-4)(m+1)<0\), giving \(-1<m<4\). In option B, the discriminant is positive, so there are two real roots; at the endpoint values in option C, the roots are real and equal. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of the roots by checking the sign of its discriminant.

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समीकरण \(x^2+2(m-1)x+(m+5)=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(m\) की शर्त क्या होगी? / What condition on \(m\) is required for the equation \(x^2+2(m-1)x+(m+5)=0\) to have no real roots?

Correct Answer: A. \(-1<m<4\). Explanation: यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-1)\) और \(c=m+5\) हैं। वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\)। इसलिए \((m-4)(m+1)<0\), जिससे \(-1<m<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल होते हैं, जबकि विकल्प C पर समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए पहले \(D\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-1)\), and \(c=m+5\). For no real roots, the discriminant must satisfy \(D<0\). Thus, \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\). Therefore, \((m-4)(m+1)<0\), giving \(-1<m<4\). In option B, the discriminant is positive, so there are two real roots; at the endpoint values in option C, the roots are real and equal. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of the roots by checking the sign of its discriminant.