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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Hard Level 38

यदि x-2-2(k-3)x+k-2-6k+9=0 एक द्विघात समीकरण है, तो सभी वास्तविक मानों के लिए इसके मूलों की प्रकृति क्या होगी?

If x-2-2(k-3)x+k-2-6k+9=0 is a quadratic equation, what will be the nature of its roots for all real values of k?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. हमेशा वास्तविक और समानAlways real and equal

Explanation

Simple Explanation

यहाँ a=1, b=-2(k-3) और c=k-2-6k+9 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+9)=0\), क्योंकि \(k^2-6k+9=(k-3)^2\)। इसलिए प्रत्येक वास्तविक k के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-(k-3))^2=0\) है और मूल \(x=k-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा समान वास्तविक मूल होता है। / Here, a=1, b=-2(k-3), and c=k-2-6k+9. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+9)=0\), since \(k^2-6k+9=(k-3)^2\). Thus, for every real value of k, the roots are real and equal; in fact, the equation is \((x-(k-3))^2=0\), giving the repeated root \(x=k-3\). Exam tip: \(D=0\) indicates equal real roots.

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यदि x-2-2(k-3)x+k-2-6k+9=0 एक द्विघात समीकरण है, तो सभी वास्तविक मानों के लिए इसके मूलों की प्रकृति क्या होगी? / If x-2-2(k-3)x+k-2-6k+9=0 is a quadratic equation, what will be the nature of its roots for all real values of k?

Correct Answer: A. हमेशा वास्तविक और समान / Always real and equal. Explanation: यहाँ a=1, b=-2(k-3) और c=k-2-6k+9 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+9)=0\), क्योंकि \(k^2-6k+9=(k-3)^2\)। इसलिए प्रत्येक वास्तविक k के लिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-(k-3))^2=0\) है और मूल \(x=k-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा समान वास्तविक मूल होता है। / Here, a=1, b=-2(k-3), and c=k-2-6k+9. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-3)^2-4(k^2-6k+9)=0\), since \(k^2-6k+9=(k-3)^2\). Thus, for every real value of k, the roots are real and equal; in fact, the equation is \((x-(k-3))^2=0\), giving the repeated root \(x=k-3\). Exam tip: \(D=0\) indicates equal real roots.