For which interval of \(k\) does the equation \(x^2+(k+2)x+9=0\) have no real roots?समीकरण \(x^2+(k+2)x+9=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(k\) का कौन-सा अंतराल है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(-8<k<4\)\(-8<k<4\)
A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=(k+2)^2-36\). Thus, \((k+2)^2<36\), giving \(-6<k+2<6\), and hence \(-8<k<4\). In option B, \(D>0\), so the equation has two distinct real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(k+2)^2-4(1)(9)=(k+2)^2-36\) है। अतः \((k+2)^2<36\), जिससे \(-6<k+2<6\) और इसलिए \(-8<k<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें।
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