A. दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
(p=2m) shows \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) shows \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they make (2) a common factor. चरण 1: (p=2m) बताता है कि \(2\mid p\)। चरण 2: (q=2n) बताता है कि \(2\mid q\)। चरण 3: दोनों मिलकर (2) को साझा गुणनखंड बनाते हैं।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
\(3\mid a\) and \(3\mid b\) mean both are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This is not possible in lowest form. चरण 1: \(3\mid a\) और \(3\mid b\) का अर्थ है कि दोनों (3) के गुणज हैं। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा संभव नहीं है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
A fraction in lowest form cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
This breaks the rational assumption. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसी से परिमेय मान्यता टूटती है।
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, these break coprimality. चरण 1: (p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। चरण 2: (q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं।
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों/Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)/\(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows (3) in both numerator and denominator. चरण 1: \(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। चरण 3: यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
A. (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है/(2) becomes a common factor of both numerator and denominator
Step 1
Concept
We assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Thus (2) becomes a common factor, contradicting coprimality. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ (p,q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: प्रमाण से (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: इसलिए (2) साझा गुणनखंड बनता है, जो सहअभाज्यता के विरुद्ध है।
This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
That contradicts the condition of being coprime. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: यही बात सहअभाज्यता से टकराती है।
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
So it contradicts their being coprime. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है।
Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1). चरण 1: (\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: (p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है।
Coprime numbers should not have a common factor other than (1). चरण 1: (p=2m) और (q=2n) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (2) उनका साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
A common factor (5) in both creates the contradiction. चरण 1: (p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। चरण 2: इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है।
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have common factor (3)
Step 1
Concept
(p=3k) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3r) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Common factor (3) contradicts the coprime condition. चरण 1: (p=3k) से (p) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (q=3r) से (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड (3) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है/(p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Common factor (5) contradicts the coprime condition. चरण 1: (p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है/(p) and (q) have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(p=3r) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3s) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Both have common factor (3), so the coprime condition breaks. चरण 1: (p=3r) से (p) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (q=3s) से (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है, इसलिए सहअभाज्य शर्त टूटती है।
C. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), (5) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is impossible for coprime numbers. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। चरण 2: दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड होगा। चरण 3: इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है।
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both are divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(a^2=3b^2\), (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Then substituting (a=3k) shows (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Common factor (3) gives the contradiction. चरण 1: \(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य निकलता है। चरण 2: फिर (a=3k) रखने पर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 3: दोनों में (3) साझा होना विरोधाभास है।
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है/They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction is searched for in irrationality proofs. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है।
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है/Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(a=3k) means (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(b=3l) means (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
So both have (3) as a common factor. चरण 1: (a=3k) का अर्थ है (a) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (b=3l) का अर्थ है (b) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए दोनों में (3) साझा गुणनखंड है।
A. क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा/Because then both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (a) and (b) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradicts the coprime condition. चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है।
