यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=5m) और (q=5n) एक साथ क्यों नहीं हो सकते?
If (p) and (q) are coprime, why can (p=5m) and (q=5n) not hold together?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
A क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (5) सम हो जाएगा / Because then (5) will become even
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Correct Answer
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। / (p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। / (q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं। / Together, these break coprimality.
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यदि (x) और (y) सहअभाज्य हैं, तो कौन-सी स्थिति असंभव है?
If (x) and (y) are coprime, which situation is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root3
#common-factor
A (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
B (x) विषम और (y) सम हो / (x) is odd and (y) is even
C (x) और (y) अलग-अलग हों / (x) and (y) are different
D (x) धनात्मक और (y) ऋणात्मक हो / (x) is positive and (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने पर आगे कौन-सा सही निष्कर्ष मिलेगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), which correct conclusion follows?
#real-numbers
#root3
#substitution
#common-factor
A \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
B \(b^2=k^2\), इसलिए (b=k) / \(b^2=k^2\), so (b=k)
C (b=3a), इसलिए (b) (3) से विभाज्य है / (b=3a), so (b) is divisible by (3)
D (a=b), इसलिए दोनों बराबर हैं / (a=b), so both are equal
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Correct Answer
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। / From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है। / This shows (3) in both numerator and denominator.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन-सा असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
#hard
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (p) विषम और (q) सम हो / (p) is odd and (q) is even
C (p) और (q) अलग-अलग हों / (p) and (q) are different
D (p) धनात्मक और (q) धनात्मक हों / (p) and (q) are positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\).
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद सही विरोधाभासी परिणाम है?
Which option gives the correct contradictory result after assuming \(\sqrt{2}\) rational?
#real-numbers
#root2
#common-factor
#contradiction
#hard
A (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है / (2) becomes a common factor of both numerator and denominator
B अंश और हर दोनों (1) हो जाते हैं / Numerator and denominator both become (1)
C अंश और हर दोनों अपरिमेय हो जाते हैं / Numerator and denominator both become irrational
D अंश और हर दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / Numerator and denominator both become negative
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Correct Answer
A. (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है / (2) becomes a common factor of both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ (p,q) सहअभाज्य हैं। / We assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (2) साझा गुणनखंड बनता है, जो सहअभाज्यता के विरुद्ध है। / Thus (2) becomes a common factor, contradicting coprimality.
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कौन-सा तर्क सीधे सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता?
Which argument directly proves that \(\sqrt{3}\) cannot be rational?
#real-numbers
#root3
#proof
#common-factor
#hard
A मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
B मानने पर अंश और हर दोनों विषम हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become odd
C मानने पर अंश और हर बराबर हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator become equal
D मानने पर अंश हर से बड़ा हो जाता है / On assuming it rational, numerator becomes greater than denominator
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Correct Answer
A. मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। / Taking \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। / This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही बात सहअभाज्यता से टकराती है। / That contradicts the condition of being coprime.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम तुरंत विरोधाभास देगा?
If (a) and (b) are coprime, which result will immediately give a contradiction?
#coprime
#common factor
#hard
#class 10
A (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / Both (a) and (b) are integers
B (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
C \(b\neq 0\)
D (a) धनात्मक है / (a) is positive
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Correct Answer
B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (a) and (b) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (3), then (3) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास देता है। / So it contradicts their being coprime.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध परिणाम देता है?
Which option gives a result against (\gcd(p,q)=1) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#gcd
#common factor
#hard
A (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
D \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / \(\sqrt{5}\) is positive
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Correct Answer
A. (p=5m) और (q=5n) / (p=5m) and (q=5n)
Step 1
Concept
(\gcd(p,q)=1) का अर्थ है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / (\gcd(p,q)=1) means (p) and (q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(p=5m) और (q=5n) होने पर (5) उनका साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), (5) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह (\gcd(p,q)=1) के विरुद्ध है। / Therefore this goes against (\gcd(p,q)=1).
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो कौन सा परिणाम उनके बारे में सबसे सीधा विरोधाभास देगा?
If (p) and (q) are coprime, which result would most directly contradict this?
#coprime contradiction
#common factor
#class 10
#hard
A (p=2m) और (q=2n) / (p=2m) and (q=2n)
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq 0\)
D (p) धनात्मक है / (p) is positive
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Correct Answer
A. (p=2m) और (q=2n) / (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) और (q=2n) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (2) उनका साझा गुणनखंड है। / This means (2) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना जाए और प्रमाण में (p=5k) मिल जाए, तो अगला महत्वपूर्ण उद्देश्य क्या है?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and (p=5k) is obtained in the proof, what is the next important aim?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#hard
A (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
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Correct Answer
A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(p=5k) से (p) के (5) से विभाज्य होने की बात मिलती है। / (p=5k) shows that (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=5q^2\) में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है, जिससे (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Substituting it in \(p^2=5q^2\) gives \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास बनाता है। / A common factor (5) in both creates the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में यदि (p=3k) और (q=3r) मिलते हैं, तो सही निष्कर्ष क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (p=3k) and (q=3r) are obtained, what is the correct conclusion?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have common factor (3)
B (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
C \(\sqrt{3}=3\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have common factor (3)
Step 1
Concept
(p=3k) से (p) (3) से विभाज्य है। / (p=3k) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3r) से (q) भी (3) से विभाज्य है। / (q=3r) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड (3) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (3) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (p=5k) और (q=5r) मिल जाएं, तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k) and (q=5r) are obtained, which conclusion is correct?
#sqrt5 proof
#common factor
#contradiction
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
B \(\sqrt{5}=5\)
C (p) और (q) सहअभाज्य ही हैं / (p) and (q) are still coprime
D (q=0)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड (5) है / (p) and (q) have common factor (5)
Step 1
Concept
(p=5k) का अर्थ है (p) (5) से विभाज्य है। / (p=5k) means (p) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5r) का अर्थ है (q) भी (5) से विभाज्य है। / (q=5r) means (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड (5) होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / Common factor (5) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलना क्या दिखाता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what does getting (p=3r) and (q=3s) show?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have (3) as a common factor
B (p) और (q) दोनों शून्य हैं / Both (p) and (q) are zero
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (p=q) है / (p=q)
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Correct Answer
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(p=3r) से (p) (3) से विभाज्य है। / (p=3r) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3s) से (q) भी (3) से विभाज्य है। / (q=3s) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है, इसलिए सहअभाज्य शर्त टूटती है। / Both have common factor (3), so the coprime condition breaks.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन सी स्थिति असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following situations is impossible?
#coprime
#common factor
#real numbers
#class 10
A (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / Both (p) and (q) are integers
B \(q\neq 0\)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) धनात्मक हो सकता है / (p) may be positive
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Correct Answer
C. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड होगा। / If both are divisible by (5), (5) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / Therefore this is impossible for coprime numbers.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिला, तो (a) और (b) के बारे में अंत में क्या दिखाना होता है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(a^2=3b^2\), what must be shown about (a) and (b) at the end?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (2)
B दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3)
C दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (5)
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य निकलता है। / From \(a^2=3b^2\), (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (a=3k) रखने पर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / Then substituting (a=3k) shows (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) साझा होना विरोधाभास है। / Common factor (3) gives the contradiction.
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कौन सा विकल्प बताता है कि (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं?
Which option shows that (p) and (q) are not coprime?
#coprime
#common factor
#proof
#class 10
A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
B दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
C दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
D दोनों भिन्न में लिखे गए हैं / Both are written in a fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। / If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है। / This contradiction is searched for in irrationality proofs.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (a=3k) और (b=3l) मिल जाएं, तो (a) और (b) के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (a=3k) and (b=3l), what can be said about (a) and (b)?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
B दोनों सहअभाज्य ही हैं / Both are definitely coprime
C दोनों शून्य हैं / Both are zero
D दोनों अपरिमेय हैं / Both are irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(a=3k) का अर्थ है (a) (3) से विभाज्य है। / (a=3k) means (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(b=3l) का अर्थ है (b) भी (3) से विभाज्य है। / (b=3l) means (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / So both have (3) as a common factor.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में दोनों (a) और (b) सम मिलना क्यों समस्या है?
Why is it a problem if both (a) and (b) are found even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#common factor
#sqrt2 proof
#class 10
A क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because then both have (2) as a common factor
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब दोनों अपरिमेय होंगे / Because then both will be irrational
D क्योंकि तब दोनों ऋणात्मक होंगे / Because then both will be negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because then both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (a) and (b) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts the coprime condition.
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