Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्य गुणनफल नियम के अनुसार \((x-4)=0\) या \((x+9)=0\) होगा। इसलिए \(x=4\) या \(x=-9\), अर्थात मूल \(4\) और \(-9\) हैं। विकल्प B में दोनों चिह्न गलत हैं; विशेष रूप से \(x+9=0\) से \(x=-9\) मिलता है। परीक्षा में गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर प्रत्येक मूल अलग-अलग निकालें। / By the zero-product property, either \((x-4)=0\) or \((x+9)=0\). Thus, \(x=4\) or \(x=-9\), so the roots are \(4\) and \(-9\). Option B has both signs wrong; in particular, \(x+9=0\) gives \(x=-9\). In an exam, set each factor equal to zero and solve separately.
\\((x+4)(x-3)\\) को फैलाएँ: \\(x^2 -3x +4x -12 = x^2 + x -12\\). इसलिए यह दिया गया द्विघात समीकरण पूरा करता है। निकटभ्रम (विकल्प B) का विस्तार करने पर \\((x-4)(x+3)= x^2 - x -12\\) मिलता है — मध्य पद का संकेत अलग है, इसलिए गलत। विकल्प C और D के विस्तार क्रमशः \\(x^2+7x+12\\) और \\(x^2-7x+12\\) होंगे, जो मेल नहीं खाते। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दो ऐसे संख्याएँ ढूँढें जिनका गुणन \\-12\\ और योग \\+1\\ हो — यहाँ 4 और -3। / Expand \\((x+4)(x-3)\\): \\(x^2 -3x +4x -12 = x^2 + x -12\\), so it matches the given quadratic. Closest distractor B expands to \\((x-4)(x+3)= x^2 - x -12\\), which has the middle term \\(-x\\) (wrong sign). Options C and D expand to \\(x^2+7x+12\\) and \\(x^2-7x+12\\) respectively, so they do not match. Exam tip: find two numbers whose product is \\-12\\ and sum is \\+1\\ (here 4 and -3).
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
A. (k(x-m)(x-n)), जहाँ \(k\neq0\)/(k(x-m)(x-n)), where \(k\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (m) और (n) के लिए गुणनखंड ((x-m)) और ((x-n)) होते हैं। गैर शून्य गुणक शून्यक नहीं बदलता। / For zeroes (m) and (n), the factors are ((x-m)) and ((x-n)). A non-zero multiplier does not change zeroes.
शून्यक वे x के मान हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) होता है। स्थायी गुणांक (यहाँ बाहर का '-' चिह्न) शून्यकों को प्रभावित नहीं करता। गुणांकों को शून्य करके: \(x-3=0\) से \(x=3\) और \(x+1=0\) से \(x=-1\)। इसलिए शून्यक 3 और -1 हैं। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प D ने -1 के स्थान पर 1 लिया है (साइन उलट गया), विकल्प B ने दोनों चिह्न उलट दिए। परीक्षा टिप: किसी बहुपद को गुणनों के रूप में लिखकर प्रत्येक गुणांक को शून्य के बराबर रखकर ही शून्यक निकालें; बहरे गुणांक/स्थायी गुणांक अनदेखा करें। / Zeros are the x-values for which \(p(x)=0\). A multiplicative constant (the leading '-' here) does not change the roots. Set each factor equal to zero: \(x-3=0\) gives \(x=3\), and \(x+1=0\) gives \(x=-1\). Thus the zeros are 3 and -1. Why distractors fail: option D mistakenly uses +1 instead of -1; option B flips signs of both roots. Exam tip: Factor the polynomial and set each linear factor to zero; ignore overall constant factors when finding zeros.
बहुपद को गुणनखंडों में लिखा है: p(x)=2(x-1)(x+4)। ग्राफ के x-प्रतिच्छेद वे x मान हैं जहाँ p(x)=0। इसलिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके x-मान मिलते हैं: x-1=0 → x=1 और x+4=0 → x=-4। अतः x-प्रतिच्छेद (1,0) और (-4,0) हैं। 2 का गुणनांक मूल्यों को नहीं बदलता। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B में संकेत उल्टे हैं, C में गलती से 1 के स्थान पर 2 लिया गया है, और D में y-अवरोध दिए गए हैं। परीक्षा संकेत: यदि बहुपद का गुणनखंड रूप दिया हो तो सीधे प्रत्येक गुणनखंड को शून्य करके जड़ें लिखें और उन्हें (root,0) के रूप में प्रस्तुत करें। / The polynomial is given in factor form: p(x)=2(x-1)(x+4). x-intercepts occur where p(x)=0, so set each factor to zero: x-1=0 → x=1 and x+4=0 → x=-4. Hence the intercepts are (1,0) and (-4,0). The multiplicative constant 2 does not affect the roots. Closest distractor B flips the signs, C wrongly uses 2 instead of 1, and D lists y-intercepts. Exam tip: from factorised form read off roots directly and write intercepts as (root,0).
(x<-13) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-13), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
(x<-11) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-11), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
(x<-9) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-9), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
(x<-8) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-8), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
(x<-6) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें फिर बाहरी चिन्ह लगाएं। / For (x<-6), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: first check factor signs and then apply the outside sign.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
कारकों को शून्य करने पर (x=4) और (x=-2) मिलते हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु में बदलें। / Setting the factors to zero gives (x=4) and (x=-2). Tip: convert each zero into the point ((x,0)).
