cancellation of terms se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
मान लें कि अशून्य बहुपद \(p(x)\) और \(q(x)\), दोनों की घात \(n\) है तथा \(p(x)+q(x)\) भी अशून्य है। \(p(x)+q(x)\) की घात \(n\) से कम होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
A. \(x^n\) के गुणांक परस्पर योगात्मक प्रतिलोम हों/The coefficients of \(x^n\) are additive inverses of each other
Explanation
Simple Explanation
दोनों बहुपदों में \(x^n\) का पद सबसे उच्च घात वाला है। यदि उसके गुणांकों का योग शून्य हो, तो \(x^n\) पद कट जाता है और शेष अशून्य योग की घात \(n\) से कम होगी। स्थिर पद इसमें प्रभावी नहीं होते। परीक्षा टिप: पहले सबसे उच्च घात वाले पदों के गुणांक जाँचें। / The \(x^n\) terms are the highest-degree terms in both polynomials. If their coefficients add to zero, these terms cancel, so the remaining non-zero sum has degree below \(n\). Constant terms do not control degree. Exam tip: compare leading coefficients first.
एक विद्यार्थी कहता है कि दो बहुपदों की डिग्री 6 होने पर उनके योग की डिग्री भी हमेशा 6 होगी। यदि \(p(x)=x^6-3x^2\) और \(q(x)=-x^6+5x\) हों, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
B. योग की डिग्री 2 है, क्योंकि \(x^6\) वाले पद कट जाते हैं।/The sum has degree 2 because the \(x^6\) terms cancel.
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\)। \(x^6\) पद कटने के बाद सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: योग में पहले समान घात वाले पदों को सरल करें। / \(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\). After the \(x^6\) terms cancel, the highest remaining exponent is 2, so the degree is 2. Exam tip: simplify like terms before finding degree.
दिए गए व्यंजक में \(7x^{13}-7x^{13}=0\) तथा \(8x^9-8x^9=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=10x^6-5\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(6\) है। विकल्प 13 और 9 कट चुके पदों के घातांक हैं, इसलिए वे डिग्री नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को मिलाकर बहुपद को सरल करें, फिर शून्येतर पद का सबसे बड़ा घातांक लें। / In the given expression, \(7x^{13}-7x^{13}=0\) and \(8x^9-8x^9=0\). Thus, \(F(x)=10x^6-5\) remains. Its highest exponent is \(6\), so the degree of the polynomial is \(6\). Options 13 and 9 are exponents of terms that cancel, so they cannot determine the degree. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest exponent with a non-zero coefficient.
दिए गए व्यंजक में \(6x^{12}-6x^{12}=0\) और \(7x^8-7x^8=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=9x^5-4\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। विकल्प 0 केवल किसी शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री होता। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल कीजिए, फिर शेष उच्चतम घातांक देखिए। / In the given expression, \(6x^{12}-6x^{12}=0\) and \(7x^8-7x^8=0\). Thus, \(F(x)=9x^5-4\). The highest exponent with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is \(5\). Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest remaining exponent.
दिए गए व्यंजक में 4x^{10}-4x^{10}=0 और 5x-6-5x-6=0 हो जाते हैं। अतः F(x)=7x-3-2 बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। 0 डिग्री केवल किसी अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल करें, फिर शेष सबसे बड़े घातांक को देखें। / In the given expression, 4x^{10}-4x^{10}=0 and 5x-6-5x-6=0. Thus, F(x)=7x-3-2 remains. The greatest exponent of x is 3, so the degree of the polynomial is 3. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest remaining exponent.
\(A(x)+B(x)=(x^5+4)+(-x^5+3x^2)=3x^2+4\)। यहाँ \(x^5\) और \(-x^5\) पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। \(5\) लेना गलत होगा, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^5\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही सबसे बड़े शून्येतर घातांक से डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^5+4)+(-x^5+3x^2)=3x^2+4\). The terms \(x^5\) and \(-x^5\) cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is \(2\), so its degree is \(2\). Choosing \(5\) would be incorrect because no \(x^5\) term remains after addition. Exam tip: find the degree only after simplifying the resulting polynomial.
दिए गए व्यंजक में \(2x^6-2x^6=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^4-x^2\) बचता है, जिसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(4\) है। \(6\) डिग्री नहीं होगी, क्योंकि \(x^6\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को अवश्य सरल करें। / In the given expression, \(2x^6-2x^6=0\). Thus, \(g(x)=x^4-x^2\), and the highest power of \(x\) remaining is \(4\). Therefore, the degree of the polynomial is \(4\). It is not \(6\) because the \(x^6\) terms cancel each other. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
