डिग्री (4) के लिए \(x^{13}\) और \(x^9\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=-6) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (4), both \(x^{13}\) and \(x^9\) terms must vanish. At (a=-6), both higher-term coefficients become (0).
फैलाने पर \(x^{11}-3x^7-x^{11}+5x^8-6\) मिलता है। \(x^{11}\) कटता है और सबसे बड़ी घात (8) रहती है। / On expanding, we get \(x^{11}-3x^7-x^{11}+5x^8-6\). The \(x^{11}\) term cancels and the highest power left is (8).
(k=3) रखने पर \(x^{12}\) और \(x^7\) दोनों पद हट जाते हैं। बचा \(6x^2-5\) है जिसकी डिग्री (2) है। / Putting (k=3) removes both \(x^{12}\) and \(x^7\) terms. The remaining \(6x^2-5\) has degree (2).
उच्चतम पद \(5x^7\cdot x^4=5x^{11}\) से बनेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (11) है। / The highest term comes from \(5x^7\cdot x^4=5x^{11}\). Therefore the product has degree (11).
\(5x^3-2x+7\) में \(x\) की घातें 3, 1 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह तीसरी डिग्री का बहुपद है। \(\frac{1}{x}\) वाली B बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: घातें पूर्णांक और अऋणात्मक जाँचें। / In \(5x^3-2x+7\), the powers of \(x\) are 3, 1, and 0, so the highest power is 3. Hence it is a cubic polynomial. Option B has \(1/x=x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: check for non-negative integer powers.
बहुचरीय बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी एक पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 7+4=11, 3+10=13, 1+5=6 और अचर पद -13 के लिए 0 हैं। सबसे बड़ी कुल घात 13 है, इसलिए सही उत्तर 13 है। 11 पहले पद की कुल घात है, लेकिन वह अधिकतम नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial in more than one variable is the greatest sum of the exponents of the variables in any term. Here, the term degrees are 7+4=11, 3+10=13, 1+5=6, and 0 for the constant term -13. The greatest value is 13, so the total degree is 13. Although 11 is the degree of the first term, it is not the highest. Exam tip: Add the exponents in each term and choose the largest sum.
x के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 9, 7, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए डिग्री 9 है। 11, y की घात है; x के संदर्भ में डिग्री निकालते समय इसे नहीं लिया जाता। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी हो, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficients. The powers of x in the given expression are 9, 7, 0, and 0. The greatest of these is 9, so the degree is 9. The exponent 11 belongs to y and is not considered for the degree in x. Exam tip: Look only at the highest exponent of the variable specified in the question.
B. डिग्री 3 है, क्योंकि \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है।/The degree is 3 because the highest exponent of \(x\) is 3.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ घातें 3, 1 और 0 हैं; अतः सबसे बड़ी घात 3 है। घातों को जोड़ना गलत है। परीक्षा में शून्येतर गुणांक वाले पद देखें। / The degree is the greatest exponent of the variable in any term. Here the exponents are 3, 1 and 0, so the degree is 3. Adding exponents is incorrect. Exam tip: first identify the term with the highest power and a non-zero coefficient.
जब (n>14) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=17) शर्त पूरी करता है। / When (n>14), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, (n=17) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(3x^{11}\) पद के कारण डिग्री \(11\) है। शर्त \(m<11\) के अनुसार \(m=9\) संभव है और तब \(8x^9\) की घात \(11\) से कम रहती है। \(m=11\) शर्त \(m<11\) को पूरा नहीं करता, जबकि \(m=12\) या \(m=13\) होने पर बहुपद की डिग्री \(11\) से अधिक हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय हमेशा सबसे बड़ी घात और दी गई असमानता, दोनों जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable among its terms. The term \(3x^{11}\) makes the degree \(11\). Since \(m<11\), \(m=9\) is possible, and the exponent of \(8x^9\) remains below \(11\). \(m=11\) does not satisfy \(m<11\), while \(m=12\) or \(m=13\) would make the degree greater than \(11\). Exam tip: Check both the highest exponent and every condition given in the question.
एक विद्यार्थी ने कहा कि बहुपद \(P(x)=6x^5-6x^5+4x^2-1\) की डिग्री 5 है, क्योंकि उसमें \(x^5\) पद दिखाई दे रहा है। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार कौन-सा है?
A. डिग्री 2 है, क्योंकि \(6x^5-6x^5=0\) और शेष बहुपद \(4x^2-1\) है।/The degree is 2 because \(6x^5-6x^5=0\), leaving \(4x^2-1\).
Explanation
Simple Explanation
समान \(x^5\) पदों के गुणांक विपरीत होने से वे कट जाते हैं: \(6x^5-6x^5=0\)। सरल रूप \(4x^2-1\) में सबसे बड़ी घात 2 है। परीक्षा टिप: डिग्री निकालने से पहले बहुपद को सरल करें। / The \(x^5\) terms cancel because their coefficients are opposites: \(6x^5-6x^5=0\). The simplified polynomial is \(4x^2-1\), whose highest exponent is 2. Exam tip: always simplify before finding degree.
शून्य बहुपद \(0\) में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घातांक नहीं चुना जा सकता और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। \(-7\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री अपरिभाषित होती है। / The zero polynomial \(0\) has no non-zero term, so there is no highest exponent to identify; hence its degree is undefined. In contrast, \(-7\) is a non-zero constant of degree 0. Exam tip: only the zero polynomial has undefined degree.
\(b\neq-8\) होने पर \(x^{16}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (16) रहेगी। / When \(b\neq-8\), the coefficient of \(x^{16}\) is not zero. Therefore the highest power remains (16).
b=-8 रखने पर b+8=0 हो जाता है। इसलिए x^{16} वाला पद 0x^{16} बनकर समाप्त हो जाता है और बहुपद 10x-7-3 रह जाता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 7 है, अतः इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 16 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक शून्य तो नहीं है, यह अवश्य जाँचें। / Substituting b=-8 gives b+8=0. Hence, the x^{16} term becomes 0x^{16} and vanishes, leaving the polynomial 10x-7-3. The highest power of x is 7, so its degree is 7. Option 16 is incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Before finding a polynomial’s degree, check whether the coefficient of the apparent highest-degree term becomes zero.
उच्चतम पद \(x^7\cdot x^9=x^{16}\) से मिलेगा। इसलिए गुणनफल की डिग्री (16) है। / The highest term comes from \(x^7\cdot x^9=x^{16}\). Therefore the product has degree (16).
पहले विस्तार करें: \(7x^9(x^2-1)=7x^{11}-7x^9\)। अतः पूरा व्यंजक \(7x^{11}-7x^9-7x^{11}+6x^8=-7x^9+6x^8\) बनता है। इसमें \(x^{11}\) वाले पद कट जाते हैं और सबसे अधिक घात 9 है, इसलिए डिग्री 9 है। विकल्प 8 केवल शेष दूसरे पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल करना आवश्यक है। / First expand: \(7x^9(x^2-1)=7x^{11}-7x^9\). Thus, the expression becomes \(7x^{11}-7x^9-7x^{11}+6x^8=-7x^9+6x^8\). The \(x^{11}\) terms cancel, and the highest remaining exponent is 9, so the degree is 9. Option 8 is the exponent of the other remaining term, not the highest one. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-61) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-61) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
चौथे बहुपद की डिग्री (12) है और \(x^{11}\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^{11}\) का गुणांक (0) है। / The fourth polynomial has degree (12), and the \(x^{11}\) term is absent. So the coefficient of \(x^{11}\) is (0).
यहाँ \(Y(x)=0\) शून्य बहुपद है, अर्थात इसके सभी गुणांक शून्य हैं। शून्य बहुपद में कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) केवल अचर अशून्य बहुपद, जैसे \(5\), की डिग्री होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले अशून्य पद को देखें। / Here, \(Y(x)=0\) is the zero polynomial, meaning that all its coefficients are zero. It has no non-zero term with a highest power, so its degree is not defined. \(0\) is the degree of a non-zero constant polynomial, such as \(5\), not of the zero polynomial. Exam tip: To find a degree, look for the highest power having a non-zero coefficient.
पहले व्यंजक को सरल कीजिए: \(x^7(x^2-8)=x^9-8x^7\)। अतः \(p(x)=x^9-8x^7-x^9+8x^7+43=43\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 9 लेने पर रद्द होने वाले \(x^9\) पद की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / First simplify the expression: \(x^7(x^2-8)=x^9-8x^7\). Hence, \(p(x)=x^9-8x^7-x^9+8x^7+43=43\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Choosing 9 would ignore the cancellation of the \(x^9\) terms. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
गुणन से \(x^{15}+3x^{11}-4x^7\) मिलता है और \(x^{15}\) कटता है। बची सबसे बड़ी घात (11) है। / Multiplication gives \(x^{15}+3x^{11}-4x^7\), and \(x^{15}\) cancels. The remaining highest power is (11).
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=8) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (c=8), both coefficients become (0).
डिग्री (6) के लिए \(x^9\) पद हटना चाहिए और \(x^6\) पद बचना चाहिए। (d=-9) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (6), the \(x^9\) term must vanish and the \(x^6\) term must remain. This condition holds at (d=-9).
पहले पद की कुल घात (7+4+3=14) है और दूसरे पद की (3+2+10=15) है। इसलिए कुल डिग्री (15) है। / The total power of the first term is (7+4+3=14) and of the second term is (3+2+10=15). Therefore the total degree is (15).
(z) की सबसे बड़ी घात (10) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (10). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
A. समान घात वाले पदों को पहले जोड़ना चाहिए; सरलीकरण के बाद उच्चतम घात 3 है।
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में समान घात वाले पद जोड़े जाते हैं: \(5x^3-2x^3=3x^3\)। अतः \(p(x)=3x^3+x^2-7\) है और इसकी उच्चतम घात 3 है। घातों को जोड़ना गुणन में होता है, जोड़ या घटाव में नहीं। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Like terms must be combined first: \(5x^3-2x^3=3x^3\). Thus, \(p(x)=3x^3+x^2-7\), whose highest exponent is 3. Exponents are added during multiplication, not during addition or subtraction. Exam tip: simplify the polynomial before identifying its degree.
a² - b² = (a-b)(a+b) के सूत्र में a = x-8 और b = 1 रखने पर
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डिग्री (11) के लिए \(n+7\le11\) होना चाहिए। इसलिए \(n\le4\) सही शर्त है। / For degree (11), \(n+7\le11\) must hold. Therefore \(n\le4\) is the correct condition.
कोष्ठक खोलने पर \(p(x)=x^9-7x^6+5-x^9+3x^6=-4x^6+5\) मिलता है। \(x^9\) वाले पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(6\) है। \(5\) स्थिर पद है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: घटाव वाले कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलकर पहले बहुपद को सरल करें। / On opening the brackets, \(p(x)=x^9-7x^6+5-x^9+3x^6=-4x^6+5\). The \(x^9\) terms cancel, and the highest exponent in the remaining polynomial is \(6\), so its degree is \(6\). The number \(5\) is a constant term, not the degree. Exam tip: When subtracting a bracket, change the sign of every term before simplifying.
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर \(x^9(x^2+1)-x^2(x^9-8)=x^{11}+x^9-x^{11}+8x^2=x^9+8x^2\) मिलता है। \(x^{11}\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(9\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(9\) है। \(11\) चुनना गलत होगा, क्योंकि वह पद सरल रूप में बचता नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / Expanding the expression gives \(x^9(x^2+1)-x^2(x^9-8)=x^{11}+x^9-x^{11}+8x^2=x^9+8x^2\). The \(x^{11}\) terms cancel each other. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is \(9\), so its degree is \(9\). Choosing \(11\) would be incorrect because that term does not remain after simplification. Exam tip: always simplify a polynomial fully before finding its degree.
(e=5) पर \(x^{14}\) पद हटता है लेकिन \(x^{12}\) का गुणांक (8) रहता है। इसलिए डिग्री (12) है। / At (e=5), the \(x^{14}\) term vanishes but the coefficient of \(x^{12}\) remains (8). Therefore the degree is (12).
दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद का गुणांक \(0\) है, इसलिए \(p(x)\) शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, अतः उसका उच्चतम घात वाला पद निर्धारित नहीं किया जा सकता और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) केवल किसी अशून्य अचर बहुपद की डिग्री होती है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले जाँचें कि बहुपद शून्य बहुपद तो नहीं है। / Every term in the given expression has coefficient \(0\), so \(p(x)\) is the zero polynomial. The zero polynomial has no non-zero term, so it has no highest power and its degree is not defined. \(0\) is the degree of a non-zero constant polynomial, not of the zero polynomial. Exam tip: Before finding a degree, check whether the polynomial is the zero polynomial.
उच्चतम घात \(x\cdot x^7\cdot x^8=x^{16}\) से आती है। इसलिए डिग्री (16) है। / The highest power comes from \(x\cdot x^7\cdot x^8=x^{16}\). Therefore the degree is (16).
बहुपद \(x^8y^3+2x\) में पद \(x^8y^3\) की कुल घात \(8+3=11\) है। दूसरे पद \(2x\) की घात 1 है, इसलिए बहुपद की सबसे बड़ी कुल घात 11 होगी। अतः सही विकल्प B है। विकल्प A की डिग्री \(6+4=10\) है। परीक्षा टिप: कई चरों वाले पद में सभी चरों की घातों को जोड़कर कुल घात ज्ञात करें। / In \(x^8y^3+2x\), the term \(x^8y^3\) has total degree \(8+3=11\). The other term, \(2x\), has degree 1, so the greatest total degree of the polynomial is 11. Hence, option B is correct. Option A has degree \(6+4=10\). Exam tip: For a term in several variables, add the exponents of all its variables to find its total degree.
\(0x^{19}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{17}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (17) है। / \(0x^{19}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{17}\) term. Therefore the degree is (17).
दिए गए व्यंजक में समान पद घटाने पर \(x^9-x^9=0\) और \(x^6-x^6=0\) हो जाते हैं। इसलिए बहुपद केवल \(1\) रह जाता है। \(1\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, जिसकी डिग्री \(0\) होती है। \(9\) या \(6\) मूल व्यंजक में घातें हैं, लेकिन वे सरलीकरण के बाद समाप्त हो जाती हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / On subtracting like terms, \(x^9-x^9=0\) and \(x^6-x^6=0\). Thus, the polynomial reduces to \(1\). Since \(1\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degrees \(9\) and \(6\) occur in the original expression, but those terms cancel after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^{14}\) और \(x^{10}\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-13) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{14}\) and \(x^{10}\) terms must vanish. At (s=-13), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^{11}+7x^6+17)-(x^{11}+7x^6)=17\)। चूँकि 17 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 11 या 6 मूल बहुपदों की डिग्रियाँ हैं, अंतर की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाने के बाद ही बचे हुए उच्चतम घात वाले पद से डिग्री ज्ञात करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^{11}+7x^6+17)-(x^{11}+7x^6)=17\). Since 17 is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Options 11 and 6 are degrees suggested by the original polynomials, not by their difference. Exam tip: always simplify a polynomial expression before identifying its highest power.
\(A(x)+B(x)=(x^{10}+9)+(-x^{10}+11x^7)=11x^7+9\)। यहाँ \(x^{10}\) और \(-x^{10}\) पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 7 है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 10 गलत है क्योंकि घात 10 वाले पद योग में नहीं बचते। परीक्षा टिप: बहुपदों का योग करने के बाद ही उसका उच्चतम शून्येतर घातांक देखकर डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^{10}+9)+(-x^{10}+11x^7)=11x^7+9\). The terms \(x^{10}\) and \(-x^{10}\) cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is 7, so its degree is 7. Option 10 is incorrect because no term of degree 10 remains after addition. Exam tip: Always simplify the sum first, then identify the highest non-zero exponent.
अशून्य बहुपदों के गुणन में उनके अग्रणी पद गुणा होते हैं, इसलिए उनकी घातें जुड़ती हैं: \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)। योग में अग्रणी पद कट सकते हैं, इसलिए विकल्प D सदैव सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणन के नियम में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य जाँचें। / When non-zero polynomials are multiplied, their leading terms multiply, so their exponents add: \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\). In addition, leading terms may cancel, so option D is not always true. Exam tip: always check the non-zero condition before using the product-degree rule.
a = 10 और b = 15 रखने पर बहुपद 6x^{10} + 8x^{15} + 1 बनता है। इसके पदों की घातें 10, 15 और 0 हैं। शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात 15 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 15 है। 25 घातों को जोड़ने पर मिलता है, लेकिन बहुपद की डिग्री घातों का योग नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले चर के प्रत्येक पद की घात पहचानें और सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting a = 10 and b = 15 gives 6x^{10} + 8x^{15} + 1. The degrees of its terms are 10, 15, and 0. The highest exponent of a term with a non-zero coefficient is 15, so the degree of the polynomial is 15. Option 25 results from adding the exponents, but the degree of a polynomial is not found by adding exponents of separate terms. Exam tip: identify the exponent of x in every term and select the greatest one.
विकल्प D में \(x^9-x^9=0\) हो जाता है, इसलिए व्यंजक \(12x^6\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, अतः इसकी डिग्री \(6\) है, \(9\) नहीं। विकल्प B में \(0x^{10}\) का पद शून्य है, लेकिन \(8x^9\) के कारण उसकी डिग्री \(9\) रहती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को सरल करें और शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / In option D, \(x^9-x^9=0\), so the expression reduces to \(12x^6\). Its highest exponent is \(6\), so its degree is \(6\), not \(9\). In option B, the term \(0x^{10}\) vanishes, but \(8x^9\) still gives degree \(9\). Exam tip: simplify like terms and ignore terms with zero coefficients before finding the degree.
पहले व्यंजक को सरल कीजिए: \(x^7(x^3+x)=x^{10}+x^8\)। अतः \(p(x)=x^{10}+x^8-x^{10}-x^8+59=59\)। शून्येतर अचर बहुपद \(59\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(10\) या \(8\) चुनना गलत है, क्योंकि उनके पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^7(x^3+x)=x^{10}+x^8\). Therefore, \(p(x)=x^{10}+x^8-x^{10}-x^8+59=59\). A non-zero constant polynomial such as \(59\) has degree \(0\), so the correct answer is \(0\). Choosing \(10\) or \(8\) is incorrect because those terms cancel out. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
बहुपद में गुणन होने पर डिग्रियाँ जोड़ी जाती हैं। यहाँ \(x^7\) की डिग्री 7 तथा \((x-6)^2\) की डिग्री 2 है। अतः \(x^7(x-6)^2\) की डिग्री \(7+2=9\) है। विकल्प 14 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के गुणन में उनकी डिग्रियाँ जोड़ें। / For a product of polynomials, the degrees are added. Here, \(x^7\) has degree 7 and \((x-6)^2\) has degree 2. Therefore, the degree of \(x^7(x-6)^2\) is \(7+2=9\). Option 14 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: Add the degrees of polynomial factors in a product.
डिग्री 0 वाला बहुपद एक अचर बहुपद होता है, इसलिए x वाले सभी पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। यहाँ x^{12} और x-5 दोनों का गुणांक r+12 है। अतः r+12=0, जिससे r=-12 प्राप्त होता है। इस मान पर बहुपद केवल 26 रह जाता है, जिसकी डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: अचर पद की डिग्री 0 होती है, जबकि शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A polynomial of degree 0 must be a non-zero constant, so the coefficients of all terms containing x must be zero. Here, the coefficient of both x^{12} and x-5 is r+12. Thus, r+12=0, giving r=-12. With this value, the polynomial becomes 26, whose degree is 0. Exam tip: A non-zero constant has degree 0, whereas the degree of the zero polynomial is not defined.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके डिग्रीों के योग के बराबर होती है। अतः deg(p(x)q(x)) = 9 + 8 = 17, इसलिए सही उत्तर 17 है। 9 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्री जोड़ें; जोड़ या घटाव में ऐसा नियम हमेशा लागू नहीं होता। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence, deg(p(x)q(x)) = 9 + 8 = 17, so 17 is correct. The value 9 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: Add degrees when polynomials are multiplied; this rule does not always apply to addition or subtraction.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के अधिकतम योग के बराबर होती है। यहाँ x-8y-2 की कुल घात 8+2=10, x-6y-9 की 6+9=15 और xy की 1+1=2 है। इनमें सबसे बड़ा मान 15 है, इसलिए सही उत्तर 15 है। विकल्प 10 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग निकालकर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of x-8y-2, x-6y-9, and xy are 8+2=10, 6+9=15, and 1+1=2 respectively. The greatest value is 15, so the correct answer is 15. Option 10 is only the total degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: add the exponents in each term and select the largest sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{15}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=14) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{15}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (u=14), both coefficients are (0).
दिए गए व्यंजक में \(7x^{13}-7x^{13}=0\) तथा \(8x^9-8x^9=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=10x^6-5\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(6\) है। विकल्प 13 और 9 कट चुके पदों के घातांक हैं, इसलिए वे डिग्री नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को मिलाकर बहुपद को सरल करें, फिर शून्येतर पद का सबसे बड़ा घातांक लें। / In the given expression, \(7x^{13}-7x^{13}=0\) and \(8x^9-8x^9=0\). Thus, \(F(x)=10x^6-5\) remains. Its highest exponent is \(6\), so the degree of the polynomial is \(6\). Options 13 and 9 are exponents of terms that cancel, so they cannot determine the degree. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest exponent with a non-zero coefficient.
(\(x^8+5x^4\)2=x^{16}+10x^{12}+25x-8) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(25x^8+3x^7\) बचता है जिसकी डिग्री (8) है। / (\(x^8+5x^4\)2=x^{16}+10x^{12}+25x-8). After higher terms cancel, \(25x^8+3x^7\) remains, whose degree is (8).
