product of polynomials se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यहाँ p(x) और q(x) दोनों रैखिक बहुपद हैं, जिनकी डिग्री 1 है। उनका गुणनफल (x-10)(x+3)=x²-7x-30 है। इसमें x का उच्चतम घातांक 2 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 गलत है, क्योंकि वह प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, उनके गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: शून्येतर बहुपदों के गुणनफल की डिग्री सामान्यतः उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both p(x) and q(x) are linear polynomials, so each has degree 1. Their product is (x-10)(x+3)=x²-7x-30. The highest power of x is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is incorrect because it is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: For non-zero polynomials, the degree of a product is usually the sum of their degrees.
यहाँ p(x) और q(x), दोनों रैखिक बहुपद हैं, जिनकी डिग्री 1 है। उनका गुणनफल (x-7)(x+4)=x-2-3x-28 है। इसमें x का उच्चतम घात 2 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both p(x) and q(x) are linear polynomials, so each has degree 1. Their product is (x-7)(x+4)=x-2-3x-28. The highest power of x is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees.
यहाँ p(x) और q(x) दोनों रैखिक बहुपद हैं, जिनकी डिग्री 1 है। उनका गुणनफल (x+6)(x-2)=x-2+4x-12 है। इसमें x का उच्चतम घातांक 2 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: शून्येतर बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both p(x) and q(x) are linear polynomials, so each has degree 1. Their product is (x+6)(x-2)=x-2+4x-12. The highest power of x is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: the degree of the product of non-zero polynomials equals the sum of their degrees.
यहाँ दोनों बहुपद रैखिक हैं। गुणन करने पर
\((x-3)(x+8)=x^2+5x-24\)। इसमें शून्येतर गुणांक वाला उच्चतम घात का पद \(x^2\) है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 2 है। विकल्प 1 गलत है क्योंकि वह प्रत्येक अलग-अलग बहुपद की डिग्री है, उनके गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both given polynomials are linear. On multiplying,
\((x-3)(x+8)=x^2+5x-24\). The highest-power term with a non-zero coefficient is \(x^2\), so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual polynomial, not of their product. Exam tip: the degree of the product of two non-zero polynomials equals the sum of their degrees.
यहाँ दोनों बहुपद रैखिक हैं, अर्थात प्रत्येक की डिग्री 1 है। गुणा करने पर
\((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\)। इस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 1 प्रत्येक अलग-अलग रैखिक बहुपद की डिग्री है, उनके गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: गैर-शून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री सामान्यतः उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। / Both given polynomials are linear, so each has degree 1. On multiplying,
\((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\). The highest power of the variable is 2, so the degree of the product is 2. Option 1 is the degree of each individual linear polynomial, not of their product. Exam tip: for non-zero polynomials, the degree of a product is generally the sum of their degrees.
दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=4+6=10\)। विकल्प \(4\) केवल \(p(x)\) की डिग्री है, जबकि \(24\) डिग्रियों को गुणा करने से मिलता है, जो यहाँ सही नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें, गुणा नहीं करें। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Hence, \(\deg(p(x)q(x))=4+6=10\). Option \(4\) is only the degree of \(p(x)\), while \(24\) results from multiplying the degrees, which is not the correct rule. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; do not multiply them.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके डिग्रीों के योग के बराबर होती है। अतः deg(p(x)q(x)) = 9 + 8 = 17, इसलिए सही उत्तर 17 है। 9 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्री जोड़ें; जोड़ या घटाव में ऐसा नियम हमेशा लागू नहीं होता। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence, deg(p(x)q(x)) = 9 + 8 = 17, so 17 is correct. The value 9 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: Add degrees when polynomials are multiplied; this rule does not always apply to addition or subtraction.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः
( p(x)q(x) ) की डिग्री = 8 + 7 = 15 होगी। विकल्प 8 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ते हैं, जबकि बहुपदों के योग में सामान्यतः बड़ी डिग्री लेते हैं। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Thus, the degree of ( p(x)q(x) ) is 8 + 7 = 15. Option 8 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: Add degrees when multiplying polynomials; for addition, the higher degree generally determines the result.
यह बहुपद दो गुणकों का गुणनफल है। x-6 की डिग्री 6 है तथा (x-5)2 की डिग्री 2 है। गुणनफल में डिग्रियाँ जुड़ती हैं, इसलिए कुल डिग्री 6+2=8 है। विकल्प 12 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनफल के रूप में दिए बहुपदों की डिग्रियाँ जोड़ें। / This polynomial is a product of two factors. The degree of x-6 is 6, and the degree of (x-5)2 is 2. Degrees add when polynomials are multiplied, so the total degree is 6+2=8. Option 12 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: For a polynomial written as a product, add the degrees of its factors.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(PQ)=4+6=10\)। जोड़ या घटाव में अग्र पद कट सकते हैं, इसलिए उनकी डिग्री सदैव निश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: गुणनफल के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence \(\deg(PQ)=4+6=10\). In addition or subtraction, leading terms may cancel, so the degree is not fixed. Exam tip: add degrees only when polynomials are multiplied.
दो अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्री उनके डिग्री के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=7+6=13\), इसलिए सही विकल्प 13 है। विकल्प 42 डिग्रियों का गुणन करने से मिलता है, जो बहुपदों के गुणन की डिग्री का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Thus, \(\deg(p(x)q(x))=7+6=13\), so 13 is correct. Option 42 comes from multiplying the degrees, which is not the rule for the degree of a polynomial product. Exam tip: add the degrees when polynomials are multiplied.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके अलग-अलग घातों के योग के बराबर होती है। अतः
deg(p(x)q(x)) = 6 + 5 = 11। विकल्प 6 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें, जबकि जोड़ या घटाव में सामान्यतः बड़ी डिग्री देखें। / For non-zero polynomials, the degree of their product equals the sum of their degrees. Thus, deg(p(x)q(x)) = 6 + 5 = 11. Option 6 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; for addition or subtraction, generally consider the larger degree.
दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=5+4=9\)। विकल्प 5 केवल \(p(x)\) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें; जोड़ या घटाव में ऐसा नियम लागू नहीं होता। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Hence, \(\deg(p(x)q(x))=5+4=9\). Option 5 is only the degree of \(p(x)\), not of the product. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; this rule does not apply directly to addition or subtraction.
बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके अलग-अलग गुणकों की डिग्रियों का योग होती है। यहाँ \(x^3\) की डिग्री 3 और \((x-2)^2\) की डिग्री \(2\times 1=2\) है। अतः कुल डिग्री \(3+2=5\) है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि \((x-2)^2\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 ही होती है। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के रूप में दिए बहुपद में प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / The degree of a product of non-zero polynomials is the sum of the degrees of its factors. Here, \(x^3\) has degree 3 and \((x-2)^2\) has degree \(2\times 1=2\). Therefore, the total degree is \(3+2=5\). Option 6 is incorrect because the highest power of \(x\) in \((x-2)^2\) is only 2. Exam tip: For a polynomial written as a product of factors, add the degrees of the factors.
A. गुणनफल की डिग्री दोनों बहुपदों की डिग्रियों के योग के बराबर होती है/The degree of the product equals the sum of the degrees of the two polynomials.
Explanation
Simple Explanation
यदि अशून्य बहुपदों के अग्र पद क्रमशः \(ax^m\) और \(bx^n\) हैं, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। अतः डिग्री \(m+n\) होती है। परीक्षा में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य देखें। / If the leading terms of non-zero polynomials are \(ax^m\) and \(bx^n\), their product has leading term \(abx^{m+n}\). Hence its degree is \(m+n\), not the larger degree. Exam tip: note the non-zero condition.
