डिग्री (2) के लिए \(x^9\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=-3) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^9\) and \(x^6\) terms must vanish. At (a=-3), both coefficients become (0).
पहले विस्तार करें: \(x^4(x^3+2)=x^7+2x^4\)। अतः व्यंजक \(x^7+2x^4-x^7+6x^5-8=6x^5+2x^4-8\) बनता है। \(x^7\) वाले पद आपस में कट जाते हैं और शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(x^7\) पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान पदों को अवश्य मिलाइए। / First expand: \(x^4(x^3+2)=x^7+2x^4\). Thus, the expression becomes \(x^7+2x^4-x^7+6x^5-8=6x^5+2x^4-8\). The \(x^7\) terms cancel, and the highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 7 is incorrect because the \(x^7\) term does not remain after simplification. Exam tip: expand brackets and combine like terms before finding a polynomial's degree.
जब \(k=4\) रखा जाता है, तब \(k-4=0\) हो जाता है। इसलिए \((k-4)^2x^8\) और \((k-4)x^5\) दोनों पद शून्य हो जाते हैं तथा \(q(x)=3x\) बचता है। \(3x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(8\) या \(5\) मूल व्यंजक की घातें हैं, लेकिन उनके गुणांक शून्य होने पर वे पद नहीं रहते। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद ही शून्येतर पदों की सबसे बड़ी घात से डिग्री ज्ञात करें। / On substituting \(k=4\), we get \(k-4=0\). Hence, both \((k-4)^2x^8\) and \((k-4)x^5\) become zero, leaving \(q(x)=3x\). The highest power of \(x\) in \(3x\) is \(1\), so the degree of the polynomial is \(1\). Although \(8\) and \(5\) occur in the original expression, their terms vanish because their coefficients become zero. Exam tip: substitute the parameter value first, then find the highest power among the remaining non-zero terms.
उच्चतम पद \(3x^4\cdot x^3=3x^7\) से मिलता है। इसलिए गुणनफल की डिग्री (7) है। / The highest term comes from \(3x^4\cdot x^3=3x^7\). Therefore the degree of the product is (7).
\(7x^4-3x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए यह चतुर्थ घात का बहुपद है। \(x^4+\frac{1}{x}\) में \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घात जाँचें। / In \(7x^4-3x+1\), the highest exponent of \(x\) is 4 and all exponents are non-negative integers, so it is a fourth-degree polynomial. \(x^4+\frac{1}{x}\) contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: check every exponent.
पहले पद की कुल घात (3+4=7) और दूसरे पद की (6+1=7) है। इसलिए कुल डिग्री (7) है। / The total power of the first term is (3+4=7) and of the second term is (6+1=7). Therefore the total degree is (7).
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक का भाग माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 2, 6, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए डिग्री 6 है। 8, y की घात है; x के सापेक्ष डिग्री के लिए इसे नहीं लिया जाता। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficients. The powers of x in the given expression are 2, 6, 0, and 0. The greatest of these is 6, so the degree is 6. The exponent 8 belongs to y, so it is not considered for the degree in x. Exam tip: Check the highest exponent only of the variable named in the question.
\(y\) के सापेक्ष बहुपद की डिग्री, \(y\) की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए व्यंजक में \(y\) की घातें \(8, 3, 2\) और \(0\) हैं। सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए सही उत्तर \(8\) है। \(6\), \(x\) की एक घात है, \(y\) की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / The degree of a polynomial with respect to \(y\) is the greatest exponent of \(y\). In the given expression, the exponents of \(y\) are \(8, 3, 2\), and \(0\). The greatest exponent is \(8\), so the correct answer is \(8\). Although \(x\) has exponent \(6\) in one term, it does not determine the degree with respect to \(y\). Exam tip: compare powers only of the variable specified in the question.
बहुपद \(4x^n+3x^8-1\) में \(n>8\) होने पर \(x^n\) की घात 8 से बड़ी है। इसलिए \(4x^n\) वाला पद सबसे अधिक घात का पद होगा और बहुपद की डिग्री \(n\) होगी। दिए गए विकल्पों में केवल \(n=9\), \(n>8\) की शर्त को पूरा करता है। \(n=8\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(n>8\) नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय पहले बहुपद में सबसे बड़ी घात और दी गई असमानता की जाँच करें। / Since \(n>8\), the power \(n\) in the term \(4x^n\) is greater than 8. Thus, \(4x^n\) is the highest-degree term, and the degree of the polynomial is \(n\). Among the given choices, only \(n=9\) satisfies \(n>8\). Although \(n=8\) is the closest value, it does not satisfy the strict inequality. Exam tip: when finding degree, identify the greatest exponent and check every stated condition carefully.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(6x^7\) पद के कारण डिग्री 7 है। शर्त \(m<7\) के अनुसार \(m=5\) संभव है और तब सबसे बड़ी घात फिर भी 7 रहती है। \(m=7\) डिग्री 7 देता है, लेकिन दी गई असमानता \(m<7\) को पूरा नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सभी घातों की तुलना करें और दी गई शर्त को अलग से अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. The term \(6x^7\) makes the degree 7. Since \(m<7\), \(m=5\) is possible, and the greatest exponent still remains 7. Although \(m=7\) would also keep the degree 7, it does not satisfy the given condition \(m<7\). Exam tip: compare all exponents and then check every stated condition separately.
\((x^3-2)^3\) में उच्चतम घात वाला पद \((x^3)^3=x^9\) प्राप्त होता है। अतः बहुपद की उच्चतम घात 9 है, इसलिए इसकी डिग्री 9 है। विकल्प 6 इसलिए गलत है क्योंकि घातों को जोड़ने के बजाय यहाँ 3 को 3 से गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए उसके विस्तार में सबसे बड़ी घात वाले पद को देखें। / In \((x^3-2)^3\), the term with the highest power is \((x^3)^3=x^9\). Therefore, the highest exponent in the polynomial is 9, so its degree is 9. Option 6 is incorrect because the exponents are multiplied here: \(3\times3\), not added. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the term with the greatest exponent after expansion or simplification.
\((x^4+3)^2=x^8+6x^4+9\) है। इसलिए \((x^8+6x^4)\) घटाने पर \(x^8\) और \(6x^4\) पद कट जाते हैं तथा केवल स्थिर बहुपद \(9\) बचता है। किसी अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(8\) लेने की गलती तब होती है जब घटाने के बाद होने वाले पदों के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / \((x^4+3)^2=x^8+6x^4+9\). On subtracting \((x^8+6x^4)\), the terms \(x^8\) and \(6x^4\) cancel, leaving only the non-zero constant polynomial \(9\). The degree of every non-zero constant polynomial is \(0\), so the correct answer is \(0\). Choosing \(8\) would result from ignoring the cancellation after subtraction. Exam tip: always simplify the complete expression before finding its degree.
\(b\neq-2\) होने पर \(x^{12}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (12) रहेगी। / When \(b\neq-2\), the coefficient of \(x^{12}\) is not zero. Therefore the highest power remains (12).
जब \(b=-2\) रखा जाता है, तब \(b+2=0\) हो जाता है। इसलिए \((b+2)x^{12}\) पद का गुणांक शून्य है और यह पद हट जाता है। बहुपद \(5x^6-4\) बचता है, जिसकी सबसे बड़ी घात 6 है; अतः इसकी डिग्री 6 है। 12 चुनना गलत होगा, क्योंकि \(x^{12}\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए चर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(b=-2\), we get \(b+2=0\). Hence, the coefficient of \(x^{12}\) is zero, so that term disappears. The remaining polynomial is \(5x^6-4\), whose highest power of \(x\) is 6. Therefore, its degree is 6. Choosing 12 would be incorrect because the \(x^{12}\) term has zero coefficient. Exam tip: substitute the given parameter value and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
पहले कोष्ठक का विस्तार करें: \(3x^5(x^2-1)=3x^7-3x^5\)। अतः पूरा व्यंजक \(3x^7-3x^5-3x^7+8x^4=-3x^5+8x^4\) बनता है। \(3x^7\) और \(-3x^7\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 7 विस्तार से पहले दिखने वाली घात है, लेकिन सरल करने पर उसका पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / First expand the bracket: \(3x^5(x^2-1)=3x^7-3x^5\). Therefore, the expression becomes \(3x^7-3x^5-3x^7+8x^4=-3x^5+8x^4\). The terms \(3x^7\) and \(-3x^7\) cancel. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 7 may seem tempting before simplification, but its term cancels out. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (25) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (25) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (8) है और \(x^7\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^7\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (8), and the \(x^7\) term is absent. So the coefficient of \(x^7\) is (0).
पहले व्यंजक को सरल कीजिए:
\(x^3(x^3-2)=x^6-2x^3\)। अतः
\(p(x)=x^6-2x^3-x^6+2x^3+11=11\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 6 प्रारम्भिक पद देखकर लग सकता है, लेकिन समान घात वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / First simplify the expression:
\(x^3(x^3-2)=x^6-2x^3\). Hence,
\(p(x)=x^6-2x^3-x^6+2x^3+11=11\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 6 may seem likely from the initial terms, but the terms with equal powers cancel out. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
पहले गुणा करने पर \((x^3+3x)(x^4-x)=x^7+3x^5-x^4-3x^2\) प्राप्त होता है। इसमें से \(x^7\) घटाने पर \(x^7\) पद कट जाता है और बहुपद \(3x^5-x^4-3x^2\) बचता है। इसकी सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए डिग्री \(5\) है। \(7\) गुणन से बनने वाली प्रारम्भिक सबसे बड़ी घात है, लेकिन वह घटाने के कारण अंतिम बहुपद में नहीं रहती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान घात वाले पदों को सरल करके काटना अवश्य जाँचें। / First, \((x^3+3x)(x^4-x)=x^7+3x^5-x^4-3x^2\). On subtracting \(x^7\), the \(x^7\) terms cancel, leaving \(3x^5-x^4-3x^2\). The highest exponent in the resulting polynomial is \(5\), so its degree is \(5\). Option \(7\) is the highest power before simplification, but it does not remain in the final polynomial. Exam tip: always simplify and combine like terms before deciding the degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^6\) और \(x^4\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=5) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^6\) and \(x^4\) terms must vanish. At (c=5), both coefficients become (0).
डिग्री (3) के लिए \(x^5\) पद हटना चाहिए और \(x^3\) पद बचना चाहिए। (d=-2) पर यह सही होता है। / For degree (3), the \(x^5\) term must vanish and the \(x^3\) term must remain. This is true at (d=-2).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ x-3y-2z-5 की कुल घात 3+2+5=10 है, 2x-4yz-3 की कुल घात 4+1+3=8 है और अचर पद -6 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 10 है। विकल्प 8 दूसरे पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग अलग-अलग निकालकर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. For x-3y-2z-5, the sum is 3+2+5=10; for 2x-4yz-3, it is 4+1+3=8; and the constant term -6 has degree 0. Hence, the total degree is 10. Option 8 is the degree of the second term, not of the whole polynomial. Exam tip: Find the sum of exponents in each term separately, then choose the greatest sum.
(z) की सबसे बड़ी घात (6) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (6). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
displaystyle \(x^3+x\)2=x-6+2x-4+x-2 है। अतः
displaystyle h(x)=x-6+2x-4+x-2-x-6-2x-4=x-2। शून्येतर बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री होती है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। 6 और 4 घात वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: पहले व्यंजक का विस्तार करें, फिर समान पदों को मिलाकर डिग्री ज्ञात करें। / displaystyle \(x^3+x\)2=x-6+2x-4+x-2. Therefore,
displaystyle h(x)=x-6+2x-4+x-2-x-6-2x-4=x-2. The degree of a non-zero polynomial is the highest power of the variable, so the degree is 2. The terms with powers 6 and 4 cancel out. Exam tip: Expand first and combine like terms before finding the degree.
घन बहुपद की उच्चतम घात 3 होनी चाहिए। इसलिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होगा: \(a-3=0\), अतः \(a=3\)। तब \(P(x)=2x^3-1\) है। परीक्षा टिप: डिग्री तय करते समय शून्य गुणांक वाले पद को छोड़ दें। / A cubic polynomial must have highest power 3. Thus, the coefficient of \(x^5\) must be zero: \(a-3=0\), so \(a=3\). Then \(P(x)=2x^3-1\). Exam tip: ignore any term whose coefficient becomes zero.
डिग्री (6) के लिए \(n+3\le6\) होना चाहिए। इसलिए \(n\le3\) सही शर्त है। / For degree (6), \(n+3\le6\) must hold. Therefore \(n\le3\) is the correct condition.
कोष्ठक खोलते समय दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: p(x)=x-5-3x-2+2-x-5+x-2=-2x-2+2। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 5 डिग्री नहीं होगी क्योंकि x-5 के पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: घटाव वाले कोष्ठक खोलने से पहले सभी चिह्न बदलना न भूलें। / While removing the brackets, the sign of every term in the second polynomial changes: p(x)=x-5-3x-2+2-x-5+x-2=-2x-2+2. The highest power of x is 2, so the degree of the polynomial is 2. It is not 5 because the x-5 terms cancel each other. Exam tip: When subtracting a polynomial in brackets, change the signs of all its terms.
व्यंजक को फैलाने पर
\(x^5(x^2+1)-x^2(x^5-4)=x^7+x^5-x^7+4x^2=x^5+4x^2\)। यहाँ \(x^7\) के पद निरस्त हो जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 7 तब मिलता यदि निरस्तीकरण को ध्यान में न रखा जाए। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके समान घात वाले पदों को मिलाइए। / On expanding, \(x^5(x^2+1)-x^2(x^5-4)=x^7+x^5-x^7+4x^2=x^5+4x^2\). The \(x^7\) terms cancel out. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 7 would result from ignoring this cancellation. Exam tip: simplify a polynomial and combine like terms before finding its degree.
(e=2) पर \(x^{10}\) पद हटता है लेकिन \(x^8\) का गुणांक (3) रहता है। इसलिए डिग्री (8) है। / At (e=2), the \(x^{10}\) term vanishes but the coefficient of \(x^8\) remains (3). Therefore the degree is (8).
दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, अतः उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प 0 गलत है, क्योंकि अशून्य अचर बहुपद की डिग्री 0 होती है; शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले देखें कि बहुपद शून्य बहुपद तो नहीं है। / Every term in the given expression has coefficient 0, so it is the zero polynomial. Since the zero polynomial has no non-zero term, its degree is not defined. Option 0 is incorrect because a non-zero constant polynomial has degree 0, whereas the zero polynomial does not. Exam tip: Before finding a degree, first check whether the polynomial is the zero polynomial.
उच्चतम घात \(x\cdot x^3\cdot x^4=x^8\) से आती है। इसलिए डिग्री (8) है। / The highest power comes from \(x\cdot x^3\cdot x^4=x^8\). Therefore the degree is (8).
बहुपद \(x^4y^3+2x\) में पद \(x^4y^3\) की कुल घात \(4+3=7\) है। दूसरे पद \(2x\) की घात 1 है, इसलिए बहुपद की सबसे बड़ी कुल घात 7 है। अतः सही विकल्प B है। विकल्प A में सबसे बड़ी कुल घात \(2+3=5\) है। परीक्षा टिप: बहुचर वाले पद में सभी चरों की घातों का योग लें, फिर सबसे बड़ा योग बहुपद की कुल डिग्री देता है। / In \(x^4y^3+2x\), the term \(x^4y^3\) has total degree \(4+3=7\). The other term, \(2x\), has degree 1, so the greatest total degree in the polynomial is 7. Hence, option B is correct. In option A, the greatest total degree is only \(2+3=5\). Exam tip: For a multivariable term, add the exponents of all variables; the largest such sum gives the total degree of the polynomial.
\(0x^{15}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{13}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (13) है। / \(0x^{15}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{13}\) term. Therefore the degree is (13).
A. गुणनफल की डिग्री दोनों बहुपदों की डिग्रियों के योग के बराबर होती है/The degree of the product equals the sum of the degrees of the two polynomials.
Explanation
Simple Explanation
यदि अशून्य बहुपदों के अग्र पद क्रमशः \(ax^m\) और \(bx^n\) हैं, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। अतः डिग्री \(m+n\) होती है। परीक्षा में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य देखें। / If the leading terms of non-zero polynomials are \(ax^m\) and \(bx^n\), their product has leading term \(abx^{m+n}\). Hence its degree is \(m+n\), not the larger degree. Exam tip: note the non-zero condition.
डिग्री (0) के लिए \(x^9\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=2) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^9\) and \(x^7\) terms must vanish. At (s=2), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^7+3x^2+5)-(x^7+3x^2)=5\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(7\) मूल बहुपदों की डिग्री है, लेकिन घटाने के बाद उच्च घात वाले पद समाप्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाने के बाद बचे हुए सरलतम बहुपद से ही डिग्री ज्ञात करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^7+3x^2+5)-(x^7+3x^2)=5\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Although the original polynomials have degree \(7\), their highest-degree terms cancel after subtraction. Exam tip: always simplify the polynomial first, then identify its highest power of the variable.
\(A(x)+B(x)=(x^6+2)+(-x^6+4x^3)=4x^3+2\)। यहाँ \(x^6\) के पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। प्राप्त बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 6 गलत है क्योंकि जोड़ के बाद \(x^6\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही शून्येतर पद का सबसे बड़ा घातांक देखकर डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^6+2)+(-x^6+4x^3)=4x^3+2\). The \(x^6\) terms cancel each other. The highest exponent in the resulting polynomial is 3, so its degree is 3. Option 6 is incorrect because no \(x^6\) term remains after addition. Exam tip: Find the degree only after simplifying the sum and identifying the highest power with a non-zero coefficient.
सर्वसमिका \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करने पर \((x^3-4)(x^3+4)=x^6-16\) मिलता है। अतः \(P(x)=x^6-16-x^6=-16\)। यह एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) है। \(6\) डिग्री नहीं होगी, क्योंकि \(x^6\) के पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को अवश्य मिलाएँ। / Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((x^3-4)(x^3+4)=x^6-16\). Therefore, \(P(x)=x^6-16-x^6=-16\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). It is not degree \(6\), because the \(x^6\) terms cancel. Exam tip: simplify the expression and combine like terms before finding the degree.
यहाँ a=6 और b=10 रखने पर बहुपद 3x-6+2x-10+1 बनता है। किसी बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में x की सबसे बड़ी घात होती है। अतः सबसे बड़ी घात 10 है, इसलिए डिग्री 10 है। 16 दोनों घातों का योग है, पर बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए घातों को जोड़ा नहीं जाता। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात पहचानें और फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting a=6 and b=10 gives the polynomial 3x-6+2x-10+1. The degree of a polynomial is the greatest exponent of x in any of its terms. The greatest exponent is 10, so its degree is 10. Although 16 is the sum of the exponents, exponents are not added to find the degree of a polynomial. Exam tip: identify the exponent of the variable in every term and select the greatest one.
पहले विस्तार करें: \(x^3(x^2+x)=x^5+x^4\)। अतः \(p(x)=x^5+x^4-x^5-x^4+15=15\)। शून्येतर अचर बहुपद \(15\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही विकल्प \(0\) है। \(5\) विस्तार से पहले का सबसे बड़ा घात है, लेकिन उसके पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^3(x^2+x)=x^5+x^4\). Therefore, \(p(x)=x^5+x^4-x^5-x^4+15=15\). A non-zero constant polynomial such as \(15\) has degree \(0\), so \(0\) is correct. Degree \(5\) appears before simplification, but its terms cancel out. Exam tip: simplify an expression and combine like terms before finding its degree.
बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके अलग-अलग गुणकों की डिग्रियों का योग होती है। यहाँ \(x^3\) की डिग्री 3 और \((x-2)^2\) की डिग्री \(2\times 1=2\) है। अतः कुल डिग्री \(3+2=5\) है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि \((x-2)^2\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 ही होती है। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के रूप में दिए बहुपद में प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / The degree of a product of non-zero polynomials is the sum of the degrees of its factors. Here, \(x^3\) has degree 3 and \((x-2)^2\) has degree \(2\times 1=2\). Therefore, the total degree is \(3+2=5\). Option 6 is incorrect because the highest power of \(x\) in \((x-2)^2\) is only 2. Exam tip: For a polynomial written as a product of factors, add the degrees of the factors.
बहुपद की डिग्री 0 होने का अर्थ है कि वह एक अचर, शून्येतर बहुपद हो। यहाँ 20 पहले से शून्येतर अचर पद है, इसलिए x वाले दोनों पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। अतः r+6=0, जिससे r=-6 प्राप्त होता है। r=0 रखने पर x-8 का गुणांक 6 रहेगा और डिग्री 8 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री 0 के लिए सभी चर वाले पदों को समाप्त करना आवश्यक है। / A polynomial has degree 0 when it is a non-zero constant. Since 20 is already a non-zero constant term, the coefficients of both terms containing x must be zero. Thus, r+6=0, giving r=-6. If r=0, the coefficient of x-8 remains 6, so the degree would be 8. Exam tip: for degree 0, every variable term must vanish.
दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=5+4=9\)। विकल्प 5 केवल \(p(x)\) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें; जोड़ या घटाव में ऐसा नियम लागू नहीं होता। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Hence, \(\deg(p(x)q(x))=5+4=9\). Option 5 is only the degree of \(p(x)\), not of the product. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; this rule does not apply directly to addition or subtraction.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें: \(x^4y^2\) की कुल घात \(4+2=6\), \(x^2y^5\) की \(2+5=7\), और \(xy\) की \(1+1=2\) है। इन कुल घातों में सबसे बड़ी 7 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 7 है। विकल्प 6 केवल पहले पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले पद में सभी चरों की घातों को जोड़ें, फिर सबसे बड़ी योगफल चुनें। / Find the total degree of each term: \(x^4y^2\) has degree \(4+2=6\), \(x^2y^5\) has degree \(2+5=7\), and \(xy\) has degree \(1+1=2\). The greatest of these is 7, so the total degree of the polynomial is 7. Option 6 is only the degree of the first term. Exam tip: For a term with two or more variables, add their exponents and then choose the greatest such sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=-6) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^5\) terms must vanish. At (u=-6), both coefficients are (0).
समान पदों को मिलाने पर \(3x^9-3x^9=0\) और \(4x^5-4x^5=0\) हो जाते हैं। अतः \(F(x)=6x^2-1\) बचता है। इसमें चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। विकल्प 0 केवल अचर बहुपद के लिए होता है, जबकि यहाँ \(6x^2\) पद उपस्थित है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / Combining like terms gives \(3x^9-3x^9=0\) and \(4x^5-4x^5=0\). Thus, \(F(x)=6x^2-1\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 2, so its degree is 2. Option 0 applies only to a non-zero constant polynomial, but \(6x^2\) is present here. Exam tip: Always simplify a polynomial by combining like terms before finding its degree.
(\(x^4+2x^2\)2=x-8+4x-6+4x-4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(4x^4+5x\) बचता है जिसकी डिग्री (4) है। / (\(x^4+2x^2\)2=x-8+4x-6+4x-4). After higher terms cancel, \(4x^4+5x\) remains, whose degree is (4).
डिग्री (2) के लिए \(x^{11}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (v=7) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{11}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (v=7), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^7\) पद बनता है और बाहर का \(-x^7\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (5) है। / The product creates an \(x^7\) term and the outside \(-x^7\) cancels it. The remaining highest power is (5).
