डिग्री (3) के लिए \(x^{10}\) और \(x^6\) के पद हटने चाहिए। (a=1) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (3), the \(x^{10}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (a=1), both higher-term coefficients become (0).
पहले गुणा करें: \(x^5(x^4-3)=x^9-3x^5\)। अतः व्यंजक \(x^9-3x^5-x^9+4x^7-2=4x^7-3x^5-2\) बनता है। \(x^9\) के पद परस्पर कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। 9 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसके पद सरल करने पर समाप्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / First expand: \(x^5(x^4-3)=x^9-3x^5\). Thus, the expression becomes \(x^9-3x^5-x^9+4x^7-2=4x^7-3x^5-2\). The \(x^9\) terms cancel, and the highest remaining power of \(x\) is 7, so the degree is 7. Option 9 is the closest distractor, but its terms disappear after simplification. Exam tip: always simplify the expression completely before finding its degree.
जब \(k=-5\) रखते हैं, तब \(k+5=0\) हो जाता है। इसलिए \((k+5)^2x^9\) और \((k+5)x^4\), दोनों पद शून्य हो जाते हैं। बहुपद \(q(x)=-6x^2+8\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 0 केवल अचर बहुपद के लिए होता है, जबकि यहाँ \(x^2\) पद मौजूद है। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद ही शून्य गुणांक वाले पद हटाकर डिग्री ज्ञात करें। / On substituting \(k=-5\), we get \(k+5=0\). Hence, both \((k+5)^2x^9\) and \((k+5)x^4\) become zero. The polynomial left is \(q(x)=-6x^2+8\). Its highest power of \(x\) is 2, so its degree is 2. Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial, but an \(x^2\) term remains here. Exam tip: substitute the parameter first, remove terms with zero coefficients, and then identify the highest remaining exponent.
B. डिग्री 3 है, क्योंकि \(x^5\) वाले पद कट जाते हैं/The degree is 3 because the \(x^5\) terms cancel
Explanation
Simple Explanation
कोष्ठक खोलने पर \(P(x)=3x^5-2x^3+x-3x^5-x^3+4=-3x^3+x+4\) मिलता है। सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए डिग्री 3 है। परीक्षा में पहले समान पदों को सरल करें। / On removing brackets, \(P(x)=3x^5-2x^3+x-3x^5-x^3+4=-3x^3+x+4\). The highest remaining exponent is 3, so the degree is 3. In exams, simplify and combine like terms first.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर
the coefficient of x-7 is 3 - 8 + 5 = 0, so all x-7 terms cancel. Therefore, \(f(x)=2x^3-11\). इस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(x^7\) के पद सरल करने पर शून्य हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर बहुपद को सरल करें। / The coefficient of \(x^7\) is \(3-8+5=0\), so all the \(x^7\) terms cancel. Thus, \(f(x)=2x^3-11\). The highest power of the variable in the simplified polynomial is 3, so its degree is 3. Option 7 is incorrect because the \(x^7\) terms vanish after simplification. Exam tip: Always combine like terms before finding the degree of a polynomial.
दो चरों वाले बहुपद में प्रत्येक पद की कुल घात, उस पद में x और y की घातों का योग होती है। यहाँ 6x-4y-3 की कुल घात 4+3=7, -5x-2y-6 की 2+6=8, 3xy की 1+1=2 और अचर पद -2 की घात 0 है। सबसे बड़ी कुल घात 8 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 8 है। 7 पहला पद की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: सभी पदों की घातें निकालकर उनमें से सबसे बड़ी घात चुनें। / For a polynomial in two variables, the total degree of a term is the sum of the exponents of x and y in that term. Here, 6x-4y-3 has degree 4+3=7, -5x-2y-6 has degree 2+6=8, 3xy has degree 1+1=2, and the constant term -2 has degree 0. The greatest total degree is 8, so the polynomial has total degree 8. Option 7 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: find the degree of every term, then choose the greatest one.
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 7, 5, 0 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए डिग्री 7 है। 8, y की घातों में दिखाई देता है, लेकिन वह x के सापेक्ष डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 7, 5, 0, and 0. The greatest power is 7, so the degree is 7. Although 8 appears as a power of y, it is not the degree with respect to x. Exam tip: look only at the highest power of the variable named in the question.
बहुपद को केवल \(y\) के संदर्भ में देखने पर \(x\) को स्थिर माना जाता है। पदों में \(y\) की घातें क्रमशः \(2, 8, 3\) और \(0\) हैं। सबसे बड़ी घात \(8\) है, जो पद \(-9x^5y^8\) में है; इसलिए डिग्री \(8\) है। विकल्प \(7\), \(x\) की सबसे बड़ी घात है, \(y\) के संदर्भ में डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री निकालते समय केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / When the polynomial is considered with respect to \(y\), \(x\) is treated as a constant. The powers of \(y\) in the terms are \(2, 8, 3\), and \(0\), respectively. The greatest power is \(8\), occurring in \(-9x^5y^8\); hence the degree is \(8\). Option \(7\) is the highest power of \(x\), not the degree with respect to \(y\). Exam tip: for degree in one variable, compare powers of that variable only.
जब (n>9) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में केवल (n=12) शर्त पूरी करता है। / When (n>9), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, only (n=12) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(5x^8\) पद के कारण डिग्री 8 है। शर्त \(m<8\) भी दी गई है, इसलिए \(m=6\) संभव है और तब \(8x^6\) की घात 8 से कम रहती है। \(m=8\) डिग्री तो नहीं बदलता, लेकिन वह दी गई असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई शर्तों को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable. The term \(5x^8\) ensures that the degree is 8. Since \(m<8\) is also required, \(m=6\) is possible; then the exponent in \(8x^6\) remains below 8. Although \(m=8\) would not change the degree, it does not satisfy the given inequality. Exam tip: while finding degree, always check any conditions imposed on the exponent as well.
विकल्प C में x की सबसे बड़ी घात 4 है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। A में \(x^{-1}\) तथा D में \(x^{1/2}\) है; B की डिग्री 5 है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी मान्य घात देखें। / In option C, the highest power of x is 4 and every exponent is a non-negative integer, so its degree is 4. A has \(x^{-1}\), D has \(x^{1/2}\), and B has degree 5. Exam tip: check the highest valid exponent first.
शून्येतर स्थिर बहुपद, जैसे 7 या -3, को 7x-0 या -3x-0 लिखा जा सकता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 0 है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। शून्य बहुपद का मामला अलग है; उसकी डिग्री अपरिभाषित मानी जाती है। परीक्षा टिप: स्थिरांक शून्य है या नहीं, पहले जाँचें। / A non-zero constant polynomial, such as 7 or -3, can be written as 7x-0 or -3x-0. Its highest power of x is 0, so its degree is 0. The zero polynomial is a separate case; its degree is undefined. Exam tip: first check whether the constant is zero.
\(b\neq4\) होने पर \(x^{13}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (13) रहेगी। / When \(b\neq4\), the coefficient of \(x^{13}\) is not zero. Therefore the highest power remains (13).
जब b=4 रखा जाता है, तब b-4=0 हो जाता है। इसलिए x^{13} वाला पद 0x^{13} बनकर समाप्त हो जाता है और बहुपद 6x-7-2 रह जाता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 7 है, अतः इसकी डिग्री 7 है। 13 चुनना गलत होगा, क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: पहले चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक जाँचें; शून्य गुणांक वाला पद डिग्री में नहीं गिना जाता। / On substituting b=4, we get b-4=0. Hence, the x^{13} term becomes 0x^{13} and disappears, leaving the polynomial 6x-7-2. The highest power of x in the remaining polynomial is 7, so its degree is 7. Choosing 13 would be incorrect because its coefficient has become zero. Exam tip: check coefficients first; a term with zero coefficient is not considered while finding degree.
अशून्य बहुपदों के अग्र पदों का गुणन शून्य नहीं होता, इसलिए गुणनफल की घात उनके घातों का योग होती है। अधिकतम घात वाला नियम योग के लिए उपयोगी हो सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल में घातें जोड़ें। / The product of the leading terms of two non-zero polynomials is non-zero, so the degree of their product is the sum of their degrees. The maximum-degree rule can apply to addition. Exam tip: add degrees for a product.
व्यंजक को फैलाने पर 4x-6\(x^2-1\)=4x-8-4x-6 मिलता है। अतः पूरा व्यंजक 4x-8-4x-6-4x-8+3x-5=-4x-6+3x-5 बनता है। x-8 वाले पद परस्पर कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि सरल करने के बाद x-8 पद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को अवश्य मिलाएँ। / Expanding gives 4x-6\(x^2-1\)=4x-8-4x-6. Therefore, the expression becomes 4x-8-4x-6-4x-8+3x-5=-4x-6+3x-5. The x-8 terms cancel, and the highest remaining power of x is 6, so the degree is 6. Option 8 is incorrect because no x-8 term remains after simplification. Exam tip: Expand brackets and combine like terms before finding a polynomial’s degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-31) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-31) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (9) है और \(x^8\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^8\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (9), and the \(x^8\) term is absent. So the coefficient of \(x^8\) is (0).
यहाँ \(H(x)=0\) शून्य बहुपद है, अर्थात इसके सभी गुणांक शून्य हैं। शून्य बहुपद की कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प 0 शून्य बहुपद का मान है, उसकी डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल अशून्य गुणांक वाले पदों की सबसे बड़ी घात देखें। / Here, \(H(x)=0\) is the zero polynomial, meaning that all its coefficients are zero. It has no non-zero term with a highest power, so its degree is not defined. Option 0 is the value of the zero polynomial, not its degree. Exam tip: While finding degree, look for the greatest power among terms with non-zero coefficients.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^4(x^2-4)=x^6-4x^4\)। अतः \(p(x)=x^6-4x^4-x^6+4x^4+17=17\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(6\) या \(4\) लेने की गलती तब होती है जब समान घात वाले पदों के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^4(x^2-4)=x^6-4x^4\). Thus, \(p(x)=x^6-4x^4-x^6+4x^4+17=17\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Choosing \(6\) or \(4\) would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
after expansion:
\((x^4+2x)(x^5-x)-x^9=x^9-x^5+2x^6-2x^2-x^9=2x^6-x^5-2x^2\)। यहाँ \(x^9\) के पद आपस में कट जाते हैं। बचे हुए बहुपद में सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 9 गलत है, क्योंकि \(x^9\) पद सरल करने पर शेष नहीं रहता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह फैलाकर समान घात वाले पदों को मिलाइए। / On expanding and simplifying, \((x^4+2x)(x^5-x)-x^9=x^9-x^5+2x^6-2x^2-x^9=2x^6-x^5-2x^2\). The \(x^9\) terms cancel each other. The highest power in the remaining polynomial is \(6\), so its degree is 6. Option 9 is incorrect because the \(x^9\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always expand and combine like terms before finding the degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^7\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-4) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^7\) and \(x^5\) terms must vanish. At (c=-4), both coefficients become (0).
डिग्री (4) के लिए \(x^6\) पद हटना चाहिए और \(x^4\) पद बचना चाहिए। (d=3) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (4), the \(x^6\) term must vanish and the \(x^4\) term must remain. This condition holds at (d=3).
पहले पद की कुल घात (4+2+3=9) है और दूसरे पद की (2+1+6=9) है। इसलिए कुल डिग्री (9) है। / The total power of the first term is (4+2+3=9) and of the second term is (2+1+6=9). Therefore the total degree is (9).
(z) की सबसे बड़ी घात (7) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (7). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
after विस्तार करने पर
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A. \(p(x)+q(x)\) की डिग्री 4 होगी/The degree of \(p(x)+q(x)\) will be 4
Explanation
Simple Explanation
\(q(x)\) में \(x^4\) पद नहीं हो सकता, इसलिए वह \(p(x)\) के अग्रणी \(x^4\) पद को रद्द नहीं कर सकता। अतः योग की डिग्री 4 रहती है। परीक्षा टिप: अलग डिग्रियों के बहुपदों के योग की डिग्री बड़ी डिग्री होती है। / Since \(q(x)\) cannot contain an \(x^4\) term, it cannot cancel the leading \(x^4\) term of \(p(x)\). Hence their sum has degree 4. Exam tip: for polynomials of unequal degrees, the sum has the higher degree.
B. डिग्री 4 है, क्योंकि शून्येतर गुणांक वाले \(x\) का उच्चतम घातांक 4 है।/The degree is 4 because the highest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient is 4.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री पदों की संख्या से नहीं, \(x\) के सबसे बड़े घातांक से तय होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^4\) है, इसलिए डिग्री 4 है। परीक्षा में पहले उच्चतम घात वाला पद पहचानें। / The degree depends on the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient, not on the number of terms. Here the highest power is \(x^4\), so the degree is 4. Exam tip: ignore coefficients while finding degree.
कोष्ठक खोलने पर दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \(p(x)=x^6-4x^3+3-x^6+x^3=-3x^3+3\)। इसमें \(x^6\) वाले पद कट जाते हैं और शेष बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 6 चुनना गलत है, क्योंकि सरल करने के बाद \(x^6\) पद बचता ही नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / On removing the brackets, every term of the second polynomial changes sign: \(p(x)=x^6-4x^3+3-x^6+x^3=-3x^3+3\). The \(x^6\) terms cancel, and the highest power in the remaining polynomial is 3. Therefore, the degree is 3. Choosing 6 is incorrect because no \(x^6\) term remains after simplification. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
A. \(x^4\) का गुणांक अशून्य है और \(x^4\) से अधिक घात वाला कोई पद नहीं है।/The coefficient of \(x^4\) is non-zero, and there is no term with power greater than 4.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य बहुपद की डिग्री उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। अतः \(x^4\) उपस्थित हो और उससे बड़ी घात का कोई पद न हो, तो डिग्री 4 है। \(x^5\) होने पर डिग्री कम-से-कम 5 होगी। परीक्षा में शून्य गुणांक वाले पदों को न गिनें। / The degree of a non-zero polynomial is the greatest exponent whose coefficient is non-zero. Thus, a non-zero \(x^4\) term with no higher-power term gives degree 4. If an \(x^5\) term exists, the degree is at least 5. Exam tip: ignore terms with zero coefficients.
(e=-1) पर \(x^{11}\) पद हटता है लेकिन \(x^9\) का गुणांक (-3) रहता है। इसलिए डिग्री (9) है। / At (e=-1), the \(x^{11}\) term vanishes but the coefficient of \(x^9\) remains (-3). Therefore the degree is (9).
दिया गया व्यंजक p(x)=0 है, क्योंकि x की प्रत्येक घात का गुणांक 0 है। इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई भी अशून्य पद नहीं होता, अतः उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। 8 चुनना गलत है, क्योंकि x-8 का गुणांक भी 0 है और वह प्रभावी पद नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल अशून्य गुणांक वाले पदों पर ध्यान दें। / The given expression is p(x)=0 because the coefficient of every power of x is 0. Hence, it is the zero polynomial. Since the zero polynomial has no non-zero term, its degree is not defined. Choosing 8 is incorrect because the coefficient of x-8 is also 0, so it is not an effective term. Exam tip: While finding degree, consider only terms with non-zero coefficients.
अशून्य बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जुड़ती हैं। इसलिए \(\deg[p(x)^2]=7+7=14\)। \(p(x)-p(x)\) शून्य बहुपद है, जिसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, degrees add on multiplication. Hence \(\deg[p(x)^2]=7+7=14\). But \(p(x)-p(x)\) is the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। \(x^5y^3+2x\) में पद \(x^5y^3\) की कुल घात \(5+3=8\) है, इसलिए इसकी कुल डिग्री 8 है। विकल्प A और D की कुल डिग्री 5 है, जबकि C की 6 है। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले पद में सभी चरों की घातें जोड़कर कुल घात ज्ञात करें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of exponents of variables in any term. In \(x^5y^3+2x\), the term \(x^5y^3\) has total degree \(5+3=8\), so the polynomial has total degree 8. Options A and D have total degree 5, while option C has degree 6. Exam tip: For a term with more than one variable, add the exponents to find its total degree.
\(0x^{16}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{14}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (14) है। / \(0x^{16}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{14}\) term. Therefore the degree is (14).
कोष्ठक खोलने पर समान पद कट जाते हैं:
a
(\(x^6+x^3+1\)-\(x^6+x^3\)) = 1।
1 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री 0 होती है। 6 या 3 मूल व्यंजक के पदों की घातें हैं, लेकिन सरल करने के बाद वे पद बचते नहीं हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / On opening the brackets, the like terms cancel:
(\(x^6+x^3+1\)-\(x^6+x^3\)) = 1.
Since 1 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. Although 6 and 3 are exponents in the original expression, those terms do not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-3) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (s=-3), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^8+4x^3+7)-(x^8+4x^3)=7\)। चूँकि \(7\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(8\) मूल बहुपदों की डिग्री है, अंतर की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के योग या अंतर की डिग्री निकालने से पहले पदों को सरल करके अवश्य देखें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^8+4x^3+7)-(x^8+4x^3)=7\). Since \(7\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degree \(8\) is the degree of the original polynomials, not of their difference. Exam tip: simplify a sum or difference of polynomials before deciding its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^7+5)+(-x^7+6x^4)=6x^4+5\)। यहाँ \(x^7\) और \(-x^7\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे अधिक घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(4\) है। \(7\) सही नहीं है, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^7\) पद बचता ही नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उसका उच्चतम घात वाला शून्येतर पद देखकर डिग्री ज्ञात करें। / \(A(x)+B(x)=(x^7+5)+(-x^7+6x^4)=6x^4+5\). The \(x^7\) and \(-x^7\) terms cancel each other. The highest power in the remaining polynomial is \(4\), so its degree is \(4\). Option \(7\) is not correct because no \(x^7\) term remains after addition. Exam tip: first simplify the sum, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
यहाँ
\((x^4-5)(x^4+5)\) में
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करने पर
\(x^8-25\) मिलता है। अतः
\(P(x)=x^8-25-x^8=-25\)। यह एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प \(8\) केवल सरलीकरण से पहले के उच्चतम घात को देखकर चुना जा सकता है, पर \(x^8\) पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((x^4-5)(x^4+5)=x^8-25\). Therefore, \(P(x)=x^8-25-x^8=-25\). Since this is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Option \(8\) may seem tempting before simplification, but the \(x^8\) terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before identifying its degree.
दिए गए मान रखने पर बहुपद 5x-7+3x-11+1 बनता है। इसके पदों की घातें 7, 11 और 0 हैं। शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात 11 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 11 है। 18 घातों का योग है, लेकिन बहुपद की डिग्री घातों का योग नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात पहचानें और सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting the given values, the polynomial becomes 5x-7+3x-11+1. The degrees of its terms are 7, 11, and 0. The greatest exponent of x with a non-zero coefficient is 11, so the degree of the polynomial is 11. Option 18 is the sum of the exponents, but the degree of a polynomial is not found by adding exponents of different terms. Exam tip: identify the exponent of the variable in every term and select the greatest one.
पहले गुणा करने पर \(x^4(x^3+x)=x^7+x^5\) मिलता है। अतः \(p(x)=x^7+x^5-x^7-x^5+23=23\)। शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(7\) डिग्री केवल सरलीकरण से पहले दिखने वाला उच्चतम घातांक है; उसके पद निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / On multiplying, \(x^4(x^3+x)=x^7+x^5\). Hence, \(p(x)=x^7+x^5-x^7-x^5+23=23\). A non-zero constant polynomial has degree \(0\), so the correct answer is \(0\). Degree \(7\) is only the highest exponent visible before simplification; those terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
\((x-3)^2\) की डिग्री 2 है और \(x^4\) की डिग्री 4 है। दो अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्रियाँ जुड़ती हैं, इसलिए \(x^4(x-3)^2\) की डिग्री \(4+2=6\) है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणन के रूप में दिए बहुपद में प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / \((x-3)^2\) has degree 2, and \(x^4\) has degree 4. The degrees of two non-zero polynomials add when they are multiplied, so the degree of \(x^4(x-3)^2\) is \(4+2=6\). Option 8 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: For a polynomial written as a product, add the degrees of its factors.
डिग्री 0 वाला बहुपद एक अशून्य स्थिरांक होता है, इसलिए \(x^9\) और \(x^2\) वाले दोनों पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। यहाँ दोनों का गुणांक \(r-8\) है। अतः \(r-8=0\), इसलिए \(r=8\)। इस मान पर बहुपद \(14\) बन जाता है, जिसकी डिग्री 0 है। \(r=9\) लेने पर \(x^9\) का गुणांक शून्य नहीं रहता और डिग्री 9 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री घटाने वाले प्रश्नों में उच्चतम घात वाले पद के गुणांक को पहले शून्य करें। / A polynomial of degree 0 is a non-zero constant, so the coefficients of both the \(x^9\) and \(x^2\) terms must be zero. Both coefficients are \(r-8\). Thus, \(r-8=0\), giving \(r=8\). For this value, the polynomial becomes \(14\), whose degree is 0. If \(r=9\), the coefficient of \(x^9\) remains non-zero, so the degree would be 9. Exam tip: In degree-reduction questions, first make the coefficient of the highest-power term zero.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके अलग-अलग घातों के योग के बराबर होती है। अतः
deg(p(x)q(x)) = 6 + 5 = 11। विकल्प 6 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें, जबकि जोड़ या घटाव में सामान्यतः बड़ी डिग्री देखें। / For non-zero polynomials, the degree of their product equals the sum of their degrees. Thus, deg(p(x)q(x)) = 6 + 5 = 11. Option 6 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; for addition or subtraction, generally consider the larger degree.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ x-5y-2 की कुल घात 5+2=7, x-3y-6 की 3+6=9 और xy की 1+1=2 है। अतः सबसे बड़ी कुल घात 9 है, इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A पहले पद की डिग्री है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग निकालकर उनमें से अधिकतम चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of x-5y-2, x-3y-6, and xy are 5+2=7, 3+6=9, and 1+1=2 respectively. The greatest value is 9, so option C is correct. Option A is the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: find the sum of exponents in each term and select the greatest one.
डिग्री (0) के लिए \(x^{11}\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=-8) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{11}\) and \(x^5\) terms must vanish. At (u=-8), both coefficients are (0).
दिए गए व्यंजक में 4x^{10}-4x^{10}=0 और 5x-6-5x-6=0 हो जाते हैं। अतः F(x)=7x-3-2 बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। 0 डिग्री केवल किसी अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल करें, फिर शेष सबसे बड़े घातांक को देखें। / In the given expression, 4x^{10}-4x^{10}=0 and 5x-6-5x-6=0. Thus, F(x)=7x-3-2 remains. The greatest exponent of x is 3, so the degree of the polynomial is 3. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest remaining exponent.
(\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(13x^4\) बचता है जिसकी डिग्री (4) है। / (\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4). After higher terms cancel, \(13x^4\) remains, whose degree is (4).
डिग्री (4) के लिए \(x^{12}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (w=9) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (4), both \(x^{12}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (w=9), both coefficients become (0).
