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शून्य घात का नियम कहता है कि किसी भी अशून्य संख्या या चर के लिए \(x^0=1\) होता है, और \(x^1=x\) होता है। इसलिए \(x^0+x^1=1+x\)। विकल्प D \(x+2\) गलत है क्योंकि उसमें 1 को दो बार जोड़ दिया गया है। परीक्षा में याद रखें: \(x^0=1\) केवल \(x\ne0\) के लिए लागू होता है। / By the zero-exponent rule, \(x^0=1\) for a non-zero value of \(x\), and \(x^1=x\). Therefore, \(x^0+x^1=1+x\). Option D, \(x+2\), is incorrect because it adds 1 twice. Exam tip: remember that \(x^0=1\) only when \(x\ne0\).
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांकों को जोड़ा जाता है। इसलिए \\(a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}\\) होगा। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में घात जोड़ें, जबकि समान आधारों के भाग में घात घटाएँ। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added. Therefore, \\(a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}\\). Option B is incorrect because the exponents are multiplied there, whereas the exponent law requires their addition. Exam tip: add exponents for multiplication of like bases and subtract them for division.
यहाँ 4 को 22 के रूप में लिखते हैं। इसलिए \(2^5 \times 4^2 = 2^5 \times (2^2)^2 = 2^5 \times 2^4 = 2^{5+4}=2^9\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B में घातों का गलत योग किया गया है। परीक्षा-टिप: समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं। / Write 4 as \(2^2\). Then \(2^5 \times 4^2 = 2^5 \times (2^2)^2 = 2^5 \times 2^4 = 2^{5+4}=2^9\). Therefore, option A is correct. Option B results from adding the exponents incorrectly. Exam tip: when powers with the same base are multiplied, their exponents are added.
घात के घात पर लागू नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) के अनुसार, \((2^{-2})^2=2^{(-2)\times2}=2^{-4}=\frac{1}{16}\) होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घात का चिह्न गलत रूप से धनात्मक कर दिया गया है। परीक्षा-टिप: किसी घात को दूसरी घात तक उठाने पर दोनों घातों का गुणन किया जाता है। / Using the power-of-a-power rule \((a^m)^n=a^{mn}\), \((2^{-2})^2=2^{(-2)\times2}=2^{-4}=\frac{1}{16}\). Therefore, option A is correct. Option B is incorrect because it changes the negative exponent to a positive one. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
समान आधार वाली घातों के भाग के नियम के अनुसार \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)। इसलिए \(\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातों को जोड़ दिया गया है, जो गुणा के मामले में होता है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के भाग में घात घटाएँ। / For division of powers with the same base, use \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\). Thus, \(\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4\), so option A is correct. Option B results from adding the exponents, which is the rule for multiplication, not division. Exam tip: subtract the exponents when dividing powers with the same non-zero base.
किसी भी अशून्य संख्या या चर के लिए घातांक का नियम है: \(a^m \div a^m = a^{m-m}=a^0\)। बाएँ पक्ष का मान 1 होता है, इसलिए \(a^0=1\), जहाँ \(a\neq 0\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C केवल तब सही होता जब घात 1 होता, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी अशून्य आधार की शून्य घात का मान हमेशा 1 याद रखें। / For any non-zero number or variable, the exponent rule gives \(a^m \div a^m=a^{m-m}=a^0\). The left-hand side equals 1, so \(a^0=1\) for \(a\neq 0\). Therefore, option A is correct. Option C would apply when the exponent is 1, not 0. Exam tip: the zeroth power of every non-zero base is 1.
समान आधार वाली घातों के भाग में घात घटाई जाती हैं: \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\), जहाँ \(x\neq0\)। इसलिए \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\)। विकल्प B में घातों को जोड़ दिया गया है, जो भाग के लिए सही नियम नहीं है। परीक्षा टिप: गुणा में घातें जुड़ती हैं, जबकि भाग में घटती हैं। / For division of powers with the same non-zero base, subtract the exponents: \(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\), where \(x\neq0\). Thus, \(\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3\). Option B incorrectly adds the exponents, which is the rule for multiplication, not division. Exam tip: add exponents in multiplication and subtract them in division when the bases are the same.
घात के घात का नियम
लागू करने पर
होता है। इसलिए
और
। अतः
का मान 6 है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों को भाग देने पर घातांक घटाए जाते हैं। / Using the power-of-a-power rule,
. Therefore,
and
. Hence, the value of
is 6. Exam tip: when powers with the same base are divided, subtract their exponents.
16 को 4 की घात के रूप में लिखें: 16 = 42, इसलिए 162 = \(4^2\)2 = 44। अब समान आधार वाली घातों के भाग के नियम से 44 ÷ 43 = 4^(4−3) = 4। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों को भाग देने पर घातांक घटाए जाते हैं। / Write 16 as a power of 4: 16 = 42, so 162 = \(4^2\)2 = 44. Using the division law for powers with the same base, 44 ÷ 43 = 4^(4−3) = 4. Therefore, option A is correct. Exam tip: when dividing powers with the same non-zero base, subtract the exponent in the denominator from the exponent in the numerator.
घात के नियम
(\(a^m\)^n=a^{mn}) के अनुसार, \(4^3\)2=46। साथ ही, 162=\(4^2\)2=44। इसलिए 46 ÷ 44=42=16, अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: भाग करते समय समान आधारों की घातों को घटाएँ। / Using the exponent rule (\(a^m\)^n=a^{mn}), \(4^3\)2=46. Also, 162=\(4^2\)2=44. Therefore, 46 ÷ 44=42=16, so option B is correct. Exam tip: when dividing powers with the same base, subtract their exponents.
सभी संख्याओं को 2 की घात के रूप में लिखें: 82=\(2^3\)2=26 और 42=\(2^2\)2=24। अतः 26 \times 23 \div 24=2^{6+3-4}=25=32। इसलिए सही उत्तर विकल्प D है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें और भाग में घातें घटाएँ। / Express each number as a power of 2: 82=\(2^3\)2=26 and 42=\(2^2\)2=24. Therefore, 26 \times 23 \div 24=2^{6+3-4}=25=32. Hence, option D is correct. Exam tip: when powers have the same base, add exponents while multiplying and subtract them while dividing.
घात के घात का नियम \\(a^m\\)^n=a^{mn} लागू करने पर \\( (3^3)^3=3^{3\times3}=3^9 \\) प्राप्त होता है। अब \\(3^9=19683\\)। इसलिए सही उत्तर 19683 है। 6561, \\(3^8\\) के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो घातांक आपस में गुणा किए जाते हैं, जोड़ा नहीं जाता। / Using the power-of-a-power rule \\( (a^m)^n=a^{mn} \\), we get \\( (3^3)^3=3^{3\times3}=3^9 \\). Since \\(3^9=19683\\), the correct answer is 19683. The closest distractor, 6561, equals \\(3^8\\), which would result from an incorrect exponent calculation. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents rather than adding them.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जुड़ते हैं: \(2^3\times2^2=2^{3+2}=2^5\)। अब \((2^5)^2=2^{5\times2}=2^{10}=1024\)। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प C (512) \(2^9\) के बराबर है और बाहरी घात को सही ढंग से लागू न करने पर मिल सकता है। परीक्षा-टिप: \((a^m)^n=a^{mn}\) और \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) याद रखें। / For powers with the same base, the exponents are added: \(2^3\times2^2=2^{3+2}=2^5\). Then \((2^5)^2=2^{5\times2}=2^{10}=1024\). Therefore, option B is correct. Option C, 512, equals \(2^9\) and may result from applying the outer exponent incorrectly. Exam tip: remember \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) and \((a^m)^n=a^{mn}\).
समान आधार वाली घातों को भाग देने पर घातांक घटाए जाते हैं: \(5^3 \div 5^1=5^{3-1}=5^2=25\)। इसलिए सही उत्तर 25 है। ध्यान रखें कि भाजक 5 को \(5^1\) लिखना आवश्यक है। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(5^3 \div 5^1=5^{3-1}=5^2=25\). Therefore, the correct answer is 25. Remember to write the divisor 5 as \(5^1\) before applying the exponent rule.
शून्य घात का नियम है कि किसी भी शून्येतर संख्या के लिए \(a^0=1\), इसलिए \(6^0=1\)। अतः \(6^2 \times 6^0=36 \times 1=36\)। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(6^2\) का मान नहीं लिया गया है। परीक्षा में याद रखें: शून्येतर संख्या की शून्य घात हमेशा 1 होती है। / By the zero-exponent rule, \(a^0=1\) for every non-zero number, so \(6^0=1\). Therefore, \(6^2 \times 6^0=36 \times 1=36\). Option B is incorrect because it does not evaluate \(6^2\). Exam tip: the zero power of any non-zero number is always 1.
घात के घात का नियम
\((a^m)^n=a^{mn}\) होता है। इसलिए
\((3^2)^4=3^{2\times4}=3^8=6561\)। अतः सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A \(3^6\), विकल्प B \(3^7\) और विकल्प D \(3^4\) के बराबर हैं। परीक्षा-युक्ति: जब किसी घात पर फिर घात हो, तो घातांक गुणा किए जाते हैं, जोड़े नहीं। / Using the power-of-a-power rule, \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((3^2)^4=3^{2\times4}=3^8=6561\), so option C is correct. Option A equals \(3^6\), option B equals \(3^7\), and option D equals \(3^4\). Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents rather than adding them.
समान आधार वाली घातों को भाग देने पर घातों का घटाव किया जाता है: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\)। इसलिए \(6^6 \div 6^4=6^{6-4}=6^2=36\)। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार होने पर भाग में घातें घटाएँ, जोड़ें नहीं। / When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\). Therefore, \(6^6 \div 6^4=6^{6-4}=6^2=36\). Hence, option B is correct. Exam tip: for division with the same base, subtract the exponents rather than adding them.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(2^6 \times 2^5=2^{6+5}=2^{11}\)। अब \(2^{11}=2048\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में केवल \(2^{10}\) और विकल्प C में \(2^{12}\) का मान लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों के गुणन में \(a^m \times a^n=a^{m+n}\) का नियम याद रखें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(2^6 \times 2^5=2^{6+5}=2^{11}\). Since \(2^{11}=2048\), option A is correct. Option B corresponds to \(2^{10}\), while option C corresponds to \(2^{12}\). Exam tip: remember the rule \(a^m \times a^n=a^{m+n}\) for multiplying powers with the same base.
यहाँ 24 को 24 की पहली घात, अर्थात \(24^1\), लिखा जा सकता है। समान आधार वाली घातों का भाग देने पर घातें घटती हैं: \(24^2 \div 24^1=24^{2-1}=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। 576, \(24^2\) का मान है, लेकिन प्रश्न में 24 से भाग भी दिया गया है। परीक्षा टिप: समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाएँ। / Here, 24 can be written as \(24^1\). When powers with the same base are divided, their exponents are subtracted: \(24^2 \div 24^1=24^{2-1}=24\). Therefore, the correct answer is 24. The value 576 is \(24^2\), but the expression also requires division by 24. Exam tip: for division of powers with the same base, subtract the exponents.
दिया है कि \(a^3=343\)। क्योंकि \(7^3=7\times7\times7=343\), इसलिए \(a=7\) होगा। \(8^3=512\) होता है, इसलिए 8 सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(343\) को पहचानने के लिए याद रखें कि यह \(7\) का घन है। / Given \(a^3=343\). Since \(7^3=7\times7\times7=343\), we get \(a=7\). Option 8 is not correct because \(8^3=512\). Exam tip: Remember that \(343\) is the cube of \(7\).
समान आधार वाली घातों का भाग करने पर घातांक घटाए जाते हैं: \(8^3 \div 8^2 = 8^{3-2}=8^1=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। 1 तब प्राप्त होता यदि दोनों घातांक समान होते, जैसे \(8^2 \div 8^2\)। परीक्षा टिप: समान आधार दिखे तो भाग में घातांक घटाने का नियम लगाइए। / When powers with the same base are divided, subtract the exponents: \(8^3 \div 8^2 = 8^{3-2}=8^1=8\). Therefore, the correct answer is 8. The value would be 1 only if the exponents were equal, such as \(8^2 \div 8^2\). Exam tip: for division with the same base, subtract the exponents.
समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं: \(9^4 \div 9^2 = 9^{4-2}=9^2=81\)। इसलिए 81 सही उत्तर है। 9 केवल \(9^1\) है, इसलिए यह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^m \div a^n=a^{m-n}\), जहाँ \(a\ne0\)। / When powers with the same base are divided, subtract their exponents: \(9^4 \div 9^2 = 9^{4-2}=9^2=81\). Therefore, 81 is correct. The option 9 is only \(9^1\), so it is not correct. Exam tip: use \(a^m \div a^n=a^{m-n}\), where \(a\ne0\).
पहले घात ज्ञात करें: \(15^2=15\times15=225\)। अब \(225-25=200\), इसलिए सही उत्तर 200 है। 210 प्राप्त होना घटाव में गलती का संकेत है। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में पहले घात का मान निकालें, फिर घटाव करें। / First evaluate the exponent: \(15^2=15\times15=225\). Then \(225-25=200\), so the correct answer is 200. Getting 210 indicates an error in subtraction. Exam tip: evaluate powers first, then perform subtraction.
घात का घात नियम है: \((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए \((2^2)^3=2^{2\times3}=2^6=64\)। 32 प्राप्त करने के लिए घातों को गलत ढंग से जोड़ा जा सकता है, जबकि इस नियम में घातों का गुणा होता है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर की घात पूरे अंदर वाले घात पर लागू होती है। / Use the power-of-a-power rule: \((a^m)^n=a^{mn}\). Hence, \((2^2)^3=2^{2\times3}=2^6=64\). The value 32 may result from adding exponents incorrectly; in this rule, the exponents are multiplied. Exam tip: an exponent outside brackets applies to the entire power inside the brackets.
क्योंकि 4 = 41, इसलिए समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटते हैं: \(4^3 \div 4^1 = 4^{3-1} = 4^2 = 16\)। अतः सही उत्तर 16 है। 64, \(4^3\) का मान है; उसमें 4 से भाग नहीं दिया गया है। परीक्षा टिप: समान आधार वाली घातों के भाग में नियम \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) लगाएँ। / Since \(4 = 4^1\), subtract the exponents when dividing powers with the same base: \(4^3 \div 4^1 = 4^{3-1} = 4^2 = 16\). Therefore, 16 is correct. The value 64 is \(4^3\) before dividing by 4. Exam tip: use \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) for powers with the same base.
पहले घातों का मान निकालें: \(2^5=32\) और \(2^4=16\)। इसलिए \(2^5+2^4=32+16=48\), अतः सही उत्तर 48 है। 32 केवल \(2^5\) का मान है, इसमें \(2^4\) जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: घात वाले व्यंजकों में पहले घातों का मान ज्ञात करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Evaluate the powers first: \(2^5=32\) and \(2^4=16\). Therefore, \(2^5+2^4=32+16=48\), so 48 is correct. The value 32 represents only \(2^5\); \(2^4\) still has to be added. Exam tip: In expressions with exponents, evaluate the powers before performing addition or subtraction.
घात की घात के नियम के अनुसार \((a^m)^n=a^{mn}\)। इसलिए \((3^3)^2=3^{3\times2}=3^6=729\)। विकल्प 243, \(3^5\) के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर की घात होने पर घातों को गुणा करें। / Using the power-of-a-power rule, \((a^m)^n=a^{mn}\). Therefore, \((3^3)^2=3^{3\times2}=3^6=729\). Option 243 equals \(3^5\), so it is not correct. Exam tip: when a power is raised to another power, multiply the exponents.
50 एक अशून्य संख्या है। शून्य घात के नियम के अनुसार, किसी भी अशून्य संख्या \(a\) के लिए \(a^0=1\) होता है। इसलिए \(50^0=1\)। 0 उत्तर नहीं है; 0 केवल घात है, मान नहीं। परीक्षा टिप: शून्य घात देखते ही पहले जाँचें कि आधार 0 तो नहीं है। / Since 50 is non-zero, the zero-exponent rule applies: for any non-zero number \(a\), \(a^0=1\). Hence, \(50^0=1\). It is not 0; zero is the exponent, not the value of the expression. Exam tip: Before applying this rule, check that the base is not 0.
समान आधार वाली घातों का भाग करने पर घातांक घटते हैं: \(2^8 \div 2^4 = 2^{8-4} = 2^4 = 16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। 8 प्राप्त करने के लिए घातांकों को गलत ढंग से घटाया या \(2^3\) लिया जाएगा। परीक्षा टिप: समान आधार के भाग में नियम \(a^m \div a^n=a^{m-n}\) लागू करें। / When powers with the same base are divided, subtract the exponents: \(2^8 \div 2^4 = 2^{8-4} = 2^4 = 16\). Therefore, 16 is correct. Getting 8 would result from subtracting the exponents incorrectly or using \(2^3\). Exam tip: for division with the same base, use \(a^m \div a^n=a^{m-n}\).
यहाँ पहले घातों का मान निकालें: \(2^4=2\times2\times2\times2=16\) और \(3^3=3\times3\times3=27\)। इसलिए \(2^4+3^3=16+27=43\)। विकल्प 33 में \(2^4\) का मान गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: घात वाली अभिव्यक्ति में जोड़ करने से पहले प्रत्येक घात का मान अलग-अलग निकालें। / Evaluate the powers first: \(2^4=2\times2\times2\times2=16\) and \(3^3=3\times3\times3=27\). Hence, \(2^4+3^3=16+27=43\). Option 33 results from evaluating \(2^4\) incorrectly. Exam tip: In an expression with exponents, find each power before performing addition or subtraction.
