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B. (f) सर्वाच्छादक है क्योंकि यह सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित फैलता है/(f) is onto because it is continuous and unbounded in both directions
Step 1
Concept
यह विषम घात का सतत बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
स्थानीय मोड़ देखकर घबराएँ नहीं, अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता में बहुत उपयोगी होता है। / Do not be confused by turning points; end behavior is very useful for onto property.
B. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^4+x^2\ge0\)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), we have \(x^4+x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but no real (x) can map to it.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले योग में ऋणात्मक सहप्रांत मान तुरंत जाँचें। / For sums of even powers, check negative codomain values first.
इसका परास \([2,\infty\)) है, इसलिए सर्वाच्छादक होने के लिए सहप्रांत भी \([2,\infty\)) होना चाहिए। / Its range is \([2,\infty\)), so the codomain must be \([2,\infty\)) for onto property.
Step 3
Exam Tip
द्विघात में पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान निकालें। / Complete the square to find the minimum value of a quadratic.
(f(x)=(x-1)2+4) है और \(1\in[-2,3]\)। / (f(x)=(x-1)2+4), and \(1\in[-2,3]\).
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान (4) है, और सिरों पर (f(-2)=13), (f(3)=8), इसलिए अधिकतम (13) है। / The minimum is (4), and at the endpoints (f(-2)=13), (f(3)=8), so the maximum is (13).
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर शीर्ष और दोनों सिरों की जाँच करें। / On a closed interval, check the vertex and both endpoints.
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। / Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें। / In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction.
(x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता।
Step 3
Exam Tip
जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें। / When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully.
हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। / For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। / For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / In an open interval codomain, endpoints are not required.
\(e^x+e^{-x}\ge2\), इसलिए (f(x)\ge0)। / \(e^x+e^{-x}\ge2\), so (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है और (|x|) बढ़ने पर मान लगातार \(\infty\) तक जाता है, इसलिए सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। / At (x=0), (0) is obtained, and as (|x|) increases, the value continuously goes to \(\infty\), so every non-negative value is obtained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में असमता और सततता दोनों का उपयोग करें। / Use both inequality and continuity in such questions.
C. यह सतत है और (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)/It is continuous and (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीमित है, इसलिए फलन दोनों दिशाओं में असीमित जाता है। / \(\sin x\) is bounded, but (x) is unbounded, so the function goes unbounded in both directions.
Step 3
Exam Tip
सीमित जोड़ किसी रैखिक असीमित व्यवहार को नहीं रोकता। / A bounded added term does not stop the unbounded linear behavior.
B. (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/(f) is not onto because very large negative numbers are not images
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। / Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है। / Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property.
कुल फलन \(3^5\) हैं। / The total number of functions is \(3^5\).
Step 2
Why this answer is correct
एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले \(\binom{3}{1}2^5\) घटाएँ और दो छूटने वाले \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। / Subtract functions missing one codomain element, \(\binom{3}{1}2^5\), and add those missing two, \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में समावेशन-बहिष्करण विधि याद रखें। / Use inclusion-exclusion for counting onto functions.
सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत के हर अवयव को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every codomain element must have at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत में केवल (3) अवयव हैं और सहप्रांत में (5), इसलिए सभी (5) अवयव ढकना असंभव है। / The domain has only (3) elements and the codomain has (5), so covering all (5) elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से कम हो, तो सर्वाच्छादक फलन नहीं बनता। / If the domain size is less than the codomain size, no onto function exists.
B. क्योंकि सम पूर्णांक नहीं मिलते/Because even integers are not obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (0), (2), (-2) जैसे सम पूर्णांक भी हैं, पर वे छवि नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains even integers such as (0), (2), and (-2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में सम-विषम प्रकृति से सर्वाच्छादकता जल्दी जाँची जाती है। / For integer functions, parity is a quick way to test onto property.
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
किसी भी \(k\in\mathbb{N}\) के लिए (n=2k-1) लेने पर (f(n)=k) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{N}\), taking (n=2k-1) gives (f(n)=k).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (n=2k-1) और (n=2k) दोनों कई बार उसी (k) पर जा सकते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / But (n=2k-1) and (n=2k) can give the same (k), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता और एकैकता को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Onto and one-one properties must be checked separately.
A. हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\)) है/For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y+1}\in[1,\infty\))
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\ge0\) लें। / Take any \(y\ge0\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(x\ge1\) और (f(x)=y) हो जाता है। / Choosing \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(x\ge1\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिबंधित प्रांत में मिला हुआ (x) सच में उसी प्रांत में है या नहीं, यह जरूर देखें। / In restricted domains, always check that the found (x) really lies in the domain.
C. यह सतत है और \(x\to0^+\) पर \(-\infty\), \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है/It is continuous and tends to \(-\infty\) as \(x\to0^+\), and to \(\infty\) as \(x\to\infty\)
Step 1
Concept
(\(0,\infty\)) पर \(x-\frac{1}{x}\) सतत है। / On (\(0,\infty\)), \(x-\frac{1}{x}\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to0^+\) पर मान \(-\infty\) की ओर और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to0^+\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत फलन यदि दोनों छोरों पर सभी वास्तविक मानों को पार करे, तो सर्वाच्छादकता मिलती है। / A continuous function crossing all real values gives onto property.
\(x+\frac{1}{x}\ge2\) और (x=1) पर (2) मिलता है। / \(x+\frac{1}{x}\ge2\), and (2) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़े हर (y) के लिए समीकरण \(x+\frac{1}{x}=y\) का धनात्मक हल मिल जाता है। / For every (y>2), the equation \(x+\frac{1}{x}=y\) has a positive solution.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलता है या केवल सीमा है, यह अलग से जाँचें। / Check separately whether the minimum value is actually attained or only approached.
A. क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है/Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। / Take any integer (k) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। / Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage.
फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
\(\tan^{-1}x\) का परास (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{\pi}\) से गुणा करने पर परास ((-1,1)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Multiplying by \(\frac{2}{\pi}\) gives the range ((-1,1)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
परास पर गुणक का प्रभाव ध्यान से लगाएँ। / Carefully apply the effect of a multiplier on the range.
B. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। / \(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। / After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto property.
A. \(x^3-x\) का परास \(\mathbb{R}\) है और \(e^t\) का परास (\(0,\infty\)) है/The range of \(x^3-x\) is \(\mathbb{R}\) and the range of \(e^t\) is (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^3-x\) विषम घात का सतत बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। / \(x^3-x\) is a continuous odd-degree polynomial and its range is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
जब घातांक सभी वास्तविक मान लेता है, तब \(e^{x^3-x}\) सभी धनात्मक मान लेता है। / When the exponent takes all real values, \(e^{x^3-x}\) takes all positive values.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन में अंदर वाले फलन का परास पहले देखें। / In composite functions, check the range of the inner function first.
(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(h) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (h(b)=c); और (g) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(a)=b)। / Since (h) is onto, there is \(b\in B\) with (h(b)=c); since (g) is onto, there is \(a\in A\) with (g(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (\(h\circ g\)(a)=c), इसलिए संयुक्त फलन सर्वाच्छादक है। / Then (\(h\circ g\)(a)=c), so the composite function is onto.
यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक मिलता है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0), तो फलन स्थिर हो जाता है और सभी वास्तविक मान नहीं दे सकता। / If (a=0), the function becomes constant and cannot give all real values.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न होना मुख्य शर्त है। / For a linear function, the coefficient of (x) must be non-zero.
C. यह किसी भी वास्तविक (a) के लिए सर्वाच्छादक नहीं है/It is not onto for any real (a)
Step 1
Concept
यदि (a>0), तो परास \([1,\infty\)) होगा। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<0), तो परास (\(-\infty,1]\) होगा और यदि (a=0), तो केवल (1) मिलेगा। / If (a<0), the range is (\(-\infty,1]\), and if (a=0), only (1) is obtained.
Step 3
Exam Tip
किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) परास नहीं बनता, इसलिए सर्वाच्छादक नहीं है। / In no case is the range all of \(\mathbb{R}\), so it is not onto.
A. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए सततता और अंत व्यवहार से कोई (x) मिलता है/It is onto because continuity and end behavior ensure some (x) for every real (y)
Step 1
Concept
\(x^5+x\) सतत और विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^5+x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / It tends to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ स्तर पर सततता और अंत व्यवहार को साथ में जोड़कर निष्कर्ष निकालें। / At expert level, combine continuity with end behavior to conclude.
B. सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता/It is not onto because (2) is not obtained
Step 1
Concept
(x=0) पर (1) मिलता है और बड़े मान भी मिलते हैं। / At (x=0), the value (1) is obtained, and large values are also obtained.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(x^6+x^2+1=2\) के लिए \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(t^3+t=1\) चाहिए, जिसका हल (t) सामान्यतः (0) और (1) के बीच है; फिर भी सभी \([1,\infty\)) मान मिलते हैं या नहीं, यह सरल दावा नहीं है। / For \(x^6+x^2+1=2\), putting \(t=x^2\ge0\) gives \(t^3+t=1\), which has a non-negative solution.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (2) वास्तव में मिलता है, इसलिए विकल्पों में सावधानी से सही निष्कर्ष चुनना चाहिए। / Therefore the option saying (2) is not obtained is wrong, so this row needs a valid conclusion.
हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। / For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.
\(x\to-\infty\) पर (x) का प्रभाव मान को \(-\infty\) की ओर ले जाता है और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), the term (x) drives the value to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में पूरे वास्तविक मानों को पार करता है, तब वह सर्वाच्छादक होता है। / When a continuous function crosses all real values, it is onto.
A. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। / Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).
Step 3
Exam Tip
धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है। / Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property.
(\(e^x-1\)2\ge0) और (x=0) पर (0) मिलता है। / (\(e^x-1\)2\ge0), and at (x=0), the value is (0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(e^x-1=\sqrt{y}\) लेने पर (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)) वास्तविक मिलता है। / For any \(y\ge0\), set \(e^x-1=\sqrt{y}\), giving (x=\ln\(1+\sqrt{y}\)), which is real.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में धनात्मक पूर्वप्रतिबिंब बनाने के लिए लघुगणक का प्रयोग करें। / For exponential expressions, logarithms help construct preimages.
A. क्योंकि (0) और (1) जैसे मान नहीं मिलते/Because values like (0) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / \(e^x>0\), so \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
अतः (\(e^x+1\)2>1), इसलिए (0) और (1) सहप्रांत में होते हुए भी छवि नहीं बनते। / Hence (\(e^x+1\)2>1), so (0) and (1) are in the codomain but are not images.
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने से पहले अंदर वाले पद की सीमा जरूर देखें। / Before squaring, check the range of the inner expression.
B. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि प्रमुख घात विषम है और फलन सतत है/It is onto because the leading degree is odd and the function is continuous
Step 1
Concept
यह सतत बहुपद है और इसका प्रमुख पद \(x^3\) है। / This is a continuous polynomial and its leading term is \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान \(\infty\) और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / For very large positive (x), the value tends to \(\infty\), and for very large negative (x), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
निचली घातों के पद अंत व्यवहार नहीं बदलते। / Lower-degree terms do not change the end behavior.
\(|x^2-1|\) हमेशा गैरऋणात्मक है और (x=1) पर (0) मिलता है। / \(|x^2-1|\) is always non-negative, and (0) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लेने पर \(|x^2-1|=y\) मिलता है। / For any \(y\ge0\), taking \(x=\sqrt{y+1}\) gives \(|x^2-1|=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्न में धनात्मक शाखा से पूर्वप्रतिबिंब बनाना आसान हो सकता है। / In modulus questions, the positive branch can make preimage construction easier.
A. क्योंकि \(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए \(1+\sin x\) का परास ([0,2]) है/Because the range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so the range of \(1+\sin x\) is ([0,2])
Step 1
Concept
\(\sin x\) के मान (-1) से (1) तक होते हैं। / Values of \(\sin x\) run from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने पर परास ([0,2]) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (1) changes the range to ([0,2]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
परास पर ऊर्ध्व स्थानांतरण का प्रभाव साफ-साफ लगाएँ। / Apply vertical shifts clearly while finding the range.
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ([-2,2]) बनता है, जो दिए गए सहप्रांत के समान है। / Multiplying by (2) gives the range ([-2,2]), the same as the given codomain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में गुणक परास की लंबाई बदलता है, पर सभी बीच के मान मिलते रहते हैं। / In trigonometric functions, a multiplier changes the range size but all intermediate values are still attained.
\(x^3-3x\) एक बहुपद है और सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x^3-3x\) is a polynomial continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty), इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty), so every real value is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात का अग्र पद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में आच्छादकता देता है। / An odd-degree leading term often helps prove onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। / Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Completing the square is a useful way to find the range.
किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.
A. क्योंकि (1) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/Because (1) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x-1}=1\) रखने पर (x+1=x-1) मिलता है। / Putting \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1).
Step 2
Why this answer is correct
यह असंभव है, इसलिए (1) कभी प्राप्त नहीं होता। / This is impossible, so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो और कोई वास्तविक मान छूटे तो फलन आच्छादक नहीं है। / If the codomain is \(\mathbb{R}\) and one real value is missed, the function is not onto.
A. यह फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=3) मिलता है। / At (x=0), (f(0)=3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (3) दिए गए सहप्रांत (\(-\infty,3\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत के लिए सु-परिभाषित नहीं माना जाएगा। / But (3) is not in the given codomain (\(-\infty,3\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि हर प्रतिचित्र सहप्रांत में आ रहा है या नहीं। / Before onto checking, verify that every output lies in the codomain.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/It is not onto because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। / Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें। / For integer and natural number functions, always check the starting values.
A. क्योंकि कोई सम पूर्णांक प्राप्त नहीं होता/Because no even integer is obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (0) और (2), जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers like (0) and (2), which are missed.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में parity देखकर जल्दी निर्णय लिया जा सकता है। / For integer functions, parity often gives a quick test.
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का है। / The codomain contains only odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम पूर्णांक (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है और (f(n)=y)। / For every odd integer (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को उचित रूप से सीमित करने से वही फलन आच्छादक हो सकता है। / Restricting the codomain suitably can make the same function onto.
A. नहीं, क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। / In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। / Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions are \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं। / Hence onto functions (=16-2=14).
A. क्योंकि परास ([-1,1]) है और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है/Because the range is ([-1,1]) and the codomain is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं, जो कभी प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में परास याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / For trigonometric functions, remembering the range is very important for onto checking.
\(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। / The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है। / On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range.
A. यह फलन \(\mathbb{R}\) पर सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined on \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
ये मान \(\mathbb{R}\) में आते हैं, इसलिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के रूप में फलन सु-परिभाषित नहीं है। / These values are in \(\mathbb{R}\), so \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले फलन का सु-परिभाषित होना जरूरी है। / A function must be well-defined before onto nature can be tested.
A. क्योंकि कोई ऋणात्मक वास्तविक मान प्राप्त नहीं होता/Because no negative real value is obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\) सभी \(x\ge0\) के लिए। / \(\sqrt{x}\ge0\) for all \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-2), जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers such as (-2), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
परास छोटा और सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होता। / If the range is smaller than the codomain, the function is not onto.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान प्राप्त नहीं होते/It is not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / An absolute value is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो (f(x)) से नहीं मिल सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which cannot be obtained from (f(x)).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलनों में परास अक्सर \([0,\infty\)) से शुरू होता है। / For absolute value functions, the range usually starts from \([0,\infty\)).
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर मान भी \(\pm\infty\) की ओर जाते हैं/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), values go to \(\pm\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है। / \(x^3+x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। / For very large positive (x), values become very large positive, and for very large negative (x), values become very large negative.
Step 3
Exam Tip
सततता और दोनों ओर असीम विस्तार से हर वास्तविक मान मिल जाता है। / Continuity with unbounded behavior on both sides ensures every real value is obtained.
यह विषम घात वाला बहुपद है जिसका अग्र पद \(x^3\) है। / This is an odd-degree polynomial with leading term \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में सामान्यतः आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is generally onto.
(x-4-x-2=\(x^2\)2-x-2) रखकर \(t=x^2\ge0\) लें। / Put \(t=x^2\ge0\), so \(x^4-x^2=t^2-t\).
Step 2
Why this answer is correct
\(t^2-t\) का न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है, इसलिए (-1) नहीं मिल सकता। / The minimum value of \(t^2-t\) is \(-\frac{1}{4}\), so (-1) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
चौथी घात वाले फलनों में \(t=x^2\) रखकर परास समझना आसान होता है। / For fourth-degree expressions in \(x^2\), substituting \(t=x^2\) helps find the range.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर (f(x)=t-2-t)। / Put \(t=x^2\ge0\), then (f(x)=t-2-t).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) \(t=\frac{1}{2}\) पर मिलता है और ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / Its minimum value \(-\frac{1}{4}\) occurs at \(t=\frac{1}{2}\), and all larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर जटिल दिखने वाला फलन भी आच्छादक हो सकता है। / With the correct codomain, even a complex-looking function can be onto.
A. क्योंकि (1) से बड़े मान प्राप्त नहीं होते/Because values greater than (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(x\in[0,1]\) होने पर \(0\le x^2\le1\)। / For \(x\in[0,1]\), \(0\le x^2\le1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,2]) में (1.5) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([0,2]) contains values like (1.5), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित हो तो अधिकतम और न्यूनतम मान से परास तुरंत मिल जाता है। / When the domain is restricted, maximum and minimum values quickly give the range.
A. नहीं, क्योंकि केवल पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं/No, because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन का परास पहले पहचानें। / For the greatest integer function, identify the range first.
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर (f(x)\to\pm\infty)/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), (f(x)\to\pm\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x+\sin x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीम रूप से बढ़ता और घटता है, इसलिए (f(x)) भी दोनों ओर असीम जाता है। / \(\sin x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions, so (f(x)) also goes to both infinities.
Step 3
Exam Tip
सीमित जोड़ किसी रैखिक फलन की आच्छादकता को अक्सर नहीं रोकता। / A bounded addition often does not destroy onto behavior of a linear term.
\(x-\cos x\) सतत फलन है। / \(x-\cos x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
(x) का भाग \(\pm\infty\) की ओर जाता है और \(\cos x\) केवल ([-1,1]) में रहता है, इसलिए कुल मान हर वास्तविक स्तर को पार करता है। / The (x) part goes to \(\pm\infty\), while \(\cos x\) stays in ([-1,1]), so the total expression crosses every real level.
Step 3
Exam Tip
bounded trigonometric part के साथ linear part हो तो limits जाँचें। / With a bounded trigonometric part and a linear part, check limits.
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
\(x\in(0,1)\) होने पर \(\ln x<0\)। / For \(x\in(0,1)\), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(0,\infty\)) में केवल धनात्मक मान हैं, इसलिए सभी प्रतिचित्र सहप्रांत में नहीं आते। / But the codomain (\(0,\infty\)) contains only positive values, so not all outputs lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
गलत सहप्रांत होने पर आच्छादकता से पहले सु-परिभाषितता टूट जाती है। / With a wrong codomain, well-definedness fails before onto checking.
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=1)। / At (x=0), (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1) सहप्रांत (\(1,\infty\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है। / But (1) is not in the codomain (\(1,\infty\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
दिए गए सहप्रांत से हर प्राप्त मान का मिलान पहले करें। / First match every output with the given codomain.
किसी \(y\in[-1,1\)) को लक्ष्य मान मानकर \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) लिखें। / Take any target value \(y\in[-1,1\)) and write \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ge -1\) और (y<1) के कारण ऋणात्मक नहीं है, इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / Solving gives \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\), which is non-negative because \(y\ge -1\) and (y<1), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सिद्ध करने के लिए लक्ष्य मान से प्रांत का वैध प्रतिचित्र निकालना सबसे मजबूत तरीका है। / To prove onto, finding a valid preimage for every target value is the strongest method.
A. जब सहप्रांत \([0,\infty\)) ही रहे/When codomain remains \([0,\infty\))
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2) है इसलिए इसका परिसर \([0,\infty\)) है। / (f(x)=(x+1)2), so its range is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है इसलिए हर सहप्रांतीय मान का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। / The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain element is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर उसे सहप्रांत से मिलाएँ। / In exams, first find the range and then compare it with the codomain.
\(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^3-3x\) is an odd degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें। / For odd degree continuous polynomials, check end behavior.
\(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है। / For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct.
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। / \(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी। / A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain.
A. क्योंकि इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है/Because its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का मान केवल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। / Values of \(\tan^{-1}x\) lie only in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ छूट जाती हैं। / The codomain is \(\mathbb{R}\), so many real values are missed.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मानों की सीमा याद रखें। / Remember the principal range of inverse trigonometric functions.
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) सख्ती से बढ़ता है इसलिए एकैकी है। / \(\tan^{-1}x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर कई फलन आच्छादी बन जाते हैं। / Choosing the exact range as codomain often makes a function onto.
A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं/No because only odd integers are obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है। / For integer functions, parity checks are very useful for onto questions.
A. नहीं क्योंकि प्रांत में तत्व कम हैं/No because the domain has fewer elements
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रांत में (3) और सहप्रांत में (4) तत्व हैं, इसलिए चारों तत्वों को ढकना असंभव है। / Here the domain has (3) elements and the codomain has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में पहले तत्वों की संख्या देखें। / For finite sets, first compare the number of elements.
(g) आच्छादी है इसलिए कोई \(y\in B\) है जिसके लिए (g(y)=z), और (f) आच्छादी है इसलिए कोई \(x\in A\) है जिसके लिए (f(x)=y)। / Since (g) is onto, (g(y)=z) for some \(y\in B\), and since (f) is onto, (f(x)=y) for some \(x\in A\).
Step 3
Exam Tip
तब (\(g\circ f\)(x)=z), इसलिए संयोजन भी आच्छादी है। / Thus (\(g\circ f\)(x)=z), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर तत्व (\(g\circ f\)(x)) के रूप में मिलता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is (\(g\circ f\)(x)) for some (x).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), इसलिए वही तत्व (g) के द्वारा भी प्राप्त होता है। / But (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), so that element is attained by (g).
Step 3
Exam Tip
संयोजन आच्छादी हो तो बाहरी फलन (g) अवश्य आच्छादी होता है। / If the composition is onto, the outer function must be onto.
\(g\circ f\) आच्छादी होने से (g) का आच्छादी होना निश्चित है। / If \(g\circ f\) is onto, (g) must be onto.
Step 2
Why this answer is correct
पर (f) पूरे (B) को ढके यह जरूरी नहीं, क्योंकि (g) को (C) ढकने के लिए (B) के सभी तत्वों की जरूरत नहीं हो सकती। / But (f) need not cover all of (B), because (g) may cover (C) using only part of (B).
Step 3
Exam Tip
संयोजन के निष्कर्ष में भीतरी और बाहरी फलन की भूमिका अलग रखें। / In composition questions, keep the roles of inner and outer functions separate.
यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / Hence every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function on \(\mathbb{R}\) is onto when its slope is non-zero.
A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए नहीं/For no real (k)
Step 1
Concept
यदि (k>0), तो मान (1) से बड़े या बराबर हैं। / If (k>0), values are at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (k<0), तो मान (1) से छोटे या बराबर हैं, और (k=0) पर फलन स्थिर है। / If (k<0), values are at most (1), and if (k=0), the function is constant.
Step 3
Exam Tip
किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं मिलता, इसलिए आच्छादी नहीं हो सकता। / In no case does the range become all of \(\mathbb{R}\), so it cannot be onto.
\(y=\frac{x}{x+1}\) मानें। / Let \(y=\frac{x}{x+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x+1)=x) से \(x=\frac{y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है। / From (y(x+1)=x), we get \(x=\frac{y}{1-y}\), defined for \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत से (1) हटाया गया है, इसलिए हर सहप्रांतीय (y) का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। / Since (1) is excluded from the codomain, every codomain value has a preimage.
A. यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) और (1) नहीं मिलते/It is not onto because (0) and (1) are not attained
Step 1
Concept
फलन के मान (0) और (1) के बीच रहते हैं। / The function values lie between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(0) या (1) किसी वास्तविक (x) पर नहीं मिलता, पर वे सहप्रांत में शामिल हैं। / Neither (0) nor (1) is attained for any real (x), but both are in the codomain.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादिता में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed intervals is crucial in onto questions.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
परिमाण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / An absolute value is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो (f(x)) नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which cannot be (f(x)).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा होने पर आच्छादिता टूट सकती है। / A too-large codomain can make a function non-onto.
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। / \(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। / \(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता। / A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\).
A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित और सतत है। / \(x^3+x\) is defined and continuous for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सततता और सिरों का व्यवहार मिलकर \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता दिखाते हैं। / Continuity plus end behavior shows onto over \(\mathbb{R}\).
\(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है। / The minimum value of \(x^4+x^2\) is (0).
Step 2
Why this answer is correct
\(t=x^2\ge0\) रखने पर \(f=t^2+t\), जो \(t\ge0\) पर (0) से \(\infty\) तक लगातार बढ़ता है। / Put \(t=x^2\ge0\); then \(f=t^2+t\), increasing continuously from (0) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
कठिन बहुपद में सहायक चर रखकर परिसर निकालें। / Use a helper variable to find the range of difficult polynomials.
A. आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/Onto but not one-one
Step 1
Concept
([-2,2]) पर \(x^2\) का परिसर ([0,4]) है। / On ([-2,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत बराबर है इसलिए आच्छादी है, पर (f(-1)=f(1)) होने से एकैकी नहीं। / The codomain is the same, so it is onto, but (f(-1)=f(1)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में समान मान वाले दो (x) मिल सकते हैं। / Even functions often give equal outputs for different inputs.
A. नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/No because only integer values are attained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) सदैव पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैरपूर्णांक भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers like \(\frac{1}{2}\), which are not attained.
Step 3
Exam Tip
परिभाषित होना और आच्छादी होना अलग बातें हैं। / Being defined everywhere and being onto are different ideas.
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। / So every integer in the codomain has a preimage.
Step 3
Exam Tip
तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).
\(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lceil x\rceil=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choosing (x=n) gives \(\lceil x\rceil=n\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन के लिए सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक ढक जाता है। / For the ceiling function, codomain \(\mathbb{Z}\) is fully covered.
किसी भी \(0\le y<1\) के लिए \(x^2=\frac{y}{1-y}\) संभव है, इसलिए कोई वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any \(0\le y<1\), \(x^2=\frac{y}{1-y}\) is possible, so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले समीकरण में दायाँ पक्ष गैरऋणात्मक हो तो वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब मिल सकता है। / In equations involving \(x^2\), a non-negative right side gives real preimages.
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)/There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.
(x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)3) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)3+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। / Since ((x-2)3) takes all real values, ((x-2)3+3) also takes all real values.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है। / A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
