यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x^-3}{1+x^-2}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?

Correct Answer: A. सर्वाच्छादक है / It is onto. Explanation: चरण 1: हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Step 1: For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\). Step 2: As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\). Step 3: Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.

For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).

Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property. चरण 1: हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं।