Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह संक्रमण संबंध है/It is a transitive relation
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), both present.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में हर बनी हुई श्रृंखला को अलग से टिक करें। / In hard questions, tick every formed chain separately.
यदि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है और (b-c) भी संख्या (4) से विभाज्य है, तो उनका योग (a-c) भी संख्या (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (4) and (b-c) is also divisible by (4), then their sum (a-c) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) होगा। / Hence (aRc).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों को जोड़कर जांच करें। / For divisibility-based relations, add the differences.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) समान प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। / If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में तत्वों की प्रकृति पर ध्यान दें। / In parity relations, focus on the nature of the elements.
(a+b) विषम होने पर (a) और (b) अलग सम-विषमता के होते हैं। / If (a+b) is odd, (a) and (b) have opposite parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) भी विषम हो, तो (a) और (c) समान सम-विषमता के होंगे, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b+c) is also odd, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
दो लगातार विषम-योग शर्तें तीसरी विषम-योग शर्त नहीं देतीं। / Two consecutive odd-sum conditions do not give the third odd-sum condition.
((2,1)) और ((1,3)) संबंध में हैं। / ((2,1)) and ((1,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए ((2,3)) चाहिए, जो मौजूद है; लेकिन ((2,3)) के साथ ((3,c)) नहीं है, इसलिए वहां समस्या नहीं है। अब ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)), तथा ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) मौजूद हैं; फिर भी ((2,3)) और आगे कोई कमी नहीं। / They require ((2,3)), which is present; ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), and ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), both present.
Step 3
Exam Tip
सभी जांच के बाद यह संबंध संक्रमण है, इसलिए नहीं कहना गलत होगा। / After all checks, the relation is transitive, so saying no is wrong.
A. संबंध संक्रमण होगा/The relation will be transitive
Step 1
Concept
संक्रमण में केवल गुम जरूरी जोड़ी खोजी जाती है। / In transitivity, we look for any missing required pair.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर ((a,b)) और ((b,c)) के लिए ((a,c)) मौजूद है, तो संबंध संक्रमण है। / If for every ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) is present, the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
अधिक जोड़ियों से घबराएं नहीं, जांच को नियम से करें। / Do not be confused by many pairs; follow the rule.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,1)) से ((2,1)), तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,1)) require ((2,1)), and ((3,1)) and ((1,2)) require ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
चक्र वाले संबंधों में नई जोड़ियां आगे और जोड़ियां बना सकती हैं। / In cyclic relations, new pairs may create further pairs.
यदि (a) और (b) का (5) से भाग देने पर शेष समान है, और (b) और (c) का शेष भी समान है, तो (a) और (c) का शेष समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (5), and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{5}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले प्रश्नों में शेष की समानता को श्रृंखला की तरह देखें। / In congruence questions, treat equal remainders as a chain.
A. \(R\cap S\) हमेशा संक्रमण होगा/\(R\cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) संक्रमण हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा और इस कारण \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ चलती है। / In intersection, both relation conditions work together.
अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। / Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। / It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है। / The union must be checked separately.
A. \(R^{-1}\) भी संक्रमण होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
\(R^{-1}\) में ((a,b)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) है। / \((a,b)\in R^{-1}\) means \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं; संक्रमण से (R) में ((c,a)) होगा, इसलिए \(R^{-1}\) में ((a,c)) होगा। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R); transitivity gives \((c,a)\in R\), hence \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमण बचा रहता है। / Inverse reverses order, but transitivity remains.
दिया गया (R) क्रम (1) से (2) से (3) तक बढ़ने जैसा है और इसमें जरूरी सीधी जोड़ियां हैं। / The given (R) acts like an increasing chain from (1) to (2) to (3) and includes the required direct pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाते समय हर जोड़ी उलटेगी, पर श्रृंखला की शर्त बनी रहेगी। / While taking inverse, every pair reverses, but the chain condition remains valid.
यदि (a), (b) का गुणनखंड है और (b), (c) का गुणनखंड है, तो (a), (c) का भी गुणनखंड होगा। / If (a) is a factor of (b) and (b) is a factor of (c), then (a) is a factor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रमण है। / Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और विभाज्यता की भाषा अलग हो सकती है, पर तर्क वही रहता है। / Factor and divisibility language may differ, but the logic is the same.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\subseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में तत्वों के समावेश की श्रृंखला देखें। / In subset questions, follow the chain of inclusion.
दो समुच्चय अलग-अलग हो सकते हैं और दूसरा तीसरे से भी अलग हो सकता है। / Two sets can be disjoint, and the second can be disjoint from the third.
Step 2
Why this answer is correct
फिर भी पहला और तीसरा आपस में अलग हों, यह जरूरी नहीं है। जैसे ({1}) और ({2}) अलग हैं, ({2}) और ({1}) अलग हैं, पर ({1}) और ({1}) अलग नहीं हैं। / Still, the first and third need not be disjoint. For example, ({1}) and ({2}) are disjoint, ({2}) and ({1}) are disjoint, but ({1}) and ({1}) are not disjoint.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय संबंधों में छोटा विरोधी उदाहरण बनाएं। / For set relations, build a small counterexample.
(a=0), (b=0.6), (c=1.2) लें। / Take (a=0), (b=0.6), and (c=1.2).
Step 2
Why this answer is correct
(|0-0.6|<1) और (|0.6-1.2|<1), पर (|0-1.2|<1) नहीं है।
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित संबंधों में दो छोटी दूरियां मिलकर बड़ी दूरी बना सकती हैं। / In distance-based relations, two small distances may combine into a larger one.
\(a\le b+2\) और \(b\le c+2\) से केवल \(a\le c+4\) मिलता है। / From \(a\le b+2\) and \(b\le c+2\), we only get \(a\le c+4\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le c+2\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=0) लें। / Transitivity requires \(a\le c+2\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=0).
Step 3
Exam Tip
असमानता जोड़ने पर सीमा बदल सकती है। / When adding inequalities, the bound may change.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), और फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में छोटी और बड़ी छलांग दोनों जरूरी होती हैं। / In a long chain, both short and long jumps are needed.
(S) में अतिरिक्त जोड़ियां आने से नई श्रृंखलाएं बन सकती हैं। / Extra pairs in (S) can create new chains.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उन नई श्रृंखलाओं की जरूरी सीधी जोड़ी (S) में न हो, तो (S) संक्रमण नहीं रहेगा। / If the required direct pair for a new chain is missing in (S), then (S) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय होने से गुण अपने-आप बड़े संबंध में नहीं जाता। / A property does not automatically pass from a subset relation to a larger relation.
छोटे संबंध (R) में (S) की जरूरी सीधी जोड़ी हट सकती है। / The smaller relation (R) may lose a required direct pair from (S).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) संक्रमण है, पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) संक्रमण नहीं है। / For example, \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) is transitive, but \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) is not.
Step 3
Exam Tip
उपसंबंध की जांच अलग से करनी पड़ती है। / A subrelation must be checked separately.
((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए, वह मौजूद है; फिर भी ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) ठीक है। सभी मुख्य जोड़ी मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,2)) require ((1,2)), also present; other self-pair checks do not create a missing pair.
Step 3
Exam Tip
पूरी जांच के बाद संबंध संक्रमण है, इसलिए संक्रमण नहीं कहना गलत है। / After full checking, the relation is transitive, so saying not transitive is wrong.
संक्रमण जांचने के लिए दूसरी जोड़ी का पहला तत्व पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से मिलना चाहिए। / To test transitivity, the first element of the second pair must match the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((3,4)) से ऐसी कोई जुड़ी श्रृंखला नहीं बनती। / ((1,2)) and ((3,4)) do not form any linked chain.
Step 3
Exam Tip
बिना जुड़ी श्रृंखला के कोई जरूरी जोड़ी नहीं छूटती। / Without a linked chain, no required pair is missing.
यदि (a-b) परिमेय है और (b-c) परिमेय है, तो उनका योग (a-c) भी परिमेय होगा। / If (a-b) is rational and (b-c) is rational, their sum (a-c) is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर आधारित संबंधों में अंतरों का योग मुख्य विचार है। / In difference-based relations, adding differences is the key idea.
अपरिमेय अंतर और अपरिमेय अंतर का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / The sum of two irrational differences is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\) लें; (a-b) अपरिमेय और (b-c) अपरिमेय है, पर (a-c=0) परिमेय है। / Take \(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\); (a-b) and (b-c) are irrational, but (a-c=0) is rational.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या वाले प्रश्नों में विरोधी उदाहरण सावधानी से बनाएं। / Build counterexamples carefully in irrational-number relations.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। बाकी समान जोड़ियां अपनी ही जरूरत पूरी करती हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present. The other self-pairs satisfy their own requirements.
Step 3
Exam Tip
उलटी जोड़ियों के साथ दोनों समान जोड़ियां हों तो संक्रमण बच सकता है। / Reverse pairs can still be transitive if both self-pairs are present.
A. (R) अवश्य संक्रमण है/(R) is necessarily transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों गुण शामिल होते हैं। / An equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा संबंध संक्रमण अवश्य होगा। / Therefore such a relation must be transitive.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता सुनते ही तीनों गुण याद करें। / When you hear equivalence relation, remember all three properties.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)), तथा ((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,2)) require ((2,2)), and ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), both present.
Step 3
Exam Tip
कठिन सूची में जोड़ी-दर-जोड़ी जांच करके ही निष्कर्ष दें। / In hard lists, conclude only after pair-by-pair checking.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है, भले ही ((2,2)) मौजूद हो। / ((1,3)) is missing, so the relation is not transitive, even though ((2,2)) is present.
Step 3
Exam Tip
एक भी जरूरी जोड़ी की कमी काफी होती है। / One missing required pair is enough.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)), तथा ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) भी मौजूद हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), and ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), both present.
Step 3
Exam Tip
उलटी जोड़ियों और आगे बढ़ती जोड़ियों दोनों को साथ में जांचें। / Check reverse pairs and forward chains together.
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (6) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (6), then their sum (a-c) is also divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) मिलेगा और संबंध संक्रमण है। / Hence (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतरों का योग सबसे उपयोगी तरीका है। / Adding differences is the most useful method here.
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो असमानता के क्रम से \(a^2\le c^2\) होगा। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by order of inequalities \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है और संबंध संक्रमण है। / Hence (aRc) is true, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की तुलना में वास्तविक संख्या के चिह्न से भ्रमित न हों। / Do not get confused by signs when comparing squares.
\(a=b^2\) और \(b=c^2\) से \(a=c^4\) मिलता है। / From \(a=b^2\) and \(b=c^2\), we get \(a=c^4\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a=c^2\) चाहिए, जो सामान्यतः सत्य नहीं है। जैसे (c=2), (b=4), (a=16) लें। / Transitivity would require \(a=c^2\), which is not generally true. Take (c=2), (b=4), (a=16).
Step 3
Exam Tip
बीजगणितीय संबंधों में प्रतिस्थापन करके शर्त मिलाएं। / For algebraic relations, substitute and compare the required condition.
यदि \(A\supseteq B\) और \(B\supseteq C\), तो (A) में (C) के सभी तत्व होंगे। / If \(A\supseteq B\) and \(B\supseteq C\), then (A) contains every element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\supseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\supseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
बड़े समुच्चय से छोटे समुच्चय की श्रृंखला ध्यान से देखें। / Follow the chain from larger set to smaller set carefully.
((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((4,4)) और ((4,2)) से ((4,2)), तथा ((2,2)) से बनने वाली जरूरतें भी पूरी हैं। / ((4,4)) with ((4,2)) requires ((4,2)), and requirements with ((2,2)) are also satisfied.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व वाली जोड़ियों को अनदेखा न करें, पर उनसे बनने वाली मांगें अक्सर पहले से मौजूद होती हैं। / Do not ignore self-pairs, but their requirements are often already present.
पहले ((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। / First ((p,q)) and ((q,r)) imply ((p,r)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)), और ((p,s)) तथा ((s,t)) से ((p,t)) मिलेगा। / Then ((p,r)) and ((r,s)) imply ((p,s)), and ((p,s)) with ((s,t)) implies ((p,t)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रमण बार-बार लगाएं। / Apply transitivity repeatedly in a long chain.
A. यह हमेशा संक्रमण नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
अंतर संबंध में कुछ जरूरी जोड़ियां हट सकती हैं। / In a difference of relations, some required pairs may be removed.
Step 2
Why this answer is correct
हटाने के बाद बची दो जुड़ी जोड़ियां तीसरी जरूरी जोड़ी के बिना रह सकती हैं। / After removal, two linked remaining pairs may miss their required third pair.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के अंतर में संक्रमण अपने-आप सुरक्षित नहीं रहता। / Transitivity is not automatically preserved under difference.
\(R\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) when some (b) exists with \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण होने से ऐसा ((a,c)) सीधे (R) में होगा। / Since (R) is transitive, such ((a,c)) belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को क्रमित युग्मों से समझें। / For composition questions, read the definition through ordered pairs.
\(R\circ R\subseteq R\) का अर्थ है कि दो जुड़ी जोड़ियों से बनी जोड़ी फिर (R) में है। / \(R\circ R\subseteq R\) means the pair formed by two linked pairs is again in (R).
Step 2
Why this answer is correct
यही संक्रमण की शर्त है। / This is exactly the condition of transitivity.
Step 3
Exam Tip
संयोजन की भाषा को संक्रमण की परिभाषा से जोड़ना सीखें। / Learn to connect composition language with the definition of transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। / ((1,2)) and ((2,3)) give the required ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) के साथ ((1,3)) से ((1,5)), और ((2,3)) से ((2,5)) भी मौजूद हैं। / With ((3,5)), ((1,3)) requires ((1,5)), and ((2,3)) requires ((2,5)); both are present.
Step 3
Exam Tip
लंबी छलांगों को देखकर सभी जरूरी सीधी जोड़ियां मिलाएं। / Match every required direct jump in long chains.
(6) और (10) का समान भाजक (2) है, तथा (10) और (15) का समान भाजक (5) है। / Try to find a chain where the common factor changes.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (6) और (15) का समान भाजक (3) है, इसलिए यह उदाहरण नहीं टूटता; सही विरोधी उदाहरण (2,6,9) है, जहां (2) और (6) जुड़े हैं, (6) और (9) जुड़े हैं, पर (2) और (9) नहीं जुड़े। / (2) and (6) have common divisor (2), and (6) and (9) have common divisor (3), but (2) and (9) have no common divisor greater than (1).
Step 3
Exam Tip
कठिन संख्या संबंधों में विरोधी उदाहरण ध्यान से चुनें। / In hard number relations, choose counterexamples carefully.
यदि (a-b) पूर्णांक है और (b-c) पूर्णांक है, तो उनका योग (a-c) भी पूर्णांक होगा। / If (a-b) is an integer and (b-c) is an integer, their sum (a-c) is also an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में बंद गुण को याद रखें। / In difference relations, remember closure under addition.
A. इन तीनों तत्वों के सभी क्रमित युग्मों की ओर/Toward all ordered pairs among these three elements
Step 1
Concept
तीनों जोड़ियां एक चक्र बनाती हैं। / The three pairs form a cycle.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण बार-बार लगाने से ((1,3),(2,1),(3,2)) और फिर ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसी जोड़ियां भी आती हैं। / Repeated transitivity gives ((1,3),(2,1),(3,2)) and then self-pairs like ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण चक्र का संक्रमण आवरण अक्सर पूरे छोटे समुच्चय को जोड़ देता है। / The transitive closure of a full cycle often connects the whole small set.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)), तथा ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)), and ((3,1)) with ((1,3)) requires ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों मौजूद हैं; ((2,4)) से आगे कोई जुड़ी जोड़ी नहीं बनती। / Both are present; ((2,4)) does not form any further linked chain.
Step 3
Exam Tip
अलग पड़ी जोड़ी अपने-आप संक्रमण नहीं तोड़ती। / An isolated pair does not break transitivity by itself.
A. ((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) भी (R) में होंगे/((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) will also be in (R)
Step 1
Concept
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। / ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((a,c)) और ((c,a)) से ((a,a)) मिलेगा; इसी तरह चक्र घुमाकर ((b,b)) और ((c,c)) भी मिलते हैं। / Then ((a,c)) and ((c,a)) imply ((a,a)); rotating the cycle gives ((b,b)) and ((c,c)) too.
Step 3
Exam Tip
चक्र वाले संबंधों में समान जोड़ियां अवश्य बनती हैं। / Cyclic relations force self-pairs under transitivity.
\(a\le 2b\) और \(b\le 2c\) से केवल \(a\le 4c\) मिलता है। / From \(a\le 2b\) and \(b\le 2c\), we only get \(a\le 4c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le 2c\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=1) लें; \(4\le4\), \(2\le2\), पर \(4\le2\) गलत है। / Transitivity requires \(a\le 2c\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=1); \(4\le4\), \(2\le2\), but \(4\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
गुणा वाले संबंधों में सीमा बदल सकती है। / In multiplier-based relations, the bound may change.
यदि (a=kb) और (b=kc), तो \(a=k^2c\) होगा। / If (a=kb) and (b=kc), then \(a=k^2c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए (a=kc) चाहिए, इसलिए सामान्यतः \(k^2=k\), धनात्मक (k) में यह (k=1) देता है। / Transitivity requires (a=kc), so generally \(k^2=k\); for positive (k), this gives (k=1).
Step 3
Exam Tip
स्थिर गुणक वाले संबंधों में गुणक को दो बार लगाकर देखें। / In fixed-multiplier relations, apply the multiplier twice.
\(\Delta\) की समान जोड़ियां किसी जोड़ी को उसी रूप में आगे बढ़ाती हैं। / Self-pairs in \(\Delta\) only carry a pair forward as itself.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में पहले से संक्रमण है, इसलिए (R) की श्रृंखलाएं पूरी हैं। \(\Delta\) जोड़ने से कोई नई गुम सीधी जोड़ी नहीं बनती। / Chains already inside (R) are complete because (R) is transitive. Adding \(\Delta\) creates no missing direct pair.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध जोड़ने पर संक्रमण सुरक्षित रहता है। / Adding the identity relation preserves transitivity.
पहचान जोड़ियां केवल ((a,a)) जैसी कमी भरती हैं। / Identity pairs only fill self-pair gaps like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि गुम जोड़ी ((1,3)) जैसी हो, तो \(\Delta\) उसे नहीं जोड़ेगा। जैसे ({(1,2),(2,3)}) में ((1,3)) अब भी नहीं आएगा। / If the missing pair is like ((1,3)), \(\Delta\) will not add it. For example, ({(1,2),(2,3)}) still lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
हर कमी समान तत्व वाली नहीं होती। / Not every missing pair is a self-pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)); both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। ((4,4)) कोई नई कमी नहीं बनाता। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), also present. ((4,4)) creates no new missing pair.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला की हर छलांग सूची में खोजें। / Find every jump in the long chain.
(a-b) परिमेय होने का संबंध संक्रमण है। / The relation (a-b) rational is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण होता है। यहां (b-a=-(a-b)) भी परिमेय रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive. Here (b-a=-(a-b)) remains rational.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में अंतर का चिह्न बदलता है, गुण नहीं। / In inverse, the sign of the difference changes, not the property.
\(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। / \(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। / Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें। / Identify the nature of pairs left after intersection.
(ab>0) का अर्थ है (a) और (b) का चिह्न समान है और दोनों शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means (a) and (b) have the same sign and both are non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का चिह्न समान है तथा (b) और (c) का चिह्न समान है, तो (a) और (c) का चिह्न भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same sign, and (b) and (c) have the same sign, then (a) and (c) also have the same sign.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल के चिह्न वाले संबंधों में चिह्न की श्रृंखला देखें। / In product-sign relations, track the sign chain.
यदि (a) और (b) अलग चिह्न के हैं और (b) और (c) भी अलग चिह्न के हैं, तो (a) और (c) समान चिह्न के होंगे। / If (a) and (b) have opposite signs and (b) and (c) also have opposite signs, then (a) and (c) have the same sign.
Step 3
Exam Tip
उदाहरण (1,-1,1) से संक्रमण टूटता है। / The example (1,-1,1) breaks transitivity.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,8)) से ((2,8)), तथा ((1,4)) और ((4,8)) से ((1,8)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,8)) require ((2,8)), and ((1,4)) with ((4,8)) requires ((1,8)); both are present.
Step 3
Exam Tip
गुणोत्तर जैसी श्रृंखला में सभी सीधी छलांगें देखें। / In a chain-like relation, check all direct jumps.
संक्रमण में हर अनुपस्थित जोड़ी जरूरी नहीं होती। / In transitivity, not every missing pair matters.
Step 2
Why this answer is correct
वही जोड़ी जरूरी है जो किसी ((a,c)) और ((c,b)) जैसी श्रृंखला से बनती हो। / A missing pair matters only if it is required by a chain like ((a,c)) and ((c,b)).
Step 3
Exam Tip
गुम जोड़ी देखकर तुरंत निष्कर्ष न दें, पहले उसकी जरूरत सिद्ध करें। / Do not conclude immediately from a missing pair; prove that it is required.
((2,3)) और ((3,5)) से ((2,5)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,5)) require ((2,5)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) और ((5,2)) से ((3,2)), तथा ((5,2)) और ((2,3)) से ((5,3)) चाहिए। / ((3,5)) and ((5,2)) require ((3,2)), and ((5,2)) with ((2,3)) requires ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
चक्र में पहली परत की जोड़ियां बाद में समान जोड़ियां भी बना सकती हैं। / In a cycle, first-layer pairs may later create self-pairs too.
A. क्योंकि \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है/Because \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\)
Step 1
Concept
संक्रमणीयता में यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) हों तो \((a,c)\in R\) होना चाहिए। / For transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(a\le b\) और \(b\le c\) से सीधे \(a\le c\) मिलता है। / Here \(a\le b\) and \(b\le c\) directly imply \(a\le c\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में असमानता वाले संबंधों में पहले क्रम की श्रृंखला बनाकर जांचें। / In exams, check inequality relations by forming a chain.
(1+2) विषम है, इसलिए \((1,2)\in R\)। इसी तरह (2+3) विषम है, इसलिए \((2,3)\in R\)। / (1+2) is odd, so \((1,2)\in R\). Also (2+3) is odd, so \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए \((1,3)\in R\) चाहिए, पर (1+3) सम है। / Transitivity would require \((1,3)\in R\), but (1+3) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषमता वाले संबंधों में एक छोटा प्रतिउदाहरण जल्दी निष्कर्ष देता है। / In parity-based relations, one clear counterexample can decide the result.
केवल ऐसे युग्म देखें जहां पहले युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म का पहला तत्व बने। / Check only pairs where the second element of one pair becomes the first element of another.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो दिया है। ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) भी दिया है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present. ((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), also present.
Step 3
Exam Tip
अनावश्यक युग्मों की कमी को संक्रमणीयता की कमी न मानें। / Do not treat missing irrelevant pairs as failure of transitivity.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,c)\in R\) अवश्य आएगा। / Hence \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध सामान्यतः संक्रमणीय होते हैं। / Same-remainder relations are usually transitive.
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (b=ak) और (c=bl) माना जा सकता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), write (b=ak) and (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\) होगा। / Then (c=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
भाज्यता वाले संबंध में गुणा की श्रृंखला बनाकर संक्रमणीयता जांचना आसान होता है। / For divisibility relations, use a multiplication chain to test transitivity.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present. ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) के बाद दूसरा ऐसा युग्म नहीं है जिसका पहला तत्व (4) हो, इसलिए उससे कोई नई मांग नहीं बनती। / After ((3,4)), no pair starts with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
सूची वाले संबंध में केवल जुड़ने वाली श्रृंखलाएं देखें। / In listed relations, check only connectable chains.
((2,3)) और ((3,1)) को मिलाने पर ((2,1)) चाहिए। / Combining ((2,3)) and ((3,1)) requires ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
यह युग्म दिए गए संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है। / This pair is missing, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
पहले गायब अनिवार्य युग्म को पहचानना संक्रमणीय समापन में बहुत उपयोगी है। / Identifying the first forced missing pair is very useful in transitive closure questions.
A. हाँ, क्योंकि समान सम-विषमता बनी रहती है/Yes, because same parity is preserved
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने से (b) और (c) की सम-विषमता समान है, इसलिए (a) और (c) भी समान सम-विषमता के होंगे। / (b+c) even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषमता वाले संबंधों में उदाहरण के बजाय श्रेणी देखकर निर्णय लें। / For parity relations, reason by parity classes, not by one example.
(b/a) पूर्णांक होने का अर्थ है कि (a), (b) को विभाजित करता है। / (b/a) being an integer means (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संबंध संक्रमणीय है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
भागफल वाली शर्त को पहले भाज्यता में बदलें। / Convert quotient conditions into divisibility first.
संक्रमणीयता तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), पर \((1,3)\notin R\) क्योंकि (|1-3|=2)। / \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), but \((1,3)\notin R\) because (|1-3|=2).
Step 3
Exam Tip
दूरी वाले संबंधों में लगातार दो कदम अक्सर एक बड़े कदम में बदल जाते हैं। / In distance-based relations, two small steps may become a larger step.
A. हाँ, क्योंकि तोड़ने वाली कोई श्रृंखला नहीं है/Yes, because there is no chain that can violate it
Step 1
Concept
संक्रमणीयता तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में ऐसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए कोई उल्लंघन नहीं बनता। / In the empty relation, no such pair exists, so no violation occurs.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को अक्सर बिना विरोध के संक्रमणीय माना जाता है। / The empty relation is commonly treated as transitive by vacuous truth.
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), क्योंकि क्रम भी सही है और योग विषम है। / \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), because the order is correct and each sum is odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \((1,3)\notin R\), क्योंकि (1+3) सम है। / But \((1,3)\notin R\), because (1+3) is even.
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों वाले संबंध में दोनों शर्तें अंतिम युग्म पर भी जांचें। / For two-condition relations, verify both conditions on the final pair too.
B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। / \(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। / New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती। / Subset information alone does not guarantee transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो दिया है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने युग्म जैसे ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) कोई नई कमी नहीं बनाते, क्योंकि जरूरी युग्म पहले से सूची में हैं। / Self-pairs such as ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) do not create a missing requirement because the needed pairs are already listed.
Step 3
Exam Tip
क्रमबद्ध संबंधों को छोटे रास्ते की तरह देखकर जांचें। / Check ordered relations like small paths.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो दिया है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो दिया है; ((1,4)) और ((4,4)) से ((1,4)) चाहिए, वह भी दिया है। / ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), and ((1,4)) with ((4,4)) requires ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
हर गायब युग्म संक्रमणीयता के लिए जरूरी नहीं होता। / Not every missing pair is required for transitivity.
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो दिया है। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) के साथ जुड़े युग्म वही युग्म मांगते हैं जो पहले से मौजूद हैं; ((4,4)) भी कमी नहीं बनाता। / Chains involving ((3,3)) require pairs already present, and ((4,4)) also creates no gap.
Step 3
Exam Tip
अपने-अपने युग्मों को देखकर घबराएं नहीं, वे अक्सर पुराने युग्म ही दोहराते हैं। / Do not panic over self-pairs; they often only repeat existing requirements.
A. नहीं, क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
(a+b=5) से ((1,4)) और ((4,1)) दोनों संबंध में हैं। / Since (a+b=5), both ((1,4)) and ((4,1)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए इनसे ((1,1)) चाहिए, पर \(1+1\ne5\), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity would require ((1,1)), but \(1+1\ne5\), so it is absent.
Step 3
Exam Tip
सममित होना संक्रमणीय होने की गारंटी नहीं देता। / Symmetry does not guarantee transitivity.
यदि \(a^3\le b^3\) और \(b^3\le c^3\), तो असमानता की श्रृंखला से \(a^3\le c^3\) मिलता है। / If \(a^3\le b^3\) and \(b^3\le c^3\), the inequality chain gives \(a^3\le c^3\).
Step 2
Why this answer is correct
यही (aRc) की शर्त है, इसलिए संबंध संक्रमणीय है। / This is exactly the condition for (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
घात वाली शर्त में पहले उसी घात पर असमानता की श्रृंखला देखें। / For power-based conditions, first check the inequality chain on that power.
A. \(R\cap S\) संक्रमणीय होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) के संक्रमणीय होने से ((a,c)) दोनों में होगा, इसलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since (R) and (S) are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद के प्रश्न में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ लगाएं। / For intersection questions, apply both relation conditions together.
A. यह हमेशा संक्रमणीय नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संघ में युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं। / In a union, pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग से संक्रमणीय हैं, पर \(R\cup S\) में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R\cup S\) lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से श्रृंखला जांचें। / Always test chains separately for union.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलते हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं बनती। / If ((a,a)) and ((a,a)) are combined, the required ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को संक्रमणीयता का मूल उदाहरण याद रखें। / Remember the identity relation as a basic example of transitivity.
C. क्योंकि ((3,2)) और ((2,3)) हैं पर ((3,3)) नहीं है/Because ((3,2)) and ((2,3)) are present but ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
\((3,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) को जोड़ सकते हैं। / \((3,2)\in R\) and \((2,3)\in R\) can be chained.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए \((3,3)\in R\) चाहिए, पर यह सूची में नहीं है। / Transitivity requires \((3,3)\in R\), but it is not listed.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्पों में अक्सर ऐसा युग्म गायब बताया जाता है जो वास्तव में मौजूद होता है। / Wrong options often claim a pair is missing even though it is actually present.
संभव श्रृंखलाएं ((1,2)) से शुरू होकर ((2,4)) या ((2,2)) से जुड़ती हैं। / Possible chains from ((1,2)) connect with ((2,4)) or ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए ((1,4)) और ((1,2)) चाहिए, दोनों मौजूद हैं। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। / These require ((1,4)) and ((1,2)), both present. ((2,4)) with ((4,4)) requires ((2,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
सूची वाले प्रश्न में सभी जुड़ने वाली श्रृंखलाओं को व्यवस्थित रूप से देखें। / In list-based questions, check all connectable chains systematically.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है और (b) तथा (c) का शेषफल समान है, तो तीनों का शेषफल समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then all three have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) और (c) भी समान शेषफल देंगे, यानी \((a,c)\in R\)। / So (a) and (c) also have the same remainder, meaning \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल के वर्ग बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं। / Such relations can be checked quickly by forming remainder classes.
A. \(a\mid b\), इसलिए यह संक्रमणीय है/\(a\mid b\), so it is transitive
Step 1
Concept
यदि (\gcd(a,b)=a), तो (a), (b) को विभाजित करता है। / If (\gcd(a,b)=a), then (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
भाज्यता संबंध संक्रमणीय होता है, क्योंकि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। / Divisibility is transitive because \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न को पहले भाज्यता में बदलें। / Convert greatest common divisor conditions into divisibility before testing.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। दोनों मौजूद हैं। / ((1,2)) with ((2,3)) requires ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)). Both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((1,3)) with ((3,4)) requires ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
गायब अपने-अपने युग्म तभी समस्या हैं जब वे किसी श्रृंखला से अनिवार्य बनें। / Missing self-pairs matter only when forced by a chain.
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है। / ((1,2)) and ((2,4)) also require ((1,4)), and it is missing.
Step 3
Exam Tip
जब एक ही गायब युग्म कई श्रृंखलाओं से आए, तो वह निश्चित रूप से जरूरी होता है। / If the same missing pair is forced by multiple chains, it is definitely needed.
A. नहीं, उदाहरण (a=5,b=3,c=1) से शर्त टूटती है/No, the example (a=5,b=3,c=1) breaks the condition
Step 1
Concept
जांचें कि \(5\le3+2\) और \(3\le1+2\) दोनों सत्य हैं। / Check that \(5\le3+2\) and \(3\le1+2\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(5\le1+2\) असत्य है, इसलिए ((5,1)) संबंध में नहीं होगा। / But \(5\le1+2\) is false, so ((5,1)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
बदली हुई असमानता में केवल \(\le\) देखकर निर्णय न लें, प्रतिउदाहरण खोजें। / For modified inequalities, do not decide only by seeing \(\le\); look for a counterexample.
A. \(R^{-1}\) हमेशा संक्रमणीय होता है/\(R^{-1}\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R^{-1}\) और \((b,c)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\) और \((c,b)\in R\)। / If \((a,b)\in R^{-1}\) and \((b,c)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\) and \((c,b)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) संक्रमणीय है, इसलिए \((c,a)\in R\), अतः \((a,c)\in R^{-1}\)। / Since (R) is transitive, \((c,a)\in R\), so \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमणीयता बनी रहती है। / In the inverse relation, order reverses, but transitivity is preserved.
\((1,3)\in R\) क्योंकि \(1\le3\) और (3-1=2)। \((3,5)\in R\) भी है। / \((1,3)\in R\) because \(1\le3\) and (3-1=2). Also \((3,5)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए \((1,5)\in R\) चाहिए, पर (5-1=4), जो (2) से अधिक है। / Transitivity requires \((1,5)\in R\), but (5-1=4), which is greater than (2).
Step 3
Exam Tip
दूरी की ऊपरी सीमा वाली शर्तों में दो वैध कदम मिलकर अमान्य हो सकते हैं। / With upper distance limits, two valid steps may combine into an invalid one.
यदि (a) और (b) एक ही कक्षा में हैं तथा (b) और (c) भी एक ही कक्षा में हैं, तो (a) और (c) भी उसी कक्षा में होंगे। / If (a) and (b) are in the same class, and (b) and (c) are also in the same class, then (a) and (c) are in that same class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा और संक्रमणीयता पूरी होगी। / So ((a,c)) belongs to the relation, and transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
समान समूह वाले संबंध अक्सर समतुल्यता संबंध बनते हैं। / Same-group relations often form equivalence relations.
(a=b) की स्थिति भी (a-b=0) देती है, और (0) (5) से विभाज्य है। इसलिए शर्त समान शेषफल वाली बन जाती है। / The case (a=b) gives (a-b=0), and (0) is divisible by (5), so the relation is a same-remainder type condition.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
बराबरी वाली अलग शर्त को भी अंतर वाली शर्त में मिलाकर देखें। / Try to merge equality conditions with difference conditions when possible.
