A. क्योंकि \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है/Because \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\)
Step 1
Concept
For transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a\le b\) and \(b\le c\) directly imply \(a\le c\).
Step 3
Exam Tip
In exams, check inequality relations by forming a chain. चरण 1: संक्रमणीयता में यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) हों तो \((a,c)\in R\) होना चाहिए। चरण 2: यहां \(a\le b\) और \(b\le c\) से सीधे \(a\le c\) मिलता है। चरण 3: परीक्षा में असमानता वाले संबंधों में पहले क्रम की श्रृंखला बनाकर जांचें।
(1+2) is odd, so \((1,2)\in R\). Also (2+3) is odd, so \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require \((1,3)\in R\), but (1+3) is even.
Step 3
Exam Tip
In parity-based relations, one clear counterexample can decide the result. चरण 1: (1+2) विषम है, इसलिए \((1,2)\in R\)। इसी तरह (2+3) विषम है, इसलिए \((2,3)\in R\)। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए \((1,3)\in R\) चाहिए, पर (1+3) सम है। चरण 3: सम-विषमता वाले संबंधों में एक छोटा प्रतिउदाहरण जल्दी निष्कर्ष देता है।
Check only pairs where the second element of one pair becomes the first element of another.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present. ((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), also present.
Step 3
Exam Tip
Do not treat missing irrelevant pairs as failure of transitivity. चरण 1: केवल ऐसे युग्म देखें जहां पहले युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म का पहला तत्व बने। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो दिया है। ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) भी दिया है। चरण 3: अनावश्यक युग्मों की कमी को संक्रमणीयता की कमी न मानें।
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Same-remainder relations are usually transitive. चरण 1: यदि (a) और (b) का शेषफल समान है तथा (b) और (c) का शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। चरण 2: इसलिए \((a,c)\in R\) अवश्य आएगा। चरण 3: समान शेषफल वाले संबंध सामान्यतः संक्रमणीय होते हैं।
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), write (b=ak) and (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
Then (c=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility relations, use a multiplication chain to test transitivity. चरण 1: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (b=ak) और (c=bl) माना जा सकता है। चरण 2: तब (c=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\) होगा। चरण 3: भाज्यता वाले संबंध में गुणा की श्रृंखला बनाकर संक्रमणीयता जांचना आसान होता है।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present. ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present.
Step 2
Why this answer is correct
After ((3,4)), no pair starts with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
In listed relations, check only connectable chains. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 2: ((3,4)) के बाद दूसरा ऐसा युग्म नहीं है जिसका पहला तत्व (4) हो, इसलिए उससे कोई नई मांग नहीं बनती। चरण 3: सूची वाले संबंध में केवल जुड़ने वाली श्रृंखलाएं देखें।
Combining ((1,2)) and ((2,1)) requires ((1,1)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
Add only the pairs forced by actual chains. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) को मिलाने पर ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो पहले से दिया है। चरण 3: संक्रमणीय बनाने में केवल वही युग्म जोड़ें जो किसी वास्तविक श्रृंखला से जरूरी बनता है।
Identifying the first forced missing pair is very useful in transitive closure questions. चरण 1: ((2,3)) और ((3,1)) को मिलाने पर ((2,1)) चाहिए। चरण 2: यह युग्म दिए गए संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है। चरण 3: पहले गायब अनिवार्य युग्म को पहचानना संक्रमणीय समापन में बहुत उपयोगी है।
Then (a-c=(a-b)+(b-c)), and the sum of two rational numbers is rational.
Step 3
Exam Tip
In such questions, add the two differences to form the required difference. चरण 1: मानिए (a-b) और (b-c) परिमेय हैं। चरण 2: तब (a-c=(a-b)+(b-c)), और दो परिमेय संख्याओं का योग परिमेय होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंतर को जोड़कर नया अंतर बनाएं।
Then (a-c=(a-b)+(b-c)), and the sum of two integers is an integer.
Step 3
Exam Tip
For difference-based relations, adding the two differences is the simplest method. चरण 1: मानिए (a-b) और (b-c) पूर्णांक हैं। चरण 2: तब (a-c=(a-b)+(b-c)), और दो पूर्णांकों का योग पूर्णांक होता है। चरण 3: अंतर आधारित संबंध में दोनों अंतरों को जोड़ना सबसे सीधा तरीका है।
A. हाँ, क्योंकि समान सम-विषमता बनी रहती है/Yes, because same parity is preserved
Step 1
Concept
(a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
For parity relations, reason by parity classes, not by one example. चरण 1: (a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। चरण 2: (b+c) सम होने से (b) और (c) की सम-विषमता समान है, इसलिए (a) और (c) भी समान सम-विषमता के होंगे। चरण 3: सम-विषमता वाले संबंधों में उदाहरण के बजाय श्रेणी देखकर निर्णय लें।
If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Convert quotient conditions into divisibility first. चरण 1: (b/a) पूर्णांक होने का अर्थ है कि (a), (b) को विभाजित करता है। चरण 2: यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संबंध संक्रमणीय है। चरण 3: भागफल वाली शर्त को पहले भाज्यता में बदलें।
One counterexample is enough to disprove transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
\((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), but \((1,3)\notin R\) because (|1-3|=2).
Step 3
Exam Tip
In distance-based relations, two small steps may become a larger step. चरण 1: संक्रमणीयता तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। चरण 2: \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), पर \((1,3)\notin R\) क्योंकि (|1-3|=2)। चरण 3: दूरी वाले संबंधों में लगातार दो कदम अक्सर एक बड़े कदम में बदल जाते हैं।
B. नहीं, क्योंकि (1R3) और (3R1) हैं पर (1R1) नहीं है/No, because (1R3) and (3R1) hold but (1R1) does not
Step 1
Concept
(1+3=4), so (1R3), and (3+1=4), so (3R1).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (1R1), but (1+1=2) is not divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
Do not assume sum-based divisibility is always transitive. चरण 1: (1+3=4), इसलिए (1R3) है और (3+1=4), इसलिए (3R1) है। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए (1R1) चाहिए, पर (1+1=2) (4) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: योग आधारित विभाज्यता को हमेशा संक्रमणीय न मानें।
A. हाँ, क्योंकि तोड़ने वाली कोई श्रृंखला नहीं है/Yes, because there is no chain that can violate it
Step 1
Concept
Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
In the empty relation, no such pair exists, so no violation occurs.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is commonly treated as transitive by vacuous truth. चरण 1: संक्रमणीयता तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। चरण 2: रिक्त संबंध में ऐसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए कोई उल्लंघन नहीं बनता। चरण 3: रिक्त संबंध को अक्सर बिना विरोध के संक्रमणीय माना जाता है।
\((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), because the order is correct and each sum is odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \((1,3)\notin R\), because (1+3) is even.
Step 3
Exam Tip
For two-condition relations, verify both conditions on the final pair too. चरण 1: \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), क्योंकि क्रम भी सही है और योग विषम है। चरण 2: पर \((1,3)\notin R\), क्योंकि (1+3) सम है। चरण 3: दो शर्तों वाले संबंध में दोनों शर्तें अंतिम युग्म पर भी जांचें।
A universal relation contains every possible ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
So if ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also certainly present.
Step 3
Exam Tip
Treat \(A\times A\) as a safe example for transitivity. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में हर संभव क्रमित युग्म होता है। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो ((a,c)) भी जरूर होगा। चरण 3: \(A\times A\) वाले संबंध को संक्रमणीयता में सुरक्षित उदाहरण मानें।
B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
Subset information alone does not guarantee transitivity. चरण 1: \(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। चरण 2: (S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। चरण 3: उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती।
If (aRb), then (b=a+1). If (bRc), then (c=b+1=a+2).
Step 2
Why this answer is correct
For (aRc), we need (c=a+1), but here (c=a+2).
Step 3
Exam Tip
Successor-type relations usually fail transitivity after two steps. चरण 1: यदि (aRb), तो (b=a+1)। यदि (bRc), तो (c=b+1=a+2)। चरण 2: (aRc) के लिए (c=a+1) चाहिए, पर यहां (c=a+2) है। चरण 3: अगले पद वाले संबंधों में दो कदम अक्सर संक्रमणीयता तोड़ देते हैं।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Self-pairs such as ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) do not create a missing requirement because the needed pairs are already listed.
Step 3
Exam Tip
Check ordered relations like small paths. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो दिया है। चरण 2: अपने-अपने युग्म जैसे ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) कोई नई कमी नहीं बनाते, क्योंकि जरूरी युग्म पहले से सूची में हैं। चरण 3: क्रमबद्ध संबंधों को छोटे रास्ते की तरह देखकर जांचें।
A. (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/(a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
A strict inequality forms an ordered chain.
Step 2
Why this answer is correct
(a<b) and (b<c) together give (a<c), so \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
The chain method works well for both (<) and \(\le\). चरण 1: कठोर असमानता में क्रम की श्रृंखला बनती है। चरण 2: (a<b) और (b<c) मिलकर (a<c) देते हैं, इसलिए \((a,c)\in R\)। चरण 3: (<) और \(\le\) दोनों के लिए श्रृंखला विधि उपयोगी है।
This pair is not in the relation, so transitivity is not complete.
Step 3
Exam Tip
When reverse pairs appear, check the self-pairs forced by them. चरण 1: ((2,4)) और ((4,2)) को जोड़ने पर ((2,2)) चाहिए। चरण 2: यह युग्म संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता पूरी नहीं होती। चरण 3: उलटे युग्म मिलें तो उनसे बनने वाले अपने-अपने युग्म जरूर जांचें।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), and ((1,4)) with ((4,4)) requires ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
Not every missing pair is required for transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो दिया है। चरण 2: ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो दिया है; ((1,4)) और ((4,4)) से ((1,4)) चाहिए, वह भी दिया है। चरण 3: हर गायब युग्म संक्रमणीयता के लिए जरूरी नहीं होता।
The condition (a=b) or (a<b) is the same as \(a\le b\).
Step 2
Why this answer is correct
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
Sometimes recognizing the simplified condition is the key step. चरण 1: (a=b) या (a<b) को मिलाकर शर्त \(a\le b\) बनती है। चरण 2: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रमणीयता पूरी है। चरण 3: कभी-कभी दी गई शर्त को सरल रूप में पहचानना सबसे जरूरी कदम होता है।
In transitive closure, we add only the pairs needed to remove transitivity gaps.
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) is required.
Step 3
Exam Tip
Do not add arbitrary pairs; add only those forced by chains. चरण 1: संक्रमणीय समापन में संबंध को तोड़े बिना जरूरी युग्म जोड़े जाते हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं, इसलिए ((1,3)) जरूरी है। चरण 3: समापन में मन से युग्म नहीं जोड़ते, केवल श्रृंखला से बने युग्म जोड़ते हैं।
If (a-b) and (b-c) are even, then (a-c=(a-b)+(b-c)) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Also, \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\).
Step 3
Exam Tip
For two conditions, build a separate chain for each condition. चरण 1: (a-b) सम और (b-c) सम होने से (a-c=(a-b)+(b-c)) सम होगा। चरण 2: साथ ही \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलेगा। चरण 3: दो शर्तों में दोनों की अलग-अलग श्रृंखला बनाकर निर्णय लें।
Suppose (a-b) and (b-c) are both divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Then (a-c=(a-b)+(b-c)), so (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
For remainder-based relations, add the differences. चरण 1: मानिए (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 2: तब (a-c=(a-b)+(b-c)), इसलिए (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: शेषफल आधारित संबंधों में अंतरों को जोड़कर जांचें।
((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Chains involving ((3,3)) require pairs already present, and ((4,4)) also creates no gap.
Step 3
Exam Tip
Do not panic over self-pairs; they often only repeat existing requirements. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो दिया है। चरण 2: ((3,3)) के साथ जुड़े युग्म वही युग्म मांगते हैं जो पहले से मौजूद हैं; ((4,4)) भी कमी नहीं बनाता। चरण 3: अपने-अपने युग्मों को देखकर घबराएं नहीं, वे अक्सर पुराने युग्म ही दोहराते हैं।
A. नहीं, क्योंकि ((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,4)) and ((4,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
Since (a+b=5), both ((1,4)) and ((4,1)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require ((1,1)), but \(1+1\ne5\), so it is absent.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not guarantee transitivity. चरण 1: (a+b=5) से ((1,4)) और ((4,1)) दोनों संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए इनसे ((1,1)) चाहिए, पर \(1+1\ne5\), इसलिए यह संबंध में नहीं है। चरण 3: सममित होना संक्रमणीय होने की गारंटी नहीं देता।
If \(a^3\le b^3\) and \(b^3\le c^3\), the inequality chain gives \(a^3\le c^3\).
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the condition for (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
For power-based conditions, first check the inequality chain on that power. चरण 1: यदि \(a^3\le b^3\) और \(b^3\le c^3\), तो असमानता की श्रृंखला से \(a^3\le c^3\) मिलता है। चरण 2: यही (aRc) की शर्त है, इसलिए संबंध संक्रमणीय है। चरण 3: घात वाली शर्त में पहले उसी घात पर असमानता की श्रृंखला देखें।
A. \(R\cap S\) संक्रमणीय होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) and (S) are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
For intersection questions, apply both relation conditions together. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: (R) और (S) के संक्रमणीय होने से ((a,c)) दोनों में होगा, इसलिए \(R\cap S\) में भी होगा। चरण 3: प्रतिच्छेद के प्रश्न में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ लगाएं।
\(|1-2|\le1\), so \((1,2)\in R\), and \(|2-3|\le1\), so \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
But (|1-3|=2), so \((1,3)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
In bounded-distance relations, two small steps may exceed the limit. चरण 1: \(|1-2|\le1\), इसलिए \((1,2)\in R\) और \(|2-3|\le1\), इसलिए \((2,3)\in R\)। चरण 2: पर (|1-3|=2), इसलिए \((1,3)\notin R\)। चरण 3: सीमित दूरी वाले संबंधों में दो छोटे कदम मिलकर सीमा से बाहर जा सकते हैं।
A. यह हमेशा संक्रमणीय नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
In a union, pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R\cup S\) lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Always test chains separately for union. चरण 1: संघ में युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं। चरण 2: उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग से संक्रमणीय हैं, पर \(R\cup S\) में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संघ के लिए हमेशा अलग से श्रृंखला जांचें।
The identity relation contains only pairs like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,a)) and ((a,a)) are combined, the required ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
Remember the identity relation as a basic example of transitivity. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलते हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं बनती। चरण 3: पहचान संबंध को संक्रमणीयता का मूल उदाहरण याद रखें।
If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is even.
Step 3
Exam Tip
For relations with two conditions, verify both conditions separately. चरण 1: (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलेगा। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। चरण 3: दो शर्तों वाले संबंध में दोनों शर्तों को अलग-अलग जांचना चाहिए।
C. क्योंकि ((3,2)) और ((2,3)) हैं पर ((3,3)) नहीं है/Because ((3,2)) and ((2,3)) are present but ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
\((3,2)\in R\) and \((2,3)\in R\) can be chained.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \((3,3)\in R\), but it is not listed.
Step 3
Exam Tip
Wrong options often claim a pair is missing even though it is actually present. चरण 1: \((3,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) को जोड़ सकते हैं। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए \((3,3)\in R\) चाहिए, पर यह सूची में नहीं है। चरण 3: गलत विकल्पों में अक्सर ऐसा युग्म गायब बताया जाता है जो वास्तव में मौजूद होता है।
Possible chains from ((1,2)) connect with ((2,4)) or ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
These require ((1,4)) and ((1,2)), both present. ((2,4)) with ((4,4)) requires ((2,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
In list-based questions, check all connectable chains systematically. चरण 1: संभव श्रृंखलाएं ((1,2)) से शुरू होकर ((2,4)) या ((2,2)) से जुड़ती हैं। चरण 2: इनके लिए ((1,4)) और ((1,2)) चाहिए, दोनों मौजूद हैं। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। चरण 3: सूची वाले प्रश्न में सभी जुड़ने वाली श्रृंखलाओं को व्यवस्थित रूप से देखें।
(1R2) because \(2=2\cdot1\), and (2R4) because \(4=2\cdot2\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity would require (1R4), but \(4\ne2\cdot1\).
Step 3
Exam Tip
For multiplicative next-term relations, always test a two-step chain. चरण 1: (1R2) है क्योंकि \(2=2\cdot1\), और (2R4) है क्योंकि \(4=2\cdot2\)। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए (1R4) चाहिए, पर \(4\ne2\cdot1\)। चरण 3: गुणन से अगले पद वाले संबंधों में दो कदम की जांच जरूर करें।
In equality-based chains, eliminate the middle equal quantity. चरण 1: \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\) मानिए। चरण 2: तब \(a^2=c^2\), इसलिए (aRc) होगा। चरण 3: बराबरी आधारित श्रृंखला में बीच की समान मात्रा को हटाकर निष्कर्ष निकालें।
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then all three have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
So (a) and (c) also have the same remainder, meaning \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Such relations can be checked quickly by forming remainder classes. चरण 1: यदि (a) और (b) का शेषफल समान है और (b) तथा (c) का शेषफल समान है, तो तीनों का शेषफल समान होगा। चरण 2: इसलिए (a) और (c) भी समान शेषफल देंगे, यानी \((a,c)\in R\)। चरण 3: समान शेषफल के वर्ग बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं।
A. \(a\mid b\), इसलिए यह संक्रमणीय है/\(a\mid b\), so it is transitive
Step 1
Concept
If (\gcd(a,b)=a), then (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is transitive because \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
Convert greatest common divisor conditions into divisibility before testing. चरण 1: यदि (\gcd(a,b)=a), तो (a), (b) को विभाजित करता है। चरण 2: भाज्यता संबंध संक्रमणीय होता है, क्योंकि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न को पहले भाज्यता में बदलें।
((1,2)) with ((2,3)) requires ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)). Both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) with ((3,4)) requires ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
Missing self-pairs matter only when forced by a chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। दोनों मौजूद हैं। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: गायब अपने-अपने युग्म तभी समस्या हैं जब वे किसी श्रृंखला से अनिवार्य बनें।
((1,2)) and ((2,4)) also require ((1,4)), and it is missing.
Step 3
Exam Tip
If the same missing pair is forced by multiple chains, it is definitely needed. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है। चरण 3: जब एक ही गायब युग्म कई श्रृंखलाओं से आए, तो वह निश्चित रूप से जरूरी होता है।
(2<1.5+1) is true, so (2R1.5). Also (1.5<1+1) is true, so (1.5R1).
Step 2
Why this answer is correct
But (2<1+1) is false, so (2R1) does not hold.
Step 3
Exam Tip
For shifted inequalities, a numerical counterexample is very effective. चरण 1: (2<1.5+1) सत्य है, इसलिए (2R1.5)। (1.5<1+1) भी सत्य है, इसलिए (1.5R1)। चरण 2: लेकिन (2<1+1) असत्य है, इसलिए (2R1) नहीं है। चरण 3: ऐसी ढीली असमानता में संख्यात्मक प्रतिउदाहरण बहुत प्रभावी होता है।
A. नहीं, उदाहरण (a=5,b=3,c=1) से शर्त टूटती है/No, the example (a=5,b=3,c=1) breaks the condition
Step 1
Concept
Check that \(5\le3+2\) and \(3\le1+2\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
But \(5\le1+2\) is false, so ((5,1)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
For modified inequalities, do not decide only by seeing \(\le\); look for a counterexample. चरण 1: जांचें कि \(5\le3+2\) और \(3\le1+2\) दोनों सत्य हैं। चरण 2: पर \(5\le1+2\) असत्य है, इसलिए ((5,1)) संबंध में नहीं होगा। चरण 3: बदली हुई असमानता में केवल \(\le\) देखकर निर्णय न लें, प्रतिउदाहरण खोजें।
A. \(R^{-1}\) हमेशा संक्रमणीय होता है/\(R^{-1}\) is always transitive
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R^{-1}\) and \((b,c)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\) and \((c,b)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is transitive, \((c,a)\in R\), so \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
In the inverse relation, order reverses, but transitivity is preserved. चरण 1: यदि \((a,b)\in R^{-1}\) और \((b,c)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\) और \((c,b)\in R\)। चरण 2: (R) संक्रमणीय है, इसलिए \((c,a)\in R\), अतः \((a,c)\in R^{-1}\)। चरण 3: प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमणीयता बनी रहती है।
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), an ordered chain is formed.
Step 2
Why this answer is correct
This chain gives \(a\ge c\), so \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
The same chain rule applies to decreasing inequalities. चरण 1: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो क्रम की श्रृंखला बनती है। चरण 2: इस श्रृंखला से \(a\ge c\) मिलता है, इसलिए \((a,c)\in R\)। चरण 3: घटते क्रम वाली असमानता में भी वही श्रृंखला नियम लागू होता है।
\((1,3)\in R\) because \(1\le3\) and (3-1=2). Also \((3,5)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires \((1,5)\in R\), but (5-1=4), which is greater than (2).
Step 3
Exam Tip
With upper distance limits, two valid steps may combine into an invalid one. चरण 1: \((1,3)\in R\) क्योंकि \(1\le3\) और (3-1=2)। \((3,5)\in R\) भी है। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए \((1,5)\in R\) चाहिए, पर (5-1=4), जो (2) से अधिक है। चरण 3: दूरी की ऊपरी सीमा वाली शर्तों में दो वैध कदम मिलकर अमान्य हो सकते हैं।
If (a) and (b) are in the same class, and (b) and (c) are also in the same class, then (a) and (c) are in that same class.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,c)) belongs to the relation, and transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
Same-group relations often form equivalence relations. चरण 1: यदि (a) और (b) एक ही कक्षा में हैं तथा (b) और (c) भी एक ही कक्षा में हैं, तो (a) और (c) भी उसी कक्षा में होंगे। चरण 2: इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा और संक्रमणीयता पूरी होगी। चरण 3: समान समूह वाले संबंध अक्सर समतुल्यता संबंध बनते हैं।
The case (a=b) gives (a-b=0), and (0) is divisible by (5), so the relation is a same-remainder type condition.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Try to merge equality conditions with difference conditions when possible. चरण 1: (a=b) की स्थिति भी (a-b=0) देती है, और (0) (5) से विभाज्य है। इसलिए शर्त समान शेषफल वाली बन जाती है। चरण 2: यदि (a-b) और (b-c) (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: बराबरी वाली अलग शर्त को भी अंतर वाली शर्त में मिलाकर देखें।
