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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब \(a^2+a=b^2+b\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when \(a^2+a=b^2+b\). Which is the equivalence class of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-3,2})

Step 1

Concept

\(2^2+2=6\) है। / \(2^2+2=6\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+x=6\) से \(x^2+x-6=0\) मिलता है, इसलिए ((x-2)(x+3)=0)। / Solving \(x^2+x=6\) gives \(x^2+x-6=0\), so ((x-2)(x+3)=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=2) या (x=-3), अतः वर्ग ({-3,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-3), so the class is ({-3,2}).

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Question 2/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (\gcd(a,8)=\gcd(b,8))। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (\gcd(a,8)=\gcd(b,8)). Which is the equivalence class of (6)?

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Correct Answer

A. ({2,6})

Step 1

Concept

(\gcd(6,8)=2) है। / (\gcd(6,8)=2).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (\gcd(2,8)=2) और (\gcd(6,8)=2) है। / In the given set, (\gcd(2,8)=2) and (\gcd(6,8)=2).

Step 3

Exam Tip

समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same greatest common divisor form one equivalence class.

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Question 3/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (\gcd(a,8)=\gcd(b,8)) से बने संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), how many ordered pairs are in the relation defined by (\gcd(a,8)=\gcd(b,8))?

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Correct Answer

A. (22)

Step 1

Concept

वर्ग ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}) बनते हैं। / The classes are ({1,3,5,7},{2,6},{4},{8}).

Step 2

Why this answer is correct

युग्मों की संख्या \(4^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(4^2+2^2+1^2+1^2\).

Step 3

Exam Tip

कुल (16+4+1+1=22) युग्म होंगे। / The total is (16+4+1+1=22).

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Question 4/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,4,5}) और ({2,3}) हैं। कौन सा युग्म (R) में अवश्य नहीं होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the classes of relation (R) are ({1,4,5}) and ({2,3}). Which pair will definitely not be in (R)?

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Correct Answer

A. ((4,2))

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के अंदर के तत्व संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation, only elements inside the same class are related.

Step 2

Why this answer is correct

(4) पहले वर्ग में है और (2) दूसरे वर्ग में है। / (4) is in the first class and (2) is in the second class.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के तत्वों का युग्म संबंध में नहीं होगा। / A pair from different classes cannot belong to the relation.

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Question 5/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (A) के (6) तत्वों पर तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (3,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?

If an equivalence relation on a (6)-element set has class sizes (3,2,1), how many pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (14)

Step 1

Concept

आकार (m) वाले तुल्यता वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

कुल युग्म \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) होंगे। / The total is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध में (14) युग्म होंगे। / Hence the relation contains (14) pairs.

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Question 6/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1,2,3) एक ही वर्ग में हों?

How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have (1,2,3) in the same class?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

(1,2,3) को एक संयुक्त समूह मान सकते हैं। / Treat (1,2,3) as one combined block.

Step 2

Why this answer is correct

अब तीन वस्तुएँ बचती हैं: ({1,2,3},4,5)। तीन वस्तुओं के विभाजन (5) होते हैं। / Then there are three objects: ({1,2,3},4,5). Three objects have (5) partitions.

Step 3

Exam Tip

साथ रहने वाले तत्वों को पहले एक वस्तु मानना गिनती को सरल करता है। / Combine elements that must stay together before counting.

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Question 7/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें ठीक तीन तुल्यता वर्ग हों?

How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have exactly three equivalence classes?

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Correct Answer

A. (25)

Step 1

Concept

यह (5) तत्वों को ठीक (3) खाली-न-होने वाले समूहों में बाँटने की गिनती है। / This is the number of ways to partition (5) elements into exactly (3) non-empty blocks.

Step 2

Why this answer is correct

आकारों के प्रकार (3,1,1) और (2,2,1) होंगे। / The block-size patterns are (3,1,1) and (2,2,1).

Step 3

Exam Tip

गिनती (10+15=25) आती है, इसलिए (25) तुल्यता संबंध हैं। / The count is (10+15=25), so there are (25) equivalence relations.

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Question 8/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) और (2) अलग-अलग वर्गों में हों?

How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) have (1) and (2) in different classes?

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Correct Answer

A. (10)

Step 1

Concept

(4) तत्वों पर कुल तुल्यता संबंध (15) होते हैं। / A (4)-element set has (15) equivalence relations.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) एक ही वर्ग में हों तो गिनती (5) है। / The number where (1) and (2) are in the same class is (5).

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों की गिनती (15-5=10) होगी। / Hence the number where they are in different classes is (15-5=10).

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Question 9/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (5) से भाग देने पर समान शेष हो। संबंध में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (5). How many pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

वर्ग ({1,6},{2},{3},{4},{5}) बनते हैं। / The classes are ({1,6},{2},{3},{4},{5}).

Step 2

Why this answer is correct

युग्मों की संख्या \(2^2+1^2+1^2+1^2+1^2\) होगी। / The pair count is \(2^2+1^2+1^2+1^2+1^2\).

Step 3

Exam Tip

कुल (4+1+1+1+1=8) युग्म मिलेंगे। / The total is (4+1+1+1+1=8).

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Question 10/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (6) और (10) दोनों से विभाज्य हो। यह किस मापांक के समान तुल्यता संबंध है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by both (6) and (10). This is the same as congruence modulo which number?

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Correct Answer

A. (30)

Step 1

Concept

अंतर (6) और (10) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / The difference must be divisible by both (6) and (10).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसी संख्या (\operatorname{lcm}(6,10)=30) से विभाज्य होगी। / Such a difference is divisible by (\operatorname{lcm}(6,10)=30).

Step 3

Exam Tip

दो मापांक शर्तों को साथ मिलाते समय लघुत्तम समापवर्त्य लें। / When two modulo conditions must hold together, use the least common multiple.

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Question 11/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (4) या (6) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (4) or by (6). Why is this relation not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. संक्रमणता टूटती हैTransitivity fails

Step 1

Concept

(0-4=-4) (4) से विभाज्य है और (4-10=-6) (6) से विभाज्य है। / (0-4=-4) is divisible by (4), and (4-10=-6) is divisible by (6).

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (0-10=-10) न (4) से और न (6) से विभाज्य है। / But (0-10=-10) is divisible by neither (4) nor (6).

Step 3

Exam Tip

इसलिए दो जुड़े युग्म होने पर तीसरा जरूरी युग्म नहीं मिलता, अतः संक्रमणता टूटती है। / Thus transitivity fails.

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Question 12/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\sin a=\sin b\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when \(\sin a=\sin b\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(\sin a=\sin a\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin a=\sin a\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sin a=\sin b\), तो \(\sin b=\sin a\), इसलिए सममितता है। / If \(\sin a=\sin b\), then \(\sin b=\sin a\), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समान फलन मान की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of function values is transitive, so this is an equivalence relation.

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Question 13/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

वास्तविक संख्याओं पर \(\sin a=\sin b\) वाले संबंध में (0) के वर्ग का सही रूप कौन सा है?

For the relation \(\sin a=\sin b\) on real numbers, which is the correct form of the class of (0)?

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Correct Answer

A. \({n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

(0) के लिए \(\sin 0=0\) है। / For (0), \(\sin 0=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin x=0\) के हल \(x=n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\sin x=0\) are \(x=n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलन वाले वर्गों में सभी समान फलन मान वाले कोण शामिल करें। / For trigonometric function classes, include all angles with the same function value.

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Question 14/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same number of prime factors counted with repetition. Which is the equivalence class of (6)?

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Correct Answer

A. ({4,6,9})

Step 1

Concept

\(6=2\cdot3\), इसलिए इसमें दो अभाज्य गुणनखंड हैं। / \(6=2\cdot3\), so it has two prime factors with repetition.

Step 2

Why this answer is correct

\(4=2^2\) और \(9=3^2\) में भी दो अभाज्य गुणनखंड हैं। / \(4=2^2\) and \(9=3^2\) also have two prime factors.

Step 3

Exam Tip

गुणनखंडों की संख्या गिनते समय पुनरावृत्ति को भी गिनना है। / Count repeated prime factors when the condition says so.

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Question 15/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के (2) से भाग देने पर शेष और (3) से भाग देने पर शेष दोनों समान हों। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder modulo (2) and also the same remainder modulo (3). Which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({5})

Step 1

Concept

दो संख्याओं के शेष (2) और (3) दोनों मापांकों पर समान होने चाहिए। / The two numbers must have the same remainders modulo (2) and modulo (3).

Step 2

Why this answer is correct

यह असल में (6) से समान शेष जैसा है। / This is the same as having the same remainder modulo (6).

Step 3

Exam Tip

दिए गए समुच्चय में (5) जैसा (6) से शेष (5) केवल (5) का है। / In the given set, only (5) has remainder (5) modulo (6).

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Question 16/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (10) से समान महत्तम समापवर्तक रखते हों। कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (10). How many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

(\gcd(a,10)) के संभावित मान (1,2,5,10) हैं। / The possible values of (\gcd(a,10)) are (1,2,5,10).

Step 2

Why this answer is correct

इन चार अलग मानों से चार अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। / These four distinct values create four equivalence classes.

Step 3

Exam Tip

समान फलन मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या देती है। / The number of distinct function values gives the number of classes.

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Question 17/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)) से बने संबंध में (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), for the relation (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)), which is the equivalence class of (8)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({2,4,6,8})

Step 1

Concept

(\gcd(8,10)=2) है। / (\gcd(8,10)=2).

Step 2

Why this answer is correct

(2,4,6,8) सभी का (10) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है। / (2,4,6,8) all have greatest common divisor (2) with (10).

Step 3

Exam Tip

समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व ही उसी वर्ग में आएँगे। / Only elements with the same greatest common divisor belong to the class.

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Question 18/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (aRb) तब है जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। (-1.2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\mathbb{R}\), (aRb) holds when \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). Which is the equivalence class of (-1.2)?

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Correct Answer

A. ([-2,-1))

Step 1

Concept

\(\lfloor -1.2\rfloor=-2\) है। / \(\lfloor -1.2\rfloor=-2\).

Step 2

Why this answer is correct

जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (-2) है, वे ([-2,-1)) में आती हैं। / Real numbers with floor value (-2) lie in ([-2,-1)).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक संख्याओं में पूर्णांक भाग निकालते समय बाएँ छोटे पूर्णांक पर ध्यान दें। / For negative numbers, be careful that the floor goes to the smaller integer.

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Question 19/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अवश्य सही है?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), (cRd), which conclusion must be true?

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Correct Answer

A. (aRd)

Step 1

Concept

(aRb) और (bRc) से संक्रमणता द्वारा (aRc) मिलता है। / From (aRb) and (bRc), transitivity gives (aRc).

Step 2

Why this answer is correct

(aRc) और (cRd) से फिर संक्रमणता द्वारा (aRd) मिलता है। / From (aRc) and (cRd), transitivity gives (aRd).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में एक श्रृंखला के सभी तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, all elements connected in a chain lie in the same class.

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Question 20/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), तो कौन सा कथन सही है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. ([a]=[b]=[c])

Step 1

Concept

तीनों वर्गों में कोई एक समान तत्व है। / The three classes share at least one common element.

Step 2

Why this answer is correct

दो तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद खाली न हो तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes have non-empty intersection, they are equal.

Step 3

Exam Tip

यही बात तीनों पर लागू होगी, इसलिए तीनों वर्ग समान हैं। / Applying this to all three classes gives ([a]=[b]=[c]).

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Question 21/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (\max(a,4)=\max(b,4))। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (\max(a,4)=\max(b,4)). Which is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({1,2,3,4})

Step 1

Concept

(\max(2,4)=4) है। / (\max(2,4)=4).

Step 2

Why this answer is correct

(1,2,3,4) सभी के लिए (\max(a,4)=4) मिलता है। / For (1,2,3,4), the value of (\max(a,4)) is (4).

Step 3

Exam Tip

समान फलन मान से बने संबंध में समान मान वाले सभी तत्व एक वर्ग बनाते हैं। / A relation based on equal function value groups all elements with the same value.

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Question 22/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (\max(a,4)=\max(b,4)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\max(a,4)=\max(b,4))?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

(\max(a,4)) के संभावित मान (4,5,6) हैं। / The possible values of (\max(a,4)) are (4,5,6).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग ({1,2,3,4},{5},{6}) बनते हैं। / The classes are ({1,2,3,4},{5},{6}).

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग फलन मानों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है। / The number of distinct function values gives the number of classes.

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Question 23/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समतल के बिंदुओं पर (P R Q) तब है जब (P) और (Q) की मूलबिंदु से दूरी समान हो। ((3,4)) के तुल्यता वर्ग में कौन सा बिंदु आएगा?

For points in the plane, (P R Q) holds when (P) and (Q) have the same distance from the origin. Which point belongs to the equivalence class of ((3,4))?

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Correct Answer

A. ((0,5))

Step 1

Concept

((3,4)) की मूलबिंदु से दूरी \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) है। / The distance of ((3,4)) from the origin is \(\sqrt{3^2+4^2}=5\).

Step 2

Why this answer is correct

((0,5)) की दूरी भी (5) है। / The point ((0,5)) also has distance (5).

Step 3

Exam Tip

समान दूरी वाले सभी बिंदु उसी तुल्यता वर्ग में आते हैं। / All points with the same distance from the origin belong to the same class.

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Question 24/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समतल के बिंदुओं पर मूलबिंदु से समान दूरी वाला संबंध किस प्रकार के तुल्यता वर्ग बनाता है?

For points in the plane, what kind of equivalence classes are formed by the relation of having the same distance from the origin?

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Correct Answer

A. मूलबिंदु केंद्र वाले वृत्तCircles centered at the origin

Step 1

Concept

मूलबिंदु से समान दूरी का अर्थ एक निश्चित त्रिज्या है। / Having the same distance from the origin means having a fixed radius.

Step 2

Why this answer is correct

निश्चित त्रिज्या वाले सभी बिंदु मूलबिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। / All points with a fixed radius form a circle centered at the origin.

Step 3

Exam Tip

ज्यामितीय संबंधों में तुल्यता वर्ग अक्सर आकृतियों के रूप में दिखते हैं। / In geometric relations, equivalence classes often appear as shapes.

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Question 25/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं और \(R\subseteq S\), तो (R) के वर्गों और (S) के वर्गों में क्या संबंध होगा?

If (R) and (S) are equivalence relations on (A) and \(R\subseteq S\), what is the relation between the classes of (R) and the classes of (S)?

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Correct Answer

A. (R) के वर्ग (S) के वर्गों से छोटे या बराबर भाग होंगेClasses of (R) are smaller or equal parts of classes of (S)

Step 1

Concept

\(R\subseteq S\) का अर्थ है कि (R) में जितने संबंध हैं वे (S) में भी हैं। / \(R\subseteq S\) means every pair related by (R) is also related by (S).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (S) अधिक तत्वों को एक साथ जोड़ सकता है। / Thus (S) may merge more elements together.

Step 3

Exam Tip

अतः (R) का प्रत्येक वर्ग (S) के किसी वर्ग के भीतर होगा। / Each (R)-class is contained in some (S)-class.

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Question 26/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4},{5,6}) हैं और (S) के वर्ग ({1,2,3,4},{5,6}) हैं। कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R) has classes ({1,2},{3,4},{5,6}), and (S) has classes ({1,2,3,4},{5,6}). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. \(R\subseteq S\)

Step 1

Concept

(S) ने (R) के दो वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) को मिलाकर बड़ा वर्ग बनाया है। / (S) merges the two (R)-classes ({1,2}) and ({3,4}) into a larger class.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (R) के अंदर के सभी युग्म (S) में मौजूद रहेंगे। / Therefore every pair inside an (R)-class remains inside an (S)-class.

Step 3

Exam Tip

अतः \(R\subseteq S\) सही है। / Hence \(R\subseteq S\).

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Question 27/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3,4}) हैं और (S) के वर्ग ({1,3},{2,4}) हैं। \(R\cap S\) के वर्ग कौन से होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) has classes ({1,2},{3,4}), and (S) has classes ({1,3},{2,4}). What are the classes of \(R\cap S\)?

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Correct Answer

A. ({1},{2},{3},{4})

Step 1

Concept

\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ होंगे जब वे दोनों संबंधों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both relations.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ कोई दो अलग तत्व दोनों विभाजनों में एक साथ नहीं हैं। / Here no two distinct elements are together in both partitions.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल एकल वर्ग बचेंगे। / Therefore all classes are singleton classes.

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Question 28/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a-b\in\mathbb{Q}\)। \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) के वर्ग में कौन सा तत्व आएगा?

On real numbers, (aRb) holds when \(a-b\in\mathbb{Q}\). Which element belongs to the class of \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

A. \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)

Step 1

Concept

(\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)-\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)=7) है। / (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}+7\)-\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)=7).

Step 2

Why this answer is correct

(7) परिमेय है, इसलिए यह उसी तुल्यता वर्ग में है। / Since (7) is rational, it is in the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

परिमेय अंतर वाले संबंध में जोड़ने वाला परिमेय पद वर्ग नहीं बदलता। / Adding a rational number does not change the class in a rational-difference relation.

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Question 29/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}\) धनात्मक परिमेय हो। \(-2\sqrt{5}\) के वर्ग में कौन सा तत्व है?

On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}\) is a positive rational number. Which element is in the class of \(-2\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. \(-6\sqrt{5}\)

Step 1

Concept

\(\frac{-6\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}=3\) है। / \(\frac{-6\sqrt{5}}{-2\sqrt{5}}=3\).

Step 2

Why this answer is correct

(3) धनात्मक परिमेय है, इसलिए \(-6\sqrt{5}\) उसी वर्ग में है। / (3) is a positive rational number, so \(-6\sqrt{5}\) is in the same class.

Step 3

Exam Tip

यहाँ अनुपात का धनात्मक परिमेय होना जरूरी है, केवल समान मूल चिह्न पर्याप्त नहीं। / Here the ratio must be positive rational, not just similar-looking.

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Question 30/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^3\equiv b^3 \pmod{7}\)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों है?

On integers, (aRb) holds when \(a^3\equiv b^3 \pmod{7}\). Why is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि यह \(a^3\) के समान शेष पर आधारित हैBecause it is based on the same remainder of \(a^3\)

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / For every (a), \(a^3\equiv a^3 \pmod{7}\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

समान शेष की बराबरी उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of remainders is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान शेष की बराबरी संक्रमण भी होती है, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / Equality of remainders is transitive, so the relation is an equivalence relation.

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Question 31/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\). Which is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({2,3,7,8})

Step 1

Concept

\(2^2=4\), इसलिए वर्ग में वे तत्व आएँगे जिनके वर्ग का शेष (4) हो। / \(2^2=4\), so the class contains elements whose square has remainder (4) modulo (5).

Step 2

Why this answer is correct

(2,3,7,8) के वर्ग (5) से भाग देने पर शेष (4) देते हैं। / (2,3,7,8) have square remainder (4) modulo (5).

Step 3

Exam Tip

वर्गीय शेष की तुलना करते समय संख्या नहीं, उसके वर्ग का शेष देखें। / Compare square remainders, not the numbers themselves.

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Question 32/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), how many equivalence classes are formed by \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

दिए गए तत्वों के वर्गीय शेष (0,1,4) ही मिलते हैं। / The square remainders that appear are only (0,1,4).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग ({5},{1,4,6},{2,3,7,8}) बनते हैं। / The classes are ({5},{1,4,6},{2,3,7,8}).

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग वर्गीय शेषों की संख्या ही तुल्यता वर्गों की संख्या है। / The number of distinct square remainders gives the number of classes.

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Question 33/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(S=\{1,2,3,4,5\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (A R B) तब है जब (|A|=|B|)। (3) तत्वों वाले किसी उपसमुच्चय के तुल्यता वर्ग में कितने सदस्य होंगे?

On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3,4,5\}\), (A R B) holds when (|A|=|B|). How many members are in the equivalence class of a (3)-element subset?

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Correct Answer

A. (10)

Step 1

Concept

समान आकार वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। / Subsets with the same size belong to the same class.

Step 2

Why this answer is correct

(5) तत्वों वाले समुच्चय के (3) तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। / The number of (3)-element subsets of a (5)-element set is \(\binom{5}{3}=10\).

Step 3

Exam Tip

उपसमुच्चय संबंधों में संयोजन का प्रयोग करें। / Use combinations in subset-cardinality questions.

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Question 34/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (A R B) तब है जब \(|A\cap{1,2}|=|B\cap{1,2}|\)। ({1,3}) का तुल्यता वर्ग कितना बड़ा है?

On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3,4\}\), (A R B) holds when \(|A\cap{1,2}|=|B\cap{1,2}|\). What is the size of the equivalence class of ({1,3})?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

\({1,3}\cap{1,2}={1}\), इसलिए संख्या (1) है। / \({1,3}\cap{1,2}={1}\), so the count is (1).

Step 2

Why this answer is correct

({1,2}) से ठीक एक तत्व चुनने के (2) तरीके हैं और ({3,4}) से कोई भी उपसमुच्चय चुनने के (4) तरीके हैं। / Choose exactly one element from ({1,2}) in (2) ways and any subset of ({3,4}) in (4) ways.

Step 3

Exam Tip

कुल \(2\cdot4=8\) उपसमुच्चय होंगे। / The class size is \(2\cdot4=8\).

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Question 35/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म हैं और ((1,2),(2,1),(2,4),(4,2)) हैं। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) contains all diagonal pairs and ((1,2),(2,1),(2,4),(4,2)). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((1,4),(4,1))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,4)) होने से संक्रमणता के लिए ((1,4)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,4)), transitivity requires ((1,4)).

Step 2

Why this answer is correct

सममितता बनाए रखने के लिए ((4,1)) भी चाहिए। / Symmetry then requires ((4,1)).

Step 3

Exam Tip

तब (1,2,4) एक पूरा तुल्यता वर्ग बन जाएगा। / Then (1,2,4) become one complete equivalence class.

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Question 36/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), let \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\). Which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) का उल्टा ((2,1)) और ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)).

Step 3

Exam Tip

वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) पूरे हैं, इसलिए संक्रमणता भी पूरी है। / The classes ({1,2}) and ({3,4}) are complete, so transitivity holds.

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Question 37/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और ([a]) में ठीक (4) तत्व हैं, तो ([a]) के भीतर (R) से कितने क्रमित युग्म मिलेंगे?

If (R) is an equivalence relation on (A) and ([a]) has exactly (4) elements, how many ordered pairs of (R) come from inside ([a])?

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Correct Answer

A. (16)

Step 1

Concept

एक तुल्यता वर्ग के अंदर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Inside one equivalence class, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

(4) तत्वों वाले वर्ग से \(4^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class with (4) elements contributes \(4^2\) ordered pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए इस वर्ग से (16) युग्म मिलेंगे। / Hence this class contributes (16) pairs.

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Question 38/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \(a\in[b]\), \(b\in[c]\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and \(a\in[b]\), \(b\in[c]\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. ([a]=[b]=[c])

Step 1

Concept

\(a\in[b]\) से (a) और (b) संबंधित हैं, इसलिए ([a]=[b])। / \(a\in[b]\) means (a) is related to (b), so ([a]=[b]).

Step 2

Why this answer is correct

\(b\in[c]\) से ([b]=[c])। / \(b\in[c]\) gives ([b]=[c]).

Step 3

Exam Tip

इसलिए तीनों तुल्यता वर्ग समान होंगे। / Therefore all three equivalence classes are equal.

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Question 39/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) के गुणज होने की स्थिति और (4) के गुणज होने की स्थिति में समान हों। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same status of being a multiple of (2) and the same status of being a multiple of (4). Which is the equivalence class of (6)?

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Correct Answer

A. ({2,6})

Step 1

Concept

(6) (2) का गुणज है, लेकिन (4) का गुणज नहीं है। / (6) is a multiple of (2), but not a multiple of (4).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (2) भी यही स्थिति रखता है। / In the given set, (2) has the same status.

Step 3

Exam Tip

दोहरी स्थिति मिलाने पर (6) का वर्ग ({2,6}) होगा। / Matching both statuses gives the class ({2,6}).

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Question 40/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\), और (aSb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{5}\)। \(R\cap S\) में (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\), and (aSb) holds when \(a\equiv b \pmod{5}\). In \(R\cap S\), which is the equivalence class of (7)?

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Correct Answer

A. \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 7 \pmod{15}}\)

Step 1

Concept

\(R\cap S\) में (3) और (5) दोनों मापांकों पर समान शेष चाहिए। / In \(R\cap S\), numbers must have the same remainder modulo (3) and modulo (5).

Step 2

Why this answer is correct

क्योंकि (3) और (5) परस्पर अभाज्य हैं, यह (15) से समान शेष जैसा है। / Since (3) and (5) are coprime, this is the same as congruence modulo (15).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (7) का वर्ग (15) मापांक में (7) शेष वाले पूर्णांकों का है। / Hence the class of (7) is the integers congruent to (7) modulo (15).

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Question 41/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (A) में (7) तत्व हैं। (R) में (19) क्रमित युग्म हैं। कौन सा वर्ग-आकार संभव है?

If (R) is an equivalence relation on a (7)-element set and (R) has (19) ordered pairs. Which class-size pattern is possible?

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Correct Answer

A. (3,3,1)

Step 1

Concept

वर्ग-आकारों के वर्गों का योग युग्मों की संख्या देता है। / The sum of squares of class sizes gives the number of ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

\(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\) है। / \(3^2+3^2+1^2=9+9+1=19\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (3,3,1) संभव वर्ग-आकार हैं। / Therefore (3,3,1) is a possible class-size pattern.

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Question 42/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (A) में (5) तत्व हैं और (R) ऐसा तुल्यता संबंध है जिसमें (13) युग्म हैं, तो वर्गों के आकार क्या हो सकते हैं?

If (A) has (5) elements and (R) is an equivalence relation with (13) pairs, what can be the class sizes?

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Correct Answer

A. (3,2)

Step 1

Concept

वर्ग-आकारों का योग (5) होना चाहिए और उनके वर्गों का योग (13) होना चाहिए। / The class sizes must add to (5), and their squares must add to (13).

Step 2

Why this answer is correct

(3+2=5) और \(3^2+2^2=9+4=13\)। / (3+2=5) and \(3^2+2^2=9+4=13\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग-आकार (3,2) हो सकते हैं। / Thus the class sizes can be (3,2).

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Question 43/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (7) से भाग देने पर समान शेष हो। यह संबंध कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (7). What is this relation?

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Correct Answer

A. पहचान संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

(1,2,3,4,5,6) सभी का (7) से भाग देने पर अलग-अलग शेष है। / The numbers (1,2,3,4,5,6) have distinct remainders modulo (7).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए कोई दो अलग तत्व संबंधित नहीं होंगे। / So no two different elements are related.

Step 3

Exam Tip

केवल ((a,a)) युग्म बचेंगे, इसलिए यह पहचान संबंध है। / Only the pairs ((a,a)) remain, making it the identity relation.

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Question 44/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) (6) से विभाज्य हो या (a=b)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (6) or (a=b). Why is this an equivalence relation?

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Correct Answer

A. इसके वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) बनते हैंIts classes are ({1,5},{2,4},{3})

Step 1

Concept

(a=b) से सभी विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) (6) से विभाज्य होने पर (1) और (5), (2) और (4) जुड़ते हैं। / Divisibility of (a+b) by (6) links (1) with (5), and (2) with (4).

Step 3

Exam Tip

ये पूरे अलग-अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / These form complete separate classes, so the relation is an equivalence relation.

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Question 45/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) एक तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq B\subseteq A\), फिर भी (B) कोई तुल्यता वर्ग नहीं है। कौन सा कारण संभव है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\subseteq B\subseteq A\), but (B) is not an equivalence class. Which reason is possible?

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Correct Answer

A. (B) में एक से अधिक अलग तुल्यता वर्गों के तत्व हैं(B) contains elements from more than one distinct equivalence class

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग पूरा समूह होता है, उसका मनचाहा बड़ा उपसमुच्चय जरूरी नहीं कि वर्ग हो। / An equivalence class is a complete block, not any larger chosen subset.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (B) में ([a]) के साथ दूसरे वर्ग के कुछ तत्व भी हैं, तो (B) एक वर्ग नहीं रहेगा। / If (B) contains ([a]) plus elements from another class, it is not a single class.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्गों को काटकर या जोड़कर नया वर्ग नहीं बनाया जा सकता। / You cannot cut or arbitrarily combine classes to make a new class.

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Question 46/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में ((6,1)), ((5,3)) और कौन सा युग्म अवश्य होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,2,6},{3,5},{4}). Along with ((6,1)) and ((5,3)), which pair must be in (R)?

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Correct Answer

A. ((2,6))

Step 1

Concept

एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements of the same equivalence class are related to one another.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (6) दोनों ({1,2,6}) में हैं। / (2) and (6) both lie in ({1,2,6}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((2,6)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((2,6)) must belong to the relation.

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Question 47/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) सम है और (aSc) तब है जब (a-c) (3) से विभाज्य है। \(R\cap S\) में कितने तुल्यता वर्ग होंगे?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is even, and (aSc) holds when (a-c) is divisible by (3). How many equivalence classes are there in \(R\cap S\)?

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Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

प्रतिच्छेद में अंतर (2) और (3) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / In the intersection, the difference must be divisible by both (2) and (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए अंतर (\operatorname{lcm}(2,3)=6) से विभाज्य होगा। / Hence the difference is divisible by (\operatorname{lcm}(2,3)=6).

Step 3

Exam Tip

मापांक (6) के अनुसार पूर्णांकों के (6) तुल्यता वर्ग बनते हैं। / Congruence modulo (6) has (6) equivalence classes on integers.

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Question 48/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब \(|a-b|\leq 1\)। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when \(|a-b|\leq 1\). Why is it not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. संक्रमणता टूटती हैTransitivity fails

Step 1

Concept

\(|1-2|\leq 1\) और \(|2-3|\leq 1\), इसलिए (1R2) और (2R3) हैं। / \(|1-2|\leq 1\) and \(|2-3|\leq 1\), so (1R2) and (2R3).

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (|1-3|=2), इसलिए (1R3) नहीं है। / But (|1-3|=2), so (1R3) is false.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है और तुल्यता संबंध नहीं बनता। / Therefore transitivity fails, so it is not an equivalence relation.

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Question 49/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से समान शेष हो। (R) का पूरक संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder modulo (3). What type of relation is the complement of (R)?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं हैNot an equivalence relation because reflexivity fails

Step 1

Concept

(R) में सभी ((a,a)) युग्म हैं क्योंकि हर संख्या का शेष स्वयं के समान है। / (R) contains every ((a,a)) because each number has the same remainder as itself.

Step 2

Why this answer is correct

पूरक संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होगा। / The complement contains no ((a,a)) pair.

Step 3

Exam Tip

स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं है। / Without reflexivity, the complement is not an equivalence relation.

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Question 50/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य होने की स्थिति और (2) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same divisibility status by (3) and the same divisibility status by (2). How many ordered pairs are in this relation?

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Correct Answer

A. (15)

Step 1

Concept

वर्ग ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), ({6}) बनते हैं। / The classes are ({1,5,7}), ({2,4}), ({3}), and ({6}).

Step 2

Why this answer is correct

युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2+1^2\) होगी। / The number of ordered pairs is \(3^2+2^2+1^2+1^2\).

Step 3

Exam Tip

कुल (9+4+1+1=15) युग्म होंगे। / The total is (9+4+1+1=15).

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Question 51/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a^2+b^2\) सम हो। इस संबंध के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a^2+b^2\) is even. What are the equivalence classes of this relation?

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Correct Answer

A. ({1,3,5},{2,4,6})

Step 1

Concept

किसी संख्या के वर्ग की सम-विषम प्रकृति उसी संख्या जैसी होती है। / The square of a number has the same parity as the number.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2+b^2\) सम तभी होगा जब (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकृति के हों। / \(a^2+b^2\) is even only when (a) and (b) have the same parity.

Step 3

Exam Tip

इसलिए विषम और सम संख्याओं के दो तुल्यता वर्ग बनते हैं। / Hence the classes are the odd and even numbers.

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Question 52/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{9}\)। (4) के तुल्यता वर्ग में कौन सा पूर्णांक अवश्य आएगा?

On integers, (aRb) holds when \(a^2\equiv b^2 \pmod{9}\). Which integer must belong to the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

\(4^2=16\), जिसका (9) से भाग देने पर शेष (7) है। / \(4^2=16\), which gives remainder (7) modulo (9).

Step 2

Why this answer is correct

\(5^2=25\), जिसका भी शेष (7) है। / \(5^2=25\), which also gives remainder (7).

Step 3

Exam Tip

वर्गीय शेष समान हो तो दोनों पूर्णांक एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Equal square remainders place the integers in the same equivalence class.

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Question 53/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (\gcd(a,9)=\gcd(b,9))। कुल कितने क्रमित युग्म संबंध में होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (\gcd(a,9)=\gcd(b,9)). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (41)

Step 1

Concept

वर्ग ({1,2,4,5,7,8}), ({3,6}) और ({9}) बनते हैं। / The classes are ({1,2,4,5,7,8}), ({3,6}), and ({9}).

Step 2

Why this answer is correct

युग्मों की संख्या \(6^2+2^2+1^2\) होगी। / The pair count is \(6^2+2^2+1^2\).

Step 3

Exam Tip

कुल (36+4+1=41) युग्म मिलते हैं। / Thus the total is (36+4+1=41).

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Question 54/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^2+2a=b^2+2b\)। (-4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) holds when \(a^2+2a=b^2+2b\). Which is the equivalence class of (-4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-4,2})

Step 1

Concept

((-4)²+2(-4)=8) है। / ((-4)²+2(-4)=8).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^2+2x=8\) से \(x^2+2x-8=0\), यानी ((x+4)(x-2)=0)। / \(x^2+2x=8\) gives \(x^2+2x-8=0\), so ((x+4)(x-2)=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=-4) या (x=2), अतः वर्ग ({-4,2}) है। / Hence (x=-4) or (x=2), so the class is ({-4,2}).

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Question 55/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (\min(a,5)=\min(b,5))। (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (\min(a,5)=\min(b,5)). Which is the equivalence class of (7)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({5,6,7,8})

Step 1

Concept

(\min(7,5)=5) है। / (\min(7,5)=5).

Step 2

Why this answer is correct

(5,6,7,8) सभी के लिए न्यूनतम मान (5) मिलता है। / For (5,6,7,8), the minimum value with (5) is (5).

Step 3

Exam Tip

समान फलन मान वाले सभी तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same function value form one equivalence class.

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Question 56/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (A) में (6) तत्व हैं और एक तुल्यता संबंध में ठीक (31) क्रमित युग्म हैं, तो वर्गों के आकार कौन से हो सकते हैं?

If (A) has (6) elements and an equivalence relation has exactly (31) ordered pairs, what can be the class sizes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (5,1)

Step 1

Concept

वर्गों के आकारों का योग (6) और उनके वर्गों का योग (31) होना चाहिए। / Class sizes must add to (6), and their squares must add to (31).

Step 2

Why this answer is correct

(5+1=6) और \(5^2+1^2=25+1=26\), इसलिए यह नहीं है; सही जांच करें। / Testing the listed patterns gives (26,20,18,) and (14).

Step 3

Exam Tip

कोई दिया विकल्प (31) नहीं देता, अतः प्रश्न में दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / None of the given options gives (31), so no listed pattern is possible.

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Question 57/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (2) और (5) दोनों से भाग देने पर समान शेष मिलें। (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainders modulo (2) and modulo (5). Which is the equivalence class of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({3})

Step 1

Concept

समान शेष (2) और (5) दोनों मापांकों पर चाहिए। / The remainders must match modulo (2) and modulo (5).

Step 2

Why this answer is correct

यह (10) से समान शेष जैसा है, और दिए समुच्चय में (3) जैसा शेष केवल (3) का है। / This is like matching remainders modulo (10), and within the set only (3) has that pair of remainders.

Step 3

Exam Tip

दो मापांकों की संयुक्त शर्त को सावधानी से मिलाएँ। / Combine both modulo conditions carefully.

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Question 58/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (8) या (12) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (8) or by (12). Why is this relation not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. संक्रमणता टूटती हैTransitivity fails

Step 1

Concept

(0R8) क्योंकि (0-8=-8) संख्या (8) से विभाज्य है। / (0R8) because (0-8=-8) is divisible by (8).

Step 2

Why this answer is correct

(8R20) क्योंकि (8-20=-12) संख्या (12) से विभाज्य है। / (8R20) because (8-20=-12) is divisible by (12).

Step 3

Exam Tip

लेकिन (0-20=-20) न (8) से न (12) से विभाज्य है, इसलिए संक्रमणता टूटती है। / But (0-20=-20) is divisible by neither (8) nor (12), so transitivity fails.

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Question 59/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर (A R B) तब है जब (|A|=|B|)। (2) तत्वों वाले उपसमुच्चय के तुल्यता वर्ग में कितने सदस्य होंगे?

On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\), (A R B) holds when (|A|=|B|). How many members are in the equivalence class of a (2)-element subset?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (15)

Step 1

Concept

समान तत्व-संख्या वाले उपसमुच्चय एक ही वर्ग में आते हैं। / Subsets with the same number of elements are in one class.

Step 2

Why this answer is correct

(6) तत्वों वाले समुच्चय से (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / The number of (2)-element subsets of a (6)-element set is \(\binom{6}{2}=15\).

Step 3

Exam Tip

उपसमुच्चय के आकार वाले संबंध में संयोजन का प्रयोग करें। / Use combinations for subset-size equivalence classes.

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Question 60/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) की (4) से विभाज्यता और (2) से विभाज्यता दोनों की स्थिति समान हो। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same divisibility status by (4) and by (2). How many equivalence classes are formed?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

वर्ग होंगे: न (2) से विभाज्य ({1,3,5,7}), (2) से विभाज्य पर (4) से नहीं ({2,6}), और (4) से विभाज्य ({4,8})। / The classes are not divisible by (2): ({1,3,5,7}), divisible by (2) but not (4): ({2,6}), and divisible by (4): ({4,8}).

Step 2

Why this answer is correct

ये तीन अलग वर्ग हैं। / These are three non-empty classes.

Step 3

Exam Tip

दो स्थितियों को मिलाकर खाली न होने वाले समूह गिनें। / Count the non-empty groups formed by the combined statuses.

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Question 61/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के वर्ग किससे मिलते हैं?

If (R) and (S) are equivalence relations on (A), the classes of \(R\cap S\) are obtained from what?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (R) और (S) के वर्गों के खाली-न-होने वाले प्रतिच्छेदों सेNon-empty intersections of classes of (R) and (S)

Step 1

Concept

\(R\cap S\) में दो तत्व तभी साथ रहेंगे जब वे (R) और (S) दोनों में साथ हों। / In \(R\cap S\), two elements stay together only if they are together in both (R) and (S).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि दोनों विभाजनों के वर्गों के प्रतिच्छेद बनने लगते हैं। / This creates intersections of blocks from the two partitions.

Step 3

Exam Tip

खाली प्रतिच्छेद छोड़कर बाकी प्रतिच्छेद नए वर्ग बनाते हैं। / The non-empty intersections become the new classes.

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Question 62/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5,6}) और (S) के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। \(R\cap S\) में कितने वर्ग होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R) has classes ({1,2,3},{4,5,6}), and (S) has classes ({1,4},{2,5},{3,6}). How many classes are in \(R\cap S\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

दोनों विभाजनों के वर्गों को काटकर देखें। / Intersect the blocks of the two partitions.

Step 2

Why this answer is correct

हर प्रतिच्छेद एक-एक तत्व देता है: ({1},{2},{3},{4},{5},{6})। / Each non-empty intersection is a singleton: ({1},{2},{3},{4},{5},{6}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\cap S\) पहचान संबंध जैसा होगा और (6) वर्ग होंगे। / Thus \(R\cap S\) has (6) classes, like the identity relation.

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Question 63/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\) और (aSb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{6}\)। \(R\cap S\) में (14) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\), and (aSb) holds when \(a\equiv b \pmod{6}\). In \(R\cap S\), what is the equivalence class of (14)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \({x\in\mathbb{Z}:x\equiv 2 \pmod{12}}\)

Step 1

Concept

प्रतिच्छेद में अंतर (4) और (6) दोनों से विभाज्य होना चाहिए। / In the intersection, the difference must be divisible by both (4) and (6).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह मापांक (12) के समान है। / This is congruence modulo (12).

Step 3

Exam Tip

(14) का (12) से शेष (2) है, अतः वर्ग \(x\equiv 2 \pmod{12}\) वाला है। / (14) has remainder (2) modulo (12), so the class is \(x\equiv 2 \pmod{12}\).

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Question 64/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म, ((1,2),(2,1),(2,5),(5,2)) हैं। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), relation (R) contains all diagonal pairs, ((1,2),(2,1),(2,5),(5,2)). Which minimum pairs must be added to make it an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,5),(5,1))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,5)) होने से संक्रमणता के लिए ((1,5)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,5)), transitivity requires ((1,5)).

Step 2

Why this answer is correct

सममितता के लिए ((5,1)) भी चाहिए। / Symmetry then requires ((5,1)).

Step 3

Exam Tip

तब (1,2,5) एक पूर्ण तुल्यता वर्ग बन जाएगा। / Then (1,2,5) become one complete equivalence class.

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Question 65/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) संख्या (7) से विभाज्य हो या (a=b)। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (7) or (a=b). What are the classes of this relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,6},{2,5},{3,4})

Step 1

Concept

(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=7) से (1) और (6), (2) और (5), (3) और (4) जुड़ते हैं। / The condition (a+b=7) links (1) with (6), (2) with (5), and (3) with (4).

Step 3

Exam Tip

ये तीन अलग पूरे वर्ग बनाते हैं। / These form three separate complete classes.

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Question 66/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (a+b) (7) से विभाज्य हो या (a=b) वाले संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for the relation where (a+b) is divisible by (7) or (a=b), how many ordered pairs are there?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (12)

Step 1

Concept

वर्ग ({1,6},{2,5},{3,4}) हैं। / The classes are ({1,6},{2,5},{3,4}).

Step 2

Why this answer is correct

प्रत्येक वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12).

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Question 67/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\cos a=\cos b\)। (0) के तुल्यता वर्ग का सही रूप कौन सा है?

On real numbers, (aRb) holds when \(\cos a=\cos b\). Which is the correct form of the equivalence class of (0)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \({2n\pi:n\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos x=1\) के हल \(x=2n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), होते हैं। / The solutions of \(\cos x=1\) are \(x=2n\pi\), where \(n\in\mathbb{Z}\).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय संबंधों में समान फलन मान वाले सभी कोण वर्ग में आते हैं। / In trigonometric relations, include all angles with the same function value.

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Question 68/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (\tau(a)=\tau(b)), जहाँ (\tau(n)) धनात्मक भाजकों की संख्या है। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), (aRb) holds when (\tau(a)=\tau(b)), where (\tau(n)) is the number of positive divisors. Which is the equivalence class of (6)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({6,8,10})

Step 1

Concept

(6) के भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए (\tau(6)=4)। / The divisors of (6) are (1,2,3,6), so (\tau(6)=4).

Step 2

Why this answer is correct

(8) और (10) के भी (4) धनात्मक भाजक हैं। / (8) and (10) also have (4) positive divisors.

Step 3

Exam Tip

समान भाजक-संख्या वाले तत्व एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Elements with the same divisor count form one equivalence class.

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Question 69/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\tau(a)=\tau(b)) से बने संबंध में कुल कितने तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), how many equivalence classes are formed by the relation (\tau(a)=\tau(b))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (4)

Step 1

Concept

भाजक-संख्या के मान (1,2,3,4) मिलते हैं। / The divisor-count values appearing are (1,2,3,4).

Step 2

Why this answer is correct

वर्ग ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), ({6,8,10}) बनते हैं। / The classes are ({1}), ({2,3,5,7}), ({4,9}), and ({6,8,10}).

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग \(\tau\) मानों की संख्या ही वर्गों की संख्या है। / The number of distinct \(\tau\)-values gives the number of classes.

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Question 70/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\subseteq [b]\cup[c]\), तथा \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\subseteq [b]\cup[c]\), with \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

\([a]\cap[b]\neq\varnothing\) होने से दो तुल्यता वर्ग समान होते हैं। / Since \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), the two equivalence classes are equal.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ([a]=[b]) तुरंत मिल जाता है। / Hence ([a]=[b]) follows directly.

Step 3

Exam Tip

संघ वाली अतिरिक्त शर्त की जरूरत नहीं, मुख्य संकेत प्रतिच्छेद है। / The union condition is extra; the key clue is the non-empty intersection.

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Question 71/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (3) से विभाज्य होने और (4) से विभाज्य होने की स्थिति में समान हों। (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same status of divisibility by (3) and by (4). Which is the equivalence class of (8)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({4,8})

Step 1

Concept

(8) (4) से विभाज्य है, लेकिन (3) से नहीं। / (8) is divisible by (4), but not by (3).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (4) भी यही स्थिति रखता है। / In the given set, (4) has the same status.

Step 3

Exam Tip

दोनों विभाज्यता स्थितियाँ समान होने पर तत्व एक ही वर्ग में होंगे। / Matching both divisibility statuses puts them in the same class.

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Question 72/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a-1|=|b-1|)। (-2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On real numbers, (aRb) holds when (|a-1|=|b-1|). Which is the equivalence class of (-2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-2,4})

Step 1

Concept

(-2) की (1) से दूरी (3) है। / The distance of (-2) from (1) is (3).

Step 2

Why this answer is correct

(1) से दूरी (3) वाले वास्तविक मान (-2) और (4) हैं। / The real numbers at distance (3) from (1) are (-2) and (4).

Step 3

Exam Tip

दूरी आधारित तुल्यता वर्ग में केंद्र से समान दूरी वाले बिंदु आते हैं। / A distance-based equivalence class contains points equally far from the center.

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Question 73/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के अंकों का योग (3) से समान शेष देता हो। (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when the digit sums of (a) and (b) give the same remainder modulo (3). Which is the equivalence class of (8)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({2,5,8})

Step 1

Concept

एक अंकीय संख्याओं में अंकों का योग वही संख्या है। / For one-digit numbers, the digit sum is the number itself.

Step 2

Why this answer is correct

(8) का (3) से शेष (2) है, और (2,5,8) का भी शेष (2) है। / (8) gives remainder (2) modulo (3), as do (2,5,8).

Step 3

Exam Tip

शर्त अंकों के योग के शेष पर आधारित है। / The condition is based on the remainder of the digit sum.

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Question 74/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो (A) पर कुल कितने तुल्यता संबंध संभव हैं?

If (A) has (5) elements, how many equivalence relations are possible on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (52)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(5) तत्वों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या (52) होती है। / A set with (5) elements has (52) partitions.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में युग्मों के बजाय विभाजन गिनने का विचार उपयोग करें। / In such counting questions, count partitions rather than pairs directly.

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Question 75/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) अकेले अपने वर्ग में हो?

How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have (1) alone in its own class?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (15)

Step 1

Concept

(1) का वर्ग ({1}) तय हो गया। / The class of (1) is fixed as ({1}).

Step 2

Why this answer is correct

बाकी चार तत्व ({2,3,4,5}) किसी भी तरह विभाजित हो सकते हैं। / The remaining four elements ({2,3,4,5}) can be partitioned freely.

Step 3

Exam Tip

चार तत्वों के विभाजन (15) हैं, इसलिए उत्तर (15) है। / Four elements have (15) partitions, so the answer is (15).

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Question 76/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) और (2) एक ही वर्ग में हों, लेकिन (3) उस वर्ग में न हो?

How many equivalence relations on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) have (1) and (2) in the same class, but (3) not in that class?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (7)

Step 1

Concept

(1) और (2) को साथ रखें और (3) को उनसे अलग रखना है। / Keep (1) and (2) together, but keep (3) out of that block.

Step 2

Why this answer is correct

(4,5) में से कोई भी (1,2) के साथ जुड़ सकता है, और बची वस्तुएँ अलग-अलग विभाजित होंगी। / Each of (4,5) may or may not join the block of (1,2), and the remaining objects are partitioned.

Step 3

Exam Tip

संभावनाएँ गिनने पर कुल (7) विभाजन मिलते हैं। / Counting these cases gives (7) partitions.

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Question 77/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) और (S) दोनों (A) पर तुल्यता संबंध हैं और \(R\subseteq S\), तो कौन सा कथन हमेशा सही है?

If (R) and (S) are equivalence relations on (A) and \(R\subseteq S\), which statement is always true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यदि (aRb), तो (aSb)If (aRb), then (aSb)

Step 1

Concept

\(R\subseteq S\) का अर्थ है (R) का हर युग्म (S) में भी है। / \(R\subseteq S\) means every pair of (R) is also in (S).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (aRb) होने पर (aSb) अवश्य होगा। / Therefore (aRb) implies (aSb).

Step 3

Exam Tip

उल्टा कथन जरूरी नहीं, क्योंकि (S) बड़ा संबंध हो सकता है। / The converse need not hold because (S) may be a larger relation.

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Question 78/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5},{6}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म नहीं होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,2,3},{4,5},{6}). How many ordered pairs are not in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (22)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में कुल \(6^2=36\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(6^2=36\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(R) में \(3^2+2^2+1^2=14\) युग्म होंगे। / (R) contains \(3^2+2^2+1^2=14\) pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (36-14=22) युग्म (R) में नहीं होंगे। / Therefore (36-14=22) pairs are not in (R).

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Question 79/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो और (aSc) तब है जब (a-c) (10) से विभाज्य हो। \(R\cap S\) किसके बराबर है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (5), and (aSc) holds when (a-c) is divisible by (10). What is \(R\cap S\) equal to?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. मापांक (10) के अनुसार समानताCongruence modulo (10)

Step 1

Concept

(10) से विभाज्य अंतर अपने-आप (5) से भी विभाज्य होता है। / A difference divisible by (10) is automatically divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए दोनों शर्तों को साथ रखने पर मजबूत शर्त (10) ही बचती है। / So requiring both conditions leaves the stronger modulo (10) condition.

Step 3

Exam Tip

अतः \(R\cap S\) मापांक (10) के संबंध के बराबर है। / Hence \(R\cap S\) is congruence modulo (10).

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Question 80/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (5) से विभाज्य हो और (aSc) तब है जब (a-c) (10) से विभाज्य हो। \(R\cup S\) किसके बराबर है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (5), and (aSc) holds when (a-c) is divisible by (10). What is \(R\cup S\) equal to?

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Correct Answer

A. मापांक (5) के अनुसार समानताCongruence modulo (5)

Step 1

Concept

(S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। / Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(S\subseteq R\)। / Thus \(S\subseteq R\).

Step 3

Exam Tip

जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध। / Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation.

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Question 81/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (9) के साथ समान महत्तम समापवर्तक रखते हैं। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same greatest common divisor with (9). Which is the equivalence class of (6)?

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Correct Answer

A. ({3,6})

Step 1

Concept

(\gcd(6,9)=3) है। / (\gcd(6,9)=3).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (\gcd(3,9)=3) और (\gcd(6,9)=3) है। / In the given set, (\gcd(3,9)=3) and (\gcd(6,9)=3).

Step 3

Exam Tip

समान महत्तम समापवर्तक वाले तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / Elements with the same greatest common divisor lie in the same class.

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Question 82/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समतल में बिंदुओं पर (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) तब है जब \(x_1+y_1=x_2+y_2\)। बिंदु ((2,-1)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

For points in the plane, (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) holds when \(x_1+y_1=x_2+y_2\). Which is the equivalence class of ((2,-1))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(x,y):x+y=1})

Step 1

Concept

((2,-1)) के निर्देशांकों का योग (1) है। / The coordinate sum of ((2,-1)) is (1).

Step 2

Why this answer is correct

संबंधित सभी बिंदुओं में (x+y=1) होना चाहिए। / All related points must satisfy (x+y=1).

Step 3

Exam Tip

समान योग वाले संबंध में तुल्यता वर्ग रेखा के रूप में मिलता है। / In a same-sum relation, the equivalence class is a line.

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Question 83/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समतल में बिंदुओं पर (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) तब है जब \(x_1-y_1=x_2-y_2\)। इस संबंध के तुल्यता वर्ग किस रूप में होंगे?

For points in the plane, (\(x_1,y_1\)R\(x_2,y_2\)) holds when \(x_1-y_1=x_2-y_2\). What form do the equivalence classes have?

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Correct Answer

A. (x-y=c) रूप की समांतर रेखाएँParallel lines of the form (x-y=c)

Step 1

Concept

संबंध में (x-y) का मान स्थिर रहता है। / The value of (x-y) stays fixed in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

(x-y=c) का आलेख एक सीधी रेखा है। / The equation (x-y=c) represents a straight line.

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग (c) के लिए ये रेखाएँ समांतर तुल्यता वर्ग बनाती हैं। / Different values of (c) give parallel equivalence classes.

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Question 84/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), तो \([a]\setminus[b]\) क्या होगा?

If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is \([a]\setminus[b]\)?

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Correct Answer

A. \(\varnothing\)

Step 1

Concept

(aRb) होने पर (a) और (b) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / If (aRb), then (a) and (b) lie in the same equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ([a]=[b]) है। / Therefore ([a]=[b]).

Step 3

Exam Tip

समान समुच्चयों का अंतर रिक्त समुच्चय होता है। / The difference of equal sets is the empty set.

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Question 85/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Equivalence classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), तो वे समान नहीं हो सकते। / If \([a]\setminus[b]\neq\varnothing\), the classes are not equal.

Step 3

Exam Tip

समान नहीं हैं, इसलिए दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection is empty.

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Question 86/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,7},{2,6},{3,5},{4}) हैं। (R) में कितने युग्म हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), relation (R) has classes ({1,7},{2,6},{3,5},{4}). How many pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. (13)

Step 1

Concept

वर्गों के आकार (2,2,2,1) हैं। / The class sizes are (2,2,2,1).

Step 2

Why this answer is correct

युग्मों की संख्या \(2^2+2^2+2^2+1^2\) होगी। / The number of pairs is \(2^2+2^2+2^2+1^2\).

Step 3

Exam Tip

कुल (4+4+4+1=13) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4+1=13).

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Question 87/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b=8) या (a=b)। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a+b=8) or (a=b). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a=b) सभी विकर्ण युग्म देता है। / The condition (a=b) gives all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=8) से (1,7), (2,6), (3,5) जुड़ते हैं और (4) अकेला रहता है। / The condition (a+b=8) links (1,7), (2,6), (3,5), while (4) remains alone.

Step 3

Exam Tip

ये अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / These form complete disjoint classes, so the relation is an equivalence relation.

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Question 88/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। \([3]\cap[10]\) क्या है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). What is \([3]\cap[10]\)?

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Correct Answer

A. ([3])

Step 1

Concept

(10-3=7), जो (7) से विभाज्य है। / (10-3=7), which is divisible by (7).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (3) और (10) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / Therefore (3) and (10) are in the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

समान वर्गों का प्रतिच्छेद वही वर्ग होता है। / The intersection of equal classes is that same class.

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Question 89/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। \([3]\cap[11]\) क्या है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). What is \([3]\cap[11]\)?

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Correct Answer

A. \(\varnothing\)

Step 1

Concept

(11-3=8), जो (7) से विभाज्य नहीं है। / (11-3=8), which is not divisible by (7).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (3) और (11) अलग तुल्यता वर्गों में हैं। / Thus (3) and (11) lie in different equivalence classes.

Step 3

Exam Tip

अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Distinct equivalence classes have empty intersection.

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Question 90/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय हो। निम्न में से कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. Which statement is correct?

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Correct Answer

A. \([\sqrt{2}]\) में \(\sqrt{2}+5\) है\([\sqrt{2}]\) contains \(\sqrt{2}+5\)

Step 1

Concept

(\(\sqrt{2}+5\)-\sqrt{2}=5) है। / (\(\sqrt{2}+5\)-\sqrt{2}=5).

Step 2

Why this answer is correct

(5) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{2}+5\) उसी वर्ग में है। / Since (5) is rational, \(\sqrt{2}+5\) lies in the same class.

Step 3

Exam Tip

परिमेय अंतर वाले संबंध में परिमेय संख्या जोड़ने से वर्ग नहीं बदलता। / Adding a rational number does not change the class in this relation.

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Question 91/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\)। यदि (aRb) और (bRc), तो संक्रमणता सिद्ध करने में कौन सा व्यंजक उपयोगी है?

On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\). If (aRb) and (bRc), which expression is useful to prove transitivity?

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Correct Answer

A. \(\frac{a}{c}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\)

Step 1

Concept

(aRb) से \(\frac{a}{b}\) परिमेय और (bRc) से \(\frac{b}{c}\) परिमेय है। / From (aRb), \(\frac{a}{b}\) is rational, and from (bRc), \(\frac{b}{c}\) is rational.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का गुणनफल \(\frac{a}{c}\) है। / Their product is \(\frac{a}{c}\).

Step 3

Exam Tip

परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है, इसलिए संक्रमणता मिलती है। / A product of rational numbers is rational, proving transitivity.

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Question 92/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (6) से भाग देने पर समान शेष मिले। (R) में कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (6). How many pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

(6) शेष-वर्ग बनते हैं और प्रत्येक वर्ग में (2) तत्व हैं। / There are (6) remainder classes, each with (2) elements.

Step 2

Why this answer is correct

प्रत्येक वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class contributes \(2^2=4\) ordered pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल \(6\cdot4=24\) युग्म होंगे। / The total number of pairs is \(6\cdot4=24\).

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Question 93/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें कोई भी दो अलग तत्व एक ही वर्ग में नहीं हैं?

If (A) has (4) elements, how many equivalence relations have no two distinct elements in the same class?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

कोई दो अलग तत्व एक ही वर्ग में नहीं हैं, इसका अर्थ हर वर्ग एकल है। / If no two distinct elements are in the same class, every class is a singleton.

Step 2

Why this answer is correct

यह केवल पहचान संबंध देता है। / This gives only the identity relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ऐसा केवल (1) तुल्यता संबंध है। / Hence there is exactly (1) such equivalence relation.

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Question 94/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें सभी तत्व एक ही वर्ग में हैं?

If (A) has (4) elements, how many equivalence relations have all elements in one class?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

सभी तत्व एक ही वर्ग में होने का अर्थ है हर तत्व हर तत्व से संबंधित है। / If all elements are in one class, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

यह केवल सार्वत्रिक संबंध देता है। / This is only the universal relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ऐसा केवल (1) तुल्यता संबंध है। / Therefore there is exactly (1) such equivalence relation.

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Question 95/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2},{3},{4,5}) हैं। (R) का पूरक संबंध कितने युग्मों का होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R) has classes ({1,2},{3},{4,5}). How many pairs are in the complement of (R)?

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Correct Answer

A. (16)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(5^2=25\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(R) में \(2^2+1^2+2^2=9\) युग्म हैं। / (R) contains \(2^2+1^2+2^2=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

पूरक में (25-9=16) युग्म होंगे। / The complement has (25-9=16) pairs.

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Question 96/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,2,3},{4,5}) हैं। (R) का पूरक तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R) has classes ({1,2,3},{4,5}). Why is the complement of (R) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं हैBecause reflexivity fails

Step 1

Concept

(R) एक तुल्यता संबंध है, इसलिए हर ((a,a)) उसमें है। / Since (R) is an equivalence relation, every ((a,a)) is in (R).

Step 2

Why this answer is correct

पूरक में कोई भी ((a,a)) नहीं बचेगा। / Therefore no ((a,a)) remains in the complement.

Step 3

Exam Tip

स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / Without reflexivity, the complement cannot be an equivalence relation.

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Question 97/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) में (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\), what is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({4})

Step 1

Concept

(1,2,3) आपस में जुड़े हुए हैं और एक वर्ग बनाते हैं। / (1,2,3) are mutually connected and form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(4) केवल ((4,4)) के रूप में स्वयं से संबंधित है। / (4) is related only to itself through ((4,4)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (4) का तुल्यता वर्ग ({4}) है। / Hence the class of (4) is ({4}).

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Question 98/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस स्थिति में \(R\cup S\), जहाँ (R) और (S) तुल्यता संबंध हैं, निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा?

In which situation is \(R\cup S\), where (R) and (S) are equivalence relations, definitely an equivalence relation?

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Correct Answer

A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\)When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)

Step 1

Concept

यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। / If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.

Step 2

Why this answer is correct

बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। / The larger relation is already an equivalence relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा। / Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case.

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Question 99/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि किसी तुल्यता संबंध में वर्गों की संख्या (2) है और समुच्चय में (7) तत्व हैं, तो संबंध में युग्मों की न्यूनतम संख्या कितनी हो सकती है?

If an equivalence relation has (2) classes on a (7)-element set, what is the minimum possible number of pairs in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (25)

Step 1

Concept

दो वर्गों के आकारों का योग (7) होगा। / The two class sizes must add to (7).

Step 2

Why this answer is correct

वर्गों के वर्गों का योग न्यूनतम तब होता है जब आकार जितना संभव हो संतुलित हों, यानी (3) और (4)। / The sum of squares is minimized when the sizes are as balanced as possible, (3) and (4).

Step 3

Exam Tip

युग्मों की संख्या \(3^2+4^2=9+16=25\) होगी। / The number of pairs is \(3^2+4^2=25\).

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Question 100/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि किसी तुल्यता संबंध में वर्गों की संख्या (2) है और समुच्चय में (7) तत्व हैं, तो संबंध में युग्मों की अधिकतम संख्या कितनी हो सकती है?

If an equivalence relation has (2) classes on a (7)-element set, what is the maximum possible number of pairs in the relation?

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Correct Answer

A. (37)

Step 1

Concept

दो गैर-रिक्त वर्गों के आकारों का योग (7) है। / The two non-empty class sizes must add to (7).

Step 2

Why this answer is correct

वर्गों के वर्गों का योग अधिकतम तब होगा जब आकार सबसे असंतुलित हों, यानी (6) और (1)। / The sum of squares is maximum when the sizes are most unequal, (6) and (1).

Step 3

Exam Tip

युग्मों की संख्या \(6^2+1^2=36+1=37\) होगी। / The pair count is \(6^2+1^2=37\).

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Question 101/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a-b) (3) से विभाज्य हो। इस संबंध के तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?

On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) is defined by \((a,b)\in R\) if (a-b) is divisible by (3). How many equivalence classes does this relation have?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

समान शेषफल वाले अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / Elements with the same remainder modulo (3) belong to one class.

Step 2

Why this answer is correct

(3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) ही संभव हैं, इसलिए तीन वर्ग बनते हैं। / The possible remainders are (0,1,2), so there are three classes.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में शेषफलों को अलग-अलग समूहों में लिखें। / In exams, first group the elements by their remainders.

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Question 102/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

\(यदि (R={(a,b):a+b\) is even}) संबंध पूर्णांकों के समुच्चय पर परिभाषित है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

\(If (R={(a,b):a+b\) is even}) is defined on the set of integers, which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

B. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

किसी भी (a) के लिए (a+a=2a) सम है, इसलिए संबंध स्वतुल्य है। / For every (a), (a+a=2a) is even, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a+b) सम है तो (b+a) भी सम है और समान समता से संक्रामकता भी मिलती है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, and parity also gives transitivity.

Step 3

Exam Tip

सम और विषम के समूह बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं। / For such questions, separate even and odd integers first.

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Question 103/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) दिया है। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) is given. What is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

B. ({1,2})

Step 1

Concept

(1) के साथ जुड़े सभी अवयव देखें। / Look for all elements related to (1).

Step 2

Why this answer is correct

(R) में ((1,1)) और ((1,2)) हैं, इसलिए (1) का वर्ग ({1,2}) है। / Since ((1,1)) and ((1,2)) are in (R), the class of (1) is ({1,2}).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले दिए गए युग्मों में पहला अवयव तय करके देखें। / In exams, fix the first element and list all related second elements.

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Question 104/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

C. संक्रामकता नहीं हैTransitivity fails

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए तीनों ((a,a)) मौजूद हैं। / Reflexivity holds because all three ((a,a)) pairs are present.

Step 2

Why this answer is correct

सममिति के लिए दिए गए उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / Symmetry also holds for the given non-diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, transitivity fails.

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Question 105/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((x,y)\in R\) तभी जब \(x-y\in \mathbb{Z}\)। इस संबंध का सही वर्णन क्या है?

On real numbers, relation (R) is defined by \((x,y)\in R\) if \(x-y\in \mathbb{Z}\). Which description is correct?

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Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

\(x-x=0\in \mathbb{Z}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(x-x=0\in \mathbb{Z}\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(x-y\in \mathbb{Z}\), तो \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), इसलिए सममिति है। / If \(x-y\in \mathbb{Z}\), then \(y-x=-(x-y)\in \mathbb{Z}\), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

पूर्णांकों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता मिलती है। / The sum of integers is an integer, so transitivity holds.

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Question 106/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({1,5})

Step 1

Concept

(5) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (5) leaves remainder (1) when divided by (4).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में वही अवयव लें जिनका शेषफल (1) है, यानी (1) और (5)। / In (A), elements with the same remainder are (1) and (5).

Step 3

Exam Tip

मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल सबसे तेज तरीका है। / For modulo relations, use remainders as the fastest method.

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Question 107/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq \varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A) and \([a]\cap[b]\neq \varnothing\), which conclusion is definitely true?

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Correct Answer

B. ([a]=[b])

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में तुल्यता वर्ग या तो अलग-अलग होते हैं या बिल्कुल समान। / In an equivalence relation, two equivalence classes are either disjoint or identical.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो वर्गों में कोई साझा अवयव है, तो वे एक ही वर्ग बन जाते हैं। / If they have a common element, they must be the same class.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में साझा अवयव दिखते ही वर्गों की समानता याद रखें। / In exams, a non-empty intersection of classes directly implies equality.

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Question 108/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का विभाजन ({{1,3,5},{2,4}}) दिया है। इससे बनने वाले तुल्यता संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

A partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\) is ({{1,3,5},{2,4}}). How many ordered pairs will be in the equivalence relation formed by this partition?

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Correct Answer

C. (13)

Step 1

Concept

एक ही खंड के अवयव आपस में संबंधित होते हैं। / Elements inside the same block are related to each other.

Step 2

Why this answer is correct

({1,3,5}) से \(3^2=9\) युग्म और ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The block ({1,3,5}) gives \(3^2=9\) pairs and ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्मों के लिए खंडों के आकारों के वर्ग जोड़ें। / Add the squares of block sizes to get the total pairs.

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Question 109/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,4}) और ({2,3}) हैं। नीचे दिए गए में कौन सा युग्म संबंध में अवश्य होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes are ({1,4}) and ({2,3}). Which pair must belong to the relation?

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Correct Answer

B. ((4,1))

Step 1

Concept

एक वर्ग के अंदर हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / Within one equivalence class, every element is related to every element of that class.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (4) एक ही वर्ग में हैं, इसलिए ((4,1)) अवश्य होगा। / Since (1) and (4) are in the same class, ((4,1)) must be present.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के अवयवों को संबंधित मानने की गलती न करें। / Do not relate elements from different classes unless the class says so.

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Question 110/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो, जहाँ पुनरावृत्ति गिनी जाती है। यह संबंध कैसा है?

On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same number of prime factors, counted with repetition. What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या में अभाज्य गुणनखंडों की संख्या अपने समान होती है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every number has the same count of prime factors as itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

समानता की बात उलटने पर भी सही रहती है। / Equality of counts remains true when the order is reversed.

Step 3

Exam Tip

यदि दो संख्याओं की गिनती तीसरी से समान है, तो पहली और तीसरी की गिनती भी समान है। / If two counts are equal through a third number, then the first and third counts are also equal.

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Question 111/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (\gcd(a,6)=\gcd(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (\gcd(a,6)=\gcd(b,6)). What is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({2,4})

Step 1

Concept

(\gcd(4,6)=2) है। / (\gcd(4,6)=2).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में जिन अवयवों का (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है, वे (2) और (4) हैं। / In (A), the elements whose gcd with (6) is (2) are (2) and (4).

Step 3

Exam Tip

पहले दिए गए फलन जैसा मान निकालें, फिर समान मान वाले अवयव चुनें। / First compute the assigned value, then collect elements with the same value.

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Question 112/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) और (S) दोनों किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) and (S) are both equivalence relations on a set (A), which statement about \(R\cap S\) is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा तुल्यता संबंध हैIt is always an equivalence relation

Step 1

Concept

दोनों संबंधों में हर ((a,a)) होता है, इसलिए प्रतिच्छेद में भी होगा। / Both relations contain every ((a,a)), so the intersection does too.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों में सममिति और संक्रामकता होने से समान गुण प्रतिच्छेद में बचे रहते हैं। / Symmetry and transitivity are preserved in the intersection.

Step 3

Exam Tip

दो तुल्यता संबंधों का प्रतिच्छेद फिर तुल्यता संबंध होता है। / The intersection of two equivalence relations is again an equivalence relation.

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Question 113/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) if \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), तो \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), इसलिए सममिति है। / If \(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\), then \(b^2\equiv a^2 \pmod{5}\), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समरूपता की संक्रामकता से तीसरी शर्त भी पूरी होती है। / Congruence is transitive, so the third condition also holds.

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Question 114/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\) पर (xRy) तभी जब \(\frac{x}{y}>0\)। इस संबंध के कितने तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{0}\), (xRy) if \(\frac{x}{y}>0\). How many equivalence classes does this relation have?

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Correct Answer

B. दोTwo

Step 1

Concept

\(\frac{x}{y}>0\) तब होता है जब (x) और (y) का चिह्न समान हो। / \(\frac{x}{y}>0\) means (x) and (y) have the same sign.

Step 2

Why this answer is correct

सभी धनात्मक संख्याएँ एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक संख्याएँ दूसरे वर्ग में आती हैं। / All positive numbers form one class and all negative numbers form another.

Step 3

Exam Tip

चिह्न आधारित संबंधों में धनात्मक और ऋणात्मक समूह अलग करें। / For sign-based relations, split the set into positive and negative groups.

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Question 115/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल दें। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder when divided by (2). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

C. (18)

Step 1

Concept

विषम वर्ग ({1,3,5}) और सम वर्ग ({2,4,6}) बनते हैं। / The odd class is ({1,3,5}) and the even class is ({2,4,6}).

Step 2

Why this answer is correct

प्रत्येक वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (9+9=18) युग्म होंगे। / Total pairs are (9+9=18).

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Question 116/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समुच्चय (A) पर संबंध (R) स्वतुल्य और सममित है, पर संक्रामक नहीं है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष कौन सा है?

A relation (R) on a set (A) is reflexive and symmetric but not transitive. Which conclusion about (R) is correct?

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Correct Answer

B. (R) तुल्यता संबंध नहीं है(R) is not an equivalence relation

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूरी हैं। / An equivalence relation needs all three properties.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ संक्रामकता नहीं है, इसलिए एक जरूरी शर्त टूट गई। / Here transitivity is missing, so a necessary condition fails.

Step 3

Exam Tip

दो गुण सही होने पर भी तीसरा गुण अवश्य जांचें। / Even if two properties hold, always test the third one.

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Question 117/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) का एक वर्ग ({1,2,5}) है। यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो नीचे दिए गए में कौन सा युग्म (R) में नहीं हो सकता?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), one equivalence class of (R) is ({1,2,5}). If (R) is an equivalence relation, which pair cannot be in (R)?

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Correct Answer

D. ((1,3))

Step 1

Concept

({1,2,5}) के भीतर सभी युग्म संबंध में होंगे। / All pairs inside ({1,2,5}) must be in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

यदि ((1,3)) संबंध में हो, तो (3) भी उसी वर्ग में आ जाएगा। / If ((1,3)) were in the relation, then (3) would belong to the same class.

Step 3

Exam Tip

किसी वर्ग के बाहर के अवयव से संबंध जुड़ना वर्ग को बदल देता है। / A pair with an outside element changes the class, so it is not possible here.

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Question 118/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर संबंध (xRy) तभी जब (x-y) परिमेय हो। (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

On real numbers, (xRy) if (x-y) is rational. Which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

(x-x=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (x-x=0) is rational, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (x-y) परिमेय है तो (y-x) भी परिमेय है। / If (x-y) is rational, then (y-x) is also rational.

Step 3

Exam Tip

दो परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds.

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Question 119/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (2) से विभाज्य हो। (R) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (2). What are the equivalence classes of (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({1,3,5,7},{2,4,6})

Step 1

Concept

(a-b) का (2) से विभाज्य होना समान समता दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (2) means the numbers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम अवयव ({1,3,5,7}) और सम अवयव ({2,4,6}) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements form ({1,3,5,7}), and even elements form ({2,4,6}).

Step 3

Exam Tip

समता के प्रश्नों में पहले सम और विषम छांटें। / For parity relations, separate odd and even elements first.

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Question 120/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) (6) से विभाज्य हो। (0) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (6). What is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

A. \({6k:k\in\mathbb{Z}}\)

Step 1

Concept

(0) से संबंधित संख्या (b) के लिए (0-b) (6) से विभाज्य होना चाहिए। / For (b) to be related to (0), (0-b) must be divisible by (6).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि (b) (6) का गुणज है। / This means (b) is a multiple of (6).

Step 3

Exam Tip

अनंत समुच्चय में वर्ग को सामान्य रूप \({6k:k\in\mathbb{Z}}\) से लिखें। / For infinite sets, write the class in general form as \({6k:k\in\mathbb{Z}}\).

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Question 121/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

For a non-empty set (A), which statement about the universal relation \(A\times A\) is correct?

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Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

\(A\times A\) में हर संभव क्रमित युग्म होता है। / \(A\times A\) contains every possible ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए स्वतुल्यता, सममिति और संक्रामकता तीनों अपने आप पूरी होती हैं। / Therefore reflexivity, symmetry, and transitivity all hold automatically.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध को तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण मानें। / Treat the universal relation as a basic example of an equivalence relation.

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Question 122/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(\varnothing\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

For a non-empty set (A), which statement about the empty relation \(\varnothing\) is correct?

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Correct Answer

B. यह स्वतुल्य नहीं है, इसलिए तुल्यता संबंध नहीं हैIt is not reflexive, so it is not an equivalence relation

Step 1

Concept

अरिक्त (A) में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। / For non-empty (A), each ((a,a)) is required for reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं है। / The empty relation has no pair, so reflexivity fails.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध जांचते समय सबसे पहले स्वतुल्यता देखें। / When testing equivalence, check reflexivity first.

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Question 123/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने अलग-अलग तुल्यता संबंध संभव हैं जिनके ठीक दो तुल्यता वर्ग हों?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many distinct equivalence relations are possible with exactly two equivalence classes?

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Correct Answer

C. (7)

Step 1

Concept

ठीक दो तुल्यता वर्गों का अर्थ है (A) को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two equivalence classes mean splitting (A) into two non-empty blocks.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों को दो अरिक्त अनाम समूहों में बांटने के तरीके (7) हैं। / The number of ways to divide (4) elements into two unnamed non-empty blocks is (7).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंधों की गिनती विभाजनों की गिनती से जुड़ी होती है। / Counting equivalence relations is the same as counting partitions.

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Question 124/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि \(f:A\to B\) कोई फलन है और (aRb) तभी जब (f(a)=f(b)), तो (R) कैसा संबंध है?

If \(f:A\to B\) is a function and (aRb) if (f(a)=f(b)), what type of relation is (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हमेशा तुल्यता संबंधAlways an equivalence relation

Step 1

Concept

(f(a)=f(a)), इसलिए स्वतुल्यता है। / (f(a)=f(a)), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (f(a)=f(b)), तो (f(b)=f(a)), इसलिए सममिति है। / If (f(a)=f(b)), then (f(b)=f(a)), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समानता संक्रामक होती है, इसलिए संबंध हमेशा तुल्यता संबंध है। / Equality is transitive, so the relation is always an equivalence relation.

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Question 125/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (xRy) तभी जब \(x^2=y^2\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (xRy) if \(x^2=y^2\). What is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

\(2^2=4\) है। / \(2^2=4\).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। / In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).

Step 3

Exam Tip

वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें। / For square-based relations, check both positive and negative values.

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Question 126/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (|x|=|y|)। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (|x|=|y|). What type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(|x|=|x|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|x|=|x|), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (|x|=|y|), तो (|y|=|x|), इसलिए सममिति है। / If (|x|=|y|), then (|y|=|x|), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समानता की संक्रामकता से (|x|=|z|) भी मिलेगा। / By transitivity of equality, (|x|=|z|) also follows.

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Question 127/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+b) (2) से विभाज्य हो। नीचे दिए गए में कौन सा कथन सही है?

On integers, (aRb) if (a+b) is divisible by (2). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

(a+a=2a), इसलिए स्वतुल्यता है। / (a+a=2a), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) और (b+a) समान हैं, इसलिए सममिति है। / (a+b) and (b+a) are the same, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

यदि दो संख्याएँ समान समता रखती हैं, तो पहली और तीसरी भी समान समता रखती हैं। / If two pairs show the same parity, the first and third also have the same parity.

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Question 128/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\)। (R) के कौन से तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\). Which are the equivalence classes of (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1},{2,3},{4,5},{6})

Step 1

Concept

हर अवयव के लिए \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) निकालें। / Compute \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) for each element.

Step 2

Why this answer is correct

मान (0,1,2,3) क्रमशः वर्ग ({1},{2,3},{4,5},{6}) देते हैं। / The values (0,1,2,3) give the classes ({1},{2,3},{4,5},{6}).

Step 3

Exam Tip

समान मान देने वाले अवयव हमेशा एक वर्ग में आते हैं। / Elements giving the same value form one equivalence class.

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Question 129/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((a,b)\in R\), तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?

If (R) is an equivalence relation and \((a,b)\in R\), which statement is necessarily true?

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Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

\((a,b)\in R\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान तुल्यता वर्ग में हैं। / \((a,b)\in R\) means (a) and (b) are in the same equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

समान वर्ग में होने पर उनके तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं। / Elements in the same class have equal equivalence classes.

Step 3

Exam Tip

ध्यान रखें कि ([a]=[b]) से (a=b) जरूरी नहीं होता। / Remember, ([a]=[b]) does not necessarily mean (a=b).

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Question 130/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तभी जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

C. (27)

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर तीन वर्ग बनते हैं और प्रत्येक में (3) अवयव हैं। / Division by (3) gives three classes, each with (3) elements.

Step 2

Why this answer is correct

हर वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / Each class gives \(3^2=9\) ordered pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+9+9=27) होंगे। / Total pairs are (9+9+9=27).

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Question 131/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है। (R) तुल्यता संबंध है या नहीं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\). Is (R) an equivalence relation?

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Correct Answer

A. हाँ, सभी तीन गुण पूरे हैंYes, all three properties hold

Step 1

Concept

सभी ((a,a)) युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वतुल्यता है। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममिति है। / ((2,1)) is present with ((1,2)), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

({1,2}), ({3}), ({4}) वर्ग बनते हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / The classes are ({1,2}), ({3}), and ({4}), so transitivity also holds.

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Question 132/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब \(|a-b|\leq 2\)। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) if \(|a-b|\leq 2\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

C. संक्रामकता टूटती हैTransitivity fails

Step 1

Concept

(|a-a|=0), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|a-a|=0), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममिति है। / Distance is the same in both directions, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

(1R3) और (3R5), पर (1R5) नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R3) and (3R5), but (1R5) is false, so transitivity fails.

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Question 133/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब (x-y=0)। यह संबंध कौन सा है?

On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if (x-y=0). Which relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंध और समानता संबंधEquivalence relation and equality relation

Step 1

Concept

(x-y=0) का अर्थ (x=y) है। / (x-y=0) means (x=y).

Step 2

Why this answer is correct

समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होती है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

समानता संबंध तुल्यता संबंध का सबसे मूल उदाहरण है। / The equality relation is the most basic example of an equivalence relation.

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Question 134/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर किसी तुल्यता संबंध में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो (R) में कम से कम कितने युग्म होंगे?

If an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\) contains ((1,2)) and ((2,3)), what is the minimum number of pairs in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (9)

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) होने से संक्रामकता के कारण (1) और (3) भी जुड़े होंगे। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity connects (1) and (3).

Step 2

Why this answer is correct

सममिति और स्वतुल्यता से तीनों अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / With symmetry and reflexivity, all three elements are in one class.

Step 3

Exam Tip

एक तीन-अवयवी वर्ग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / One class of size (3) gives \(3^2=9\) pairs.

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Question 135/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के (3) से भाग देने पर समान शेषफल आए। ([2]) कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). What is ([2])?

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Correct Answer

A. ({2,5})

Step 1

Concept

(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (5) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) देता है। / In (A), (5) also leaves remainder (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ([2]={2,5})। / Hence ([2]={2,5}).

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Question 136/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। इस संबंध के कितने अलग-अलग तुल्यता वर्ग हैं?

On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (4). How many distinct equivalence classes does this relation have?

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Correct Answer

C. (4)

Step 1

Concept

(4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। / Division by (4) gives possible remainders (0,1,2,3).

Step 2

Why this answer is correct

हर शेषफल एक अलग तुल्यता वर्ग देता है। / Each remainder gives one equivalence class.

Step 3

Exam Tip

पूर्णांकों में मापांक (n) के लिए सामान्यतः (n) वर्ग बनते हैं। / For integers modulo (n), there are usually (n) classes.

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Question 137/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध (R) के वर्ग ({a,b}), ({c}), और ({d,e,f}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?

An equivalence relation (R) on a set (A) has classes ({a,b}), ({c}), and ({d,e,f}). How many pairs are in (R)?

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Correct Answer

C. (14)

Step 1

Concept

हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / All ordered pairs inside each class are included.

Step 2

Why this answer is correct

आकार (2,1,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\) होंगे। / The class sizes are (2,1,3), so the count is \(2^2+1^2+3^2=4+1+9\).

Step 3

Exam Tip

कुल (14) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (14).

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Question 138/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (xRy) तभी जब \(x^3=y^3\)। इस संबंध का सही निष्कर्ष क्या है?

On real numbers, (xRy) if \(x^3=y^3\). What is the correct conclusion about this relation?

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Correct Answer

A. यह समानता संबंध जैसा तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation like equality

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^3=y^3\) से (x=y) मिलता है। / For real numbers, \(x^3=y^3\) implies (x=y).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह समानता संबंध जैसा व्यवहार करता है। / So the relation behaves like equality.

Step 3

Exam Tip

समानता आधारित संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। / Equality-based relations are reflexive, symmetric, and transitive.

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Question 139/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(x-y\geq 0\)। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(x-y\geq 0\). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. सममिति नहीं हैSymmetry fails

Step 1

Concept

(x-x=0), इसलिए स्वतुल्यता है। / (x-x=0), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (3R2) सही है, तो (2R3) सही नहीं है। / (3R2) is true, but (2R3) is not true.

Step 3

Exam Tip

उल्टा युग्म हमेशा नहीं मिलता, इसलिए सममिति टूटती है। / The reverse pair does not always hold, so symmetry fails.

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Question 140/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a+b) (3) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a+b) is divisible by (3). Why is this not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. स्वतुल्यता नहीं हैReflexivity fails

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) को (3) से विभाज्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a+a) must be divisible by (3) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(1+1=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। / (1+1=2), which is not divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

एक ही प्रतिवाद से स्वतुल्यता टूट जाती है। / One counterexample is enough to break reflexivity.

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Question 141/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर एक तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,2,3,4}) ही हैं। संबंध कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), an equivalence relation has the single class ({1,2,3,4}). Which relation is it?

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Correct Answer

B. सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\)Universal relation \(A\times A\)

Step 1

Concept

एक ही तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि हर अवयव हर दूसरे अवयव से संबंधित है। / A single equivalence class means every element is related to every other element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी संभव क्रमित युग्म संबंध में होंगे। / Therefore all possible ordered pairs are present.

Step 3

Exam Tip

यह ठीक \(A\times A\) यानी सार्वत्रिक संबंध है। / This is exactly \(A\times A\), the universal relation.

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Question 142/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी तुल्यता संबंध के दो वर्ग ([a]) और ([b]) अलग-अलग हैं, तो उनके प्रतिच्छेद के बारे में सही कथन क्या है?

If two equivalence classes ([a]) and ([b]) of an equivalence relation are distinct, what is true about their intersection?

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Correct Answer

C. \([a]\cap[b]=\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बांटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता। / Distinct blocks have no common element.

Step 3

Exam Tip

इसलिए अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Therefore the intersection of distinct classes is empty.

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Question 143/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के अंकों का योग समान हो। यह संबंध कैसा है?

On natural numbers, (aRb) if (a) and (b) have the same sum of digits. What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या के अंकों का योग अपने बराबर ही होता है। / Every number has the same digit sum as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान अंकीय योग की बात उलटने पर भी सही रहती है। / Equality of digit sums remains true in reverse order.

Step 3

Exam Tip

यदि दो संख्याओं का अंकीय योग तीसरी के समान है, तो पहली और तीसरी का भी समान होगा। / If two numbers have the same digit sum as a third, then they have the same digit sum as each other.

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Question 144/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) दोनों एक ही अंतराल ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}) में हों। संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if (a) and (b) lie in the same block among ({1,2}), ({3,4,5}), ({6,7,8}). How many pairs are in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (22)

Step 1

Concept

दिए गए खंड ही तुल्यता वर्ग हैं। / The given blocks are the equivalence classes.

Step 2

Why this answer is correct

आकार (2,3,3) हैं, इसलिए युग्म \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\) होंगे। / Their sizes are (2,3,3), so the pair count is \(2^2+3^2+3^2=4+9+9\).

Step 3

Exam Tip

कुल (22) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (22).

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Question 145/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{Z}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) सम संख्या हो। ([1]) और ([2]) के बारे में सही कथन क्या है?

On \(A=\mathbb{Z}\), (aRb) if (a-b) is even. What is true about ([1]) and ([2])?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \([1]\cap[2]=\varnothing\)

Step 1

Concept

([1]) सभी विषम पूर्णांकों का वर्ग है। / ([1]) is the class of all odd integers.

Step 2

Why this answer is correct

([2]) सभी सम पूर्णांकों का वर्ग है। / ([2]) is the class of all even integers.

Step 3

Exam Tip

कोई संख्या एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / No integer is both even and odd, so the intersection is empty.

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Question 146/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर शेषफल समान हो। (R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (2). Which pair will not be in (R)?

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Correct Answer

D. ((3,4))

Step 1

Concept

समान शेषफल का अर्थ है दोनों सम हों या दोनों विषम। / Same remainder modulo (2) means both numbers are even or both are odd.

Step 2

Why this answer is correct

(3) विषम है और (4) सम है, इसलिए वे अलग वर्गों में हैं। / (3) is odd and (4) is even, so they are in different classes.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के युग्म संबंध में नहीं आते। / Pairs from different classes are not in the relation.

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Question 147/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (A) में (5) अवयव हैं और संबंध (R) समानता संबंध है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

If (A) has (5) elements and (R) is the equality relation, how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

समानता संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The equality relation contains only pairs of the form ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

(5) अवयवों के लिए ऐसे (5) युग्म बनेंगे। / With (5) elements, there are (5) such pairs.

Step 3

Exam Tip

समानता संबंध और सार्वत्रिक संबंध की गिनती अलग-अलग याद रखें। / Remember that the equality relation and universal relation have different counts.

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Question 148/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (A) में (5) अवयव हैं और संबंध \(R=A\times A\) है, तो (R) के कितने तुल्यता वर्ग होंगे?

If (A) has (5) elements and \(R=A\times A\), how many equivalence classes will (R) have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / In \(A\times A\), every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी (5) अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / Thus all (5) elements lie in one class.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध में हमेशा केवल एक तुल्यता वर्ग होता है। / The universal relation always has exactly one equivalence class.

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Question 149/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (xRy) तभी जब \(\sin x=\sin y\)। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\mathbb{R}\), (xRy) if \(\sin x=\sin y\). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(\sin x=\sin x\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\sin x=\sin x\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sin x=\sin y\), तो \(\sin y=\sin x\), इसलिए सममिति है। / If \(\sin x=\sin y\), then \(\sin y=\sin x\), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समानता की संक्रामकता से यह संबंध तुल्यता संबंध बनता है। / Transitivity of equality makes this an equivalence relation.

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Question 150/150 Hard Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,6}), ({2,3,5}), और ({4}) हैं। (R) में कौन सा युग्म अवश्य नहीं होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) has classes ({1,6}), ({2,3,5}), and ({4}). Which pair definitely will not be in (R)?

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Correct Answer

D. ((1,3))

Step 1

Concept

एक ही वर्ग के अंदर के युग्म संबंध में होते हैं। / Pairs inside the same class belong to the relation.

Step 2

Why this answer is correct

(1) वर्ग ({1,6}) में है और (3) वर्ग ({2,3,5}) में है। / (1) is in ({1,6}), while (3) is in ({2,3,5}).

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के अवयव संबंधित नहीं होते, इसलिए ((1,3)) नहीं होगा। / Elements from different classes are not related, so ((1,3)) will not be present.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Equivalence relation Hard Quiz

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब \(a^2+a=b^2+b\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब (\gcd(a,8)=\gcd(b,8))। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (\gcd(a,8)=\gcd(b,8)) से बने संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध (R) के वर्ग ({1,4,5}) और ({2,3}) हैं। कौन सा युग्म (R) में अवश्य नहीं होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) के (6) तत्वों पर तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (3,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1,2,3) एक ही वर्ग में हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें ठीक तीन तुल्यता वर्ग हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने तुल्यता संबंध ऐसे हैं जिनमें (1) और (2) अलग-अलग वर्गों में हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का (5) से भाग देने पर समान शेष हो। संबंध में कितने युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (6) और (10) दोनों से विभाज्य हो। यह किस मापांक के समान तुल्यता संबंध है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) (4) या (6) से विभाज्य हो। यह संबंध तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\sin a=\sin b\)। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर \(\sin a=\sin b\) वाले संबंध में (0) के वर्ग का सही रूप कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या समान हो। (6) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) (10) से समान महत्तम समापवर्तक रखते हों। कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) पर (\gcd(a,10)=\gcd(b,10)) से बने संबंध में (8) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (aRb) तब है जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। (-1.2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अवश्य सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\cap[c]\neq\varnothing\), तो कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip