Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Symmetric relation Medium Quiz

Concept

((1,3)) और ((3,1)) पहले से एक-दूसरे के उलटे हैं। / ((1,3)) and ((3,1)) are already reverses of each other.

Why this answer is correct

((2,4)) का उलटा ((4,2)) अनुपस्थित है। / The reverse of ((2,4)), which is ((4,2)), is missing.

Exam Tip

सममित बनाने के लिए केवल गायब उलटे युग्म को जोड़ें। / To make a relation symmetric, add only the missing reverse pair.

Concept

यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even.

Why this answer is correct

इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / Hence if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) too.

Exam Tip

जोड़ वाले नियमों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता आसानी से जाँची जाती है। / In addition-based rules, changing order does not change the sum, so symmetry is easy to test.

Concept

यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम होगा क्योंकि केवल चिह्न बदलता है। / If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd because only the sign changes.

Why this answer is correct

इसलिए हर युग्म का उलटा भी उसी नियम को पूरा करेगा। / Therefore the reverse pair also satisfies the same rule.

Exam Tip

सम या विषम होने की जाँच में ऋण चिह्न से घबराएँ नहीं। / While checking evenness or oddness, do not worry about the negative sign.

Concept

\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.

Why this answer is correct

यदि \(R^{-1}=R\), तो हर उलटा युग्म पहले से (R) में है। / If \(R^{-1}=R\), then every reverse pair already belongs to (R).

Exam Tip

प्रतिलोम बराबरी को सममितता की तेज पहचान मानें। / Treat equality with the inverse as a quick test for symmetry.

Concept

पहले दिए गए गैर-विकर्ण युग्मों के उलटे युग्म देखें। / First check the reverses of the given non-diagonal pairs.

Why this answer is correct

((3,4)) मौजूद है, लेकिन उसका उलटा ((4,3)) नहीं है। / ((3,4)) is present, but its reverse ((4,3)) is missing.

Exam Tip

सममितता टूटने के लिए एक गायब उलटा युग्म ही काफी है। / One missing reverse pair is enough to break symmetry.

Concept

\(1\le 2\) सत्य है, इसलिए \((1,2)\in R\)। / \(1\le 2\) is true, so \((1,2)\in R\).

Why this answer is correct

\(2\le 1\) असत्य है, इसलिए \((2,1)\notin R\)। / \(2\le 1\) is false, so \((2,1)\notin R\).

Exam Tip

क्रम आधारित नियमों में उलटा युग्म अलग से अवश्य जाँचें। / In order-based rules, always check the reverse pair separately.

Concept

निरपेक्ष अंतर में (|a-b|) और (|b-a|) बराबर होते हैं। / In absolute difference, (|a-b|) and (|b-a|) are equal.

Why this answer is correct

इसलिए यदि (|a-b|=2), तो (|b-a|=2) भी होगा। / So if (|a-b|=2), then (|b-a|=2) also holds.

Exam Tip

निरपेक्ष मान वाले नियम सामान्यतः सममितता के अच्छे उदाहरण होते हैं। / Absolute value rules are often good examples of symmetry.

Concept

सममितता केवल उलटे युग्म की अनिवार्यता बताती है। / Symmetry guarantees only the reverse pair.

Why this answer is correct

((5,7)) का उलटा ((7,5)) है, इसलिए वही अवश्य होगा। / The reverse of ((5,7)) is ((7,5)), so it must be present.

Exam Tip

सममितता से सभी विकर्ण युग्म अपने आप सिद्ध नहीं होते। / Symmetry does not automatically prove all diagonal pairs.

Concept

((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).

Why this answer is correct

विकर्ण युग्म ((1,1)) और ((2,2)) अपने ही उलटे हैं। / ((1,1)) and ((2,2)) are their own reverses.

Exam Tip

यदि समुच्चय में (3) है और ((3,3)) नहीं है, तब भी सममितता बनी रह सकती है; यह स्वतुल्यता का प्रश्न है। / Even if ((3,3)) is missing, symmetry may still hold; that is a reflexivity issue.

Concept

पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.

Why this answer is correct

इसमें ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी नहीं हैं, इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है। / It does not contain all ((1,1),(2,2),(3,3)), so it is not reflexive.

Exam Tip

दो गुणों वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें अलग-अलग जाँचें। / In questions with two properties, check both conditions separately.

Concept

पहले विकल्प में ((1,1)) और ((2,2)) विकर्ण युग्म हैं। / Option A has diagonal pairs ((1,1)) and ((2,2)).

Why this answer is correct

लेकिन ((1,3)) का उलटा ((3,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। / But the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing, so it is not symmetric.

Exam Tip

विकर्ण युग्म मौजूद होने से सममितता अपने आप सिद्ध नहीं होती। / Having diagonal pairs does not automatically prove symmetry.

Concept

आव्यूह की मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / Match the entries on both sides of the main diagonal.

Why this answer is correct

यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\) और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).

Exam Tip

मुख्य विकर्ण के बारे में समान आव्यूह सममित संबंध दिखाता है। / A matrix identical about the main diagonal represents a symmetric relation.

Concept

\(m_{23}=1\) का अर्थ है कि \((2,3)\in R\)। / \(m_{23}=1\) means \((2,3)\in R\).

Why this answer is correct

\(m_{32}=0\) का अर्थ है कि \((3,2)\notin R\)। / \(m_{32}=0\) means \((3,2)\notin R\).

Exam Tip

एक युग्म का उलटा न मिले तो संबंध सममित नहीं होता। / If the reverse of one pair is missing, the relation is not symmetric.

Concept

\(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).

Why this answer is correct

इसलिए किसी भी ((a,b)) का उलटा ((b,a)) भी उसी में होगा। / Therefore the reverse ((b,a)) of any ((a,b)) is also present.

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण तथ्य है। / Remember that the universal relation is an important example of a symmetric relation.

Concept

सममितता की शर्त केवल मौजूद युग्मों पर जाँची जाती है। / The condition of symmetry is checked only for pairs that are present.

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई युग्म है ही नहीं, इसलिए कोई विरोधी उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so there is no counterexample.

Exam Tip

खाली संबंध को स्वतः सममित माना जाता है। / The empty relation is treated as symmetric automatically.

Concept

\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.

Why this answer is correct

यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है, तो (b) की प्रकृति भी (a) जैसी होगी। / If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).

Exam Tip

समानता जैसे नियमों में दोनों दिशा स्वाभाविक रूप से जाँचें। / In similarity-type rules, check both directions naturally.

Concept

यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो दोनों का (3) से भाग देने पर शेष समान है। / If \(a\equiv b \pmod{3}\), both leave the same remainder when divided by (3).

Why this answer is correct

यही बात उलटकर \(b\equiv a \pmod{3}\) भी देती है। / The same fact also gives \(b\equiv a \pmod{3}\).

Exam Tip

सर्वांगसमता वाले नियम सममितता के अच्छे उदाहरण हैं। / Congruence rules are good examples of symmetry.

Concept

(2=1+1), इसलिए \((2,1)\in R\)। / (2=1+1), so \((2,1)\in R\).

Why this answer is correct

((1,2)) के लिए (1=2+1) गलत है। / For ((1,2)), (1=2+1) is false.

Exam Tip

एक दिशा वाले नियमों में सममितता अक्सर असफल होती है। / One-direction rules often fail symmetry.

Concept

यदि \(a^2=b^2\), तो बराबरी को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। / If \(a^2=b^2\), then by reversing equality, \(b^2=a^2\) is also true.

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence if ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.

Exam Tip

बराबरी पर आधारित नियमों में सममितता जाँचते समय दोनों ओर बदलकर देखें। / In equality-based rules, swap the two sides to test symmetry.

Concept

योग (5) देने वाले युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। / The pairs giving sum (5) are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).

Why this answer is correct

हर युग्म का उलटा भी सूची में है, इसलिए संबंध सममित है। / The reverse of every pair is also in the list, so the relation is symmetric.

Exam Tip

गिनती वाले प्रश्नों में पहले सभी युग्म व्यवस्थित रूप से लिखें। / In counting questions, first list all pairs systematically.

Concept

\((3,1)\in R\) क्योंकि (3-1=2)। / \((3,1)\in R\) because (3-1=2).

Why this answer is correct

\((1,3)\notin R\) क्योंकि (1-3=-2), जो (2) नहीं है। / \((1,3)\notin R\) because (1-3=-2), not (2).

Exam Tip

निश्चित अंतर वाले नियमों में उलटने पर चिह्न बदल सकता है, इसलिए सावधानी रखें। / In fixed difference rules, reversing may change the sign, so be careful.

Concept

(|a-b|) और (|b-a|) का मान हमेशा समान होता है। / (|a-b|) and (|b-a|) always have the same value.

Why this answer is correct

इसलिए \(|a-b|\le 1\) होने पर उलटा युग्म भी यही शर्त पूरी करेगा। / Therefore, if \(|a-b|\le 1\), the reverse pair also satisfies the condition.

Exam Tip

निरपेक्ष अंतर वाले असमानता नियमों में सममितता की संभावना अधिक होती है। / Absolute difference inequalities often lead to symmetric relations.

Concept

सममित संबंध में हर दिए गए युग्म का उलटा युग्म भी होता है। / In a symmetric relation, the reverse of every given pair must also exist.

Why this answer is correct

((2,5)) का उलटा ((5,2)) और ((4,6)) का उलटा ((6,4)) है। / The reverse of ((2,5)) is ((5,2)), and the reverse of ((4,6)) is ((6,4)).

Exam Tip

कई युग्मों वाले प्रश्न में प्रत्येक युग्म को अलग-अलग उलटें। / For multiple pairs, reverse each pair separately.

Concept

((1,2)) और ((2,1)) की जोड़ी पूरी है। / The pair ((1,2)) and ((2,1)) is complete.

Why this answer is correct

((1,3)) और ((3,1)) की जोड़ी भी पूरी है, केवल ((2,4)) का उलटा ((4,2)) गायब है। / The pair ((1,3)) and ((3,1)) is also complete; only the reverse ((4,2)) of ((2,4)) is missing.

Exam Tip

न्यूनतम जोड़ने में केवल गायब उलटे युग्म गिनें। / For minimum addition, count only missing reverse pairs.

Concept

प्रतिलोम संबंध में सभी युग्म उलटते हैं। / In the inverse relation, all ordered pairs are reversed.

Why this answer is correct

यहाँ हर युग्म का उलटा पहले से उसी संबंध में है। / Here the reverse of every pair is already in the same relation.

Exam Tip

जब संबंध सममित हो, तब उसका प्रतिलोम उसी के बराबर होता है। / When a relation is symmetric, its inverse is equal to itself.

Concept

\(R^{-1}=R\) तभी होगा जब संबंध सममित हो। / \(R^{-1}=R\) holds exactly when the relation is symmetric.

Why this answer is correct

पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपना ही उलटा है। / In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, and ((3,3)) is its own reverse.

Exam Tip

प्रतिलोम वाले प्रश्न को सममितता की जाँच में बदल दें। / Convert inverse questions into symmetry checks.

Concept

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता। / The greatest common divisor of two numbers does not change when the order changes.

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है, तो (b) और (a) का भी (1) होगा। / If (\gcd(a,b)=1), then (\gcd(b,a)=1) also.

Exam Tip

संख्या-गुण वाले नियम में क्रम बदलकर नियम की स्थिरता जाँचें। / In number-property rules, swap the order and see whether the rule remains unchanged.

Concept

यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो क्रम बदलने पर (b) और (a) भी दोनों सम ही रहेंगे। / If (a) and (b) are both even, then after swapping, (b) and (a) are also both even.

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Therefore, with ((a,b)), the reverse ((b,a)) also belongs to the relation.

Exam Tip

दोनों घटकों पर समान शर्त लगी हो तो सममितता ध्यान से जाँचें। / When the same condition applies to both entries, check symmetry carefully.

Concept

(1) संख्या (2) को विभाजित करती है, इसलिए \((1,2)\in R\)। / (1) divides (2), so \((1,2)\in R\).

Why this answer is correct

(2) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती, इसलिए \((2,1)\notin R\)। / (2) does not divide (1), so \((2,1)\notin R\).

Exam Tip

विभाज्यता सामान्य रूप से दिशा बदलने पर वही नहीं रहती। / Divisibility generally does not remain the same after reversing the order.

Concept

पहले विकल्प में हर गैर-विकर्ण युग्म का उलटा मौजूद है। / In option A, every non-diagonal pair has its reverse.

Why this answer is correct

इसमें सभी विकर्ण युग्म नहीं हैं, फिर भी सममितता पूरी है। / It does not contain all diagonal pairs, yet symmetry holds.

Exam Tip

सममितता और स्वतुल्यता की शर्तों को अलग रखें। / Keep the conditions of symmetry and reflexivity separate.

Concept

संक्रमणीयता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। / Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).

Why this answer is correct

यहाँ ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) मिलता है। / Here ((1,2)) and ((2,1)) give ((1,1)).

Exam Tip

गुणों के मिले-जुले प्रश्न में क्रमित युग्मों की कड़ी बनाकर सोचें। / In mixed-property questions, think by chaining ordered pairs.

Concept

\(a\ne b\) होने पर ((a,b)) का उलटा अलग युग्म ((b,a)) होता है। / When \(a\ne b\), the reverse of ((a,b)) is a different pair ((b,a)).

Why this answer is correct

सममितता के लिए यह उलटा युग्म अनिवार्य है। / This reverse pair is required for symmetry.

Exam Tip

गैर-विकर्ण युग्मों में उलटा युग्म अलग से लिखना न भूलें। / For non-diagonal pairs, do not forget to write the reverse separately.

Concept

(a<b) एक दिशा वाला नियम है।

Why this answer is correct

यदि (a<b), तो सामान्यतः (b<a) सत्य नहीं होगा। / If (a<b), then generally (b<a) is not true.

Exam Tip

क्रम पर निर्भर नियमों में सममितता अक्सर टूटती है। / Rules depending on order often break symmetry.

Concept

हर ((a,a)) का होना स्वतुल्यता की शर्त है, सममितता की नहीं। / Having every ((a,a)) is the condition of reflexivity, not symmetry.

Why this answer is correct

सममितता केवल मौजूद युग्मों के उलटे युग्म माँगती है। / Symmetry asks only for reverses of existing pairs.

Exam Tip

हमेशा सत्य और जरूरी नहीं सत्य में अंतर पहचानें। / Distinguish between always true and not necessarily true statements.

Concept

((1,2)) और ((2,1)), ((1,3)) और ((3,1)) उलटे युग्म हैं। / ((1,2)) and ((2,1)), as well as ((1,3)) and ((3,1)), are reverse pairs.

Why this answer is correct

((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.

Exam Tip

पहले सममितता, फिर स्वतुल्यता की अलग जाँच करें। / Check symmetry first and reflexivity separately.

Concept

(A) के सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वतुल्य है। / All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) of (A) are present, so the relation is reflexive.

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता भी है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is also symmetric.

Exam Tip

जब दो गुण पूछे जाएँ, दोनों की पूरी जाँच करें। / When two properties are asked, verify both fully.

Concept

सममित आव्यूह में \(m_{12}=m_{21}\) होना चाहिए। / In a symmetric matrix, \(m_{12}=m_{21}\) must hold.

Why this answer is correct

पहले विकल्प में दोनों प्रविष्टियाँ (1) हैं, इसलिए यह मुख्य विकर्ण के बारे में समान है। / In option A, both entries are (1), so the matrix is identical about the main diagonal.

Exam Tip

छोटे आव्यूह में विकर्ण के ऊपर और नीचे की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / In small matrices, compare entries above and below the diagonal.

Concept

((3,3)) का उलटा वही ((3,3)) है। / The reverse of ((3,3)) is ((3,3)) itself.

Why this answer is correct

इसलिए इस युग्म के कारण कोई नया उलटा युग्म जोड़ना नहीं पड़ता। / Therefore no new reverse pair is needed because of this pair.

Exam Tip

विकर्ण युग्मों को सममितता में तुरंत सुरक्षित मानें। / Treat diagonal pairs as immediately safe for symmetry.

Concept

यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी सत्य होगा। / If \(a\ne b\), then \(b\ne a\) is also true.

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। / So with ((a,b)), the reverse ((b,a)) also belongs to the relation.

Exam Tip

असमानता का यह नियम दोनों दिशाओं में एक जैसा रहता है। / This inequality rule remains the same in both directions.

Concept

योग में (a+b=b+a) होता है। / In addition, (a+b=b+a).

Why this answer is correct

इसलिए यदि \(a+b\le 5\), तो \(b+a\le 5\) भी होगा। / Therefore, if \(a+b\le 5\), then \(b+a\le 5\) also holds.

Exam Tip

योग पर आधारित असमानता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती। / In sum-based inequalities, changing order does not change the condition.

Concept

(1+2=3), जो विषम है, इसलिए ((1,2)) संबंध में है। / (1+2=3), which is odd, so ((1,2)) belongs to the relation.

Why this answer is correct

(2+1=3) भी विषम है, इसलिए ((2,1)) भी संबंध में होगा। / (2+1=3) is also odd, so ((2,1)) also belongs.

Exam Tip

योग वाले नियम में उलटा युग्म प्रायः उसी शर्त को पूरा करता है। / In sum-based rules, the reverse pair usually satisfies the same condition.

Concept

दिए गए हर गैर-विकर्ण युग्म का उलटा युग्म मौजूद है। / Every given non-diagonal pair has its reverse present.

Why this answer is correct

विकर्ण युग्म हों या न हों, वे सममितता की अनिवार्य शर्त नहीं हैं। / Diagonal pairs may or may not be present; they are not compulsory for symmetry.

Exam Tip

सममितता में केवल मौजूद युग्मों के उलटे युग्मों की जाँच करें। / In symmetry, check reverses only for existing pairs.

Concept

(|a-b|) का मान क्रम बदलने पर नहीं बदलता। / The value of (|a-b|) does not change after swapping the order.

Why this answer is correct

इसलिए (|a-b|=4) होने पर (|b-a|=4) भी होगा। / Therefore, if (|a-b|=4), then (|b-a|=4) too.

Exam Tip

निरपेक्ष अंतर को सममितता पहचानने की तेज कुंजी मानें। / Treat absolute difference as a quick clue for symmetry.

Concept

सममितता को गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove symmetry.

Why this answer is correct

ऐसा युग्म चाहिए जिसका उलटा संबंध में न हो। / You need a pair whose reverse is not in the relation.

Exam Tip

लंबी सूची में पहले एक गायब उलटा युग्म खोजें। / In a long list, first search for one missing reverse pair.

Concept

विकर्ण युग्म सभी मौजूद हैं, इसलिए वे समस्या नहीं हैं। / All diagonal pairs are present, so they are not the problem.

Why this answer is correct

((2,3)) का उलटा ((3,2)) संबंध में नहीं है। / The reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is not in the relation.

Exam Tip

स्वतुल्यता दिखने पर भी सममितता अलग से जाँचें। / Even when reflexivity appears to hold, check symmetry separately.

Concept

(a+b) और (b+a) हमेशा बराबर होते हैं। / (a+b) and (b+a) are always equal.

Why this answer is correct

यदि कोई युग्म योग (6) देता है, तो उसका उलटा भी योग (6) देगा। / If a pair gives sum (6), its reverse will also give sum (6).

Exam Tip

योग के क्रम-परिवर्तन गुण को सममितता से जोड़कर देखें। / Connect the commutative property of addition with symmetry.

Concept

((3,3)) अपना उलटा स्वयं है, इसलिए वह ठीक है। / ((3,3)) is its own reverse, so it is fine.

Why this answer is correct

((1,2)) का उलटा ((2,1)) नहीं है। / The reverse of ((1,2)), which is ((2,1)), is missing.

Exam Tip

न्यूनतम सुधार में केवल जरूरी उलटा युग्म जोड़ें। / For minimum correction, add only the required reverse pair.

Concept

((1,2)) और ((2,1)) की जोड़ी पूरी है। / The pair ((1,2)) and ((2,1)) is complete.

Why this answer is correct

((2,4)) और ((4,2)) की जोड़ी भी पूरी है, लेकिन ((1,4)) का उलटा ((4,1)) नहीं है। / The pair ((2,4)) and ((4,2)) is also complete, but the reverse ((4,1)) of ((1,4)) is missing.

Exam Tip

सममित विस्तार में हर गायब उलटा युग्म जोड़ा जाता है। / In a symmetric extension, every missing reverse pair is added.

Concept

सममितता की मूल शर्त उलटे युग्म पर आधारित है। / The basic condition of symmetry is based on reverse pairs.

Why this answer is correct

इसलिए प्रत्येक मौजूद युग्म का उलटा संबंध में है या नहीं, यही मुख्य जाँच है। / Therefore the main check is whether the reverse of every present pair belongs to the relation.

Exam Tip

संख्या या आकार देखकर जल्दबाजी में निर्णय न लें। / Do not decide only by counting pairs or looking at the size.

Concept

सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है और सभी युग्म अपनी शर्त पूरी करते हैं। / Here ((1,2)) is paired with ((2,1)), and diagonal pairs cause no problem.

Exam Tip

परीक्षा में हर उलटा युग्म अलग से जांचें। / In exams, always check each reverse ordered pair.

Concept

सममितता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। / Symmetry requires the reverse pair of every ordered pair.

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, पर ((2,3)) का उलटा ((3,2)) नहीं है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, but the reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is missing.

Exam Tip

कमी वाले उलटे युग्म को पहचानना सबसे तेज तरीका है। / The quickest exam method is to locate missing reverse pairs.

Concept

यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So whenever ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.

Exam Tip

ऐसी शर्तों में क्रम बदलकर शर्त जांचें। / For condition-based relations, swap the order and test the condition.

Concept

यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। / If (a-b) is odd, then (b-a=-(a-b)) is also odd.

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी शर्त पूरी करता है। / Hence the reverse pair also satisfies the condition.

Exam Tip

ऋणात्मक विषम संख्या भी विषम ही मानी जाती है। / Remember that the negative of an odd integer is also odd.

Concept

(a=b) होने पर उलटा युग्म भी उसी बराबरी को पूरा करता है। / If (a=b), then the reverse pair also satisfies the same equality.

Why this answer is correct

लेकिन (a<b), विभाज्यता और (a=b+1) में क्रम बदलने से शर्त सामान्यतः टूट जाती है। / Conditions like (a<b), divisibility, and (a=b+1) usually fail after swapping.

Exam Tip

बराबरी पर बने संबंध अक्सर सममित होते हैं। / Relations built on equality are commonly symmetric.

Concept

सममित संबंध में किसी भी युग्म का उलटा युग्म भी रहता है। / In a symmetric relation, the reverse of every ordered pair must also be present.

Why this answer is correct

((5,8)) का उलटा ((8,5)) है। / The reverse of ((5,8)) is ((8,5)).

Exam Tip

सममितता विकर्ण युग्मों की अनिवार्यता नहीं बताती। / Symmetry does not force diagonal pairs to be present.

Concept

सममितता की परिभाषा सीधे उलटे युग्म से जुड़ी है। / The definition of symmetry is directly about the reverse ordered pair.

Why this answer is correct

यह ((a,a)) या ((b,b)) को अनिवार्य नहीं बनाती और (a=b) भी जरूरी नहीं है। / It does not necessarily require ((a,a)), ((b,b)), or (a=b).

Exam Tip

परिभाषा को ठीक-ठीक याद रखना बहुत जरूरी है। / Remember the exact definition to avoid common traps.

Concept

((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((1,3)) के साथ ((3,1)) है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((1,3)) has ((3,1)).

Why this answer is correct

((2,2)) अपना उलटा स्वयं है, इसलिए समस्या नहीं बनाता। / ((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.

Exam Tip

समान युग्मों को अलग उलटे युग्म की जरूरत नहीं होती। / Diagonal pairs do not need a separate reverse pair.

Concept

\((3,1)\in R\) है। / \((3,1)\in R\).

Why this answer is correct

सममितता के लिए इसका उलटा ((1,3)) भी (R) में होना चाहिए, पर वह नहीं है। / For symmetry, its reverse ((1,3)) must also be in (R), but it is absent.

Exam Tip

विकर्ण युग्मों की कमी सममितता तोड़ने का कारण जरूरी नहीं होती। / Missing diagonal pairs do not necessarily break symmetry.

Concept

4 विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The 4 diagonal pairs can be chosen independently.

Why this answer is correct

शेष (\frac{4(4-1)}{2}=6) उलटे युग्मों के जोड़े हैं, हर जोड़ा साथ चुना या हटाया जाता है। / The remaining (\frac{4(4-1)}{2}=6) unordered off-diagonal pairs are chosen as reverse-pair blocks.

Exam Tip

कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10), इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (4+6=10), so the number is \(2^{10}\).

Concept

(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं। / There are (n) independent diagonal pairs.

Why this answer is correct

विकर्ण से बाहर (\frac{n(n-1)}{2}) जोड़े हैं, जिन्हें साथ-साथ चुना जाता है। / Off the diagonal, there are (\frac{n(n-1)}{2}) reverse-pair blocks.

Exam Tip

कुल स्वतंत्र स्थान (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए उत्तर \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the answer is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

Concept

यहां (n=2) है। / Here (n=2).

Why this answer is correct

सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}=2^{\frac{2\cdot3}{2}}=2^3\) होगी। / The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}=2^{\frac{2\cdot3}{2}}=2^3\).

Exam Tip

छोटे समुच्चय में सूत्र लगाकर जल्दी उत्तर मिल जाता है। / For small sets, applying the formula gives a quick answer.

Concept

(a<b) होने पर सामान्यतः (b<a) नहीं होता। / If (a<b), then generally (b<a) is false.

Why this answer is correct

बाकी शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं। / The other conditions remain true after swapping the order.

Exam Tip

असमानता वाली शर्तों में दिशा बदलने से अक्सर सममितता टूटती है। / Directional inequalities often break symmetry.

Concept

आव्यूह से सममितता जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर के स्थानों को मिलाते हैं। / To test symmetry using a matrix, compare entries across the main diagonal.

Why this answer is correct

यहां ((1,3)) और ((3,1)) दोनों स्थानों पर 1 है, बाकी भी मेल खाते हैं। / Here the ((1,3)) and ((3,1)) positions both contain 1, and the other matching positions also agree.

Exam Tip

संबंध का आव्यूह अपने परिवर्तित आव्यूह के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / A relation is symmetric when its matrix equals its transpose.

Concept

सममित संबंध का आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में सममित होता है। / The matrix of a symmetric relation is symmetric about the main diagonal.

Why this answer is correct

विकल्प A में ऊपर-दाएं और नीचे-बाएं दोनों स्थानों पर 1 है। / In option A, the upper-right and lower-left entries are both 1.

Exam Tip

दो गुणा दो आव्यूह में बस दोनों बाहर वाले स्थानों को मिलाना काफी है। / For a \(2\times2\) matrix, checking those two off-diagonal entries is enough.

Concept

\(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। / In \(R^{-1}\), every ordered pair is reversed.

Why this answer is correct

सममित संबंध में हर उलटा युग्म पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\) होता है। / In a symmetric relation, every reverse pair already belongs to (R), so \(R^{-1}=R\).

Exam Tip

सममितता और प्रतिलोम संबंध का संबंध याद रखें। / This is a useful shortcut connecting symmetry and inverse relations.

Concept

\(R^{-1}=R\) का अर्थ है कि संबंध उलटने पर वही रहता है। / \(R^{-1}=R\) means the relation remains the same after reversing all pairs.

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा। / Hence whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.

Exam Tip

यह सममितता की बराबर वाली पहचान है। / This is an equivalent test for symmetry.

Concept

(|a-b|=|b-a|) होता है। / (|a-b|=|b-a|).

Why this answer is correct

इसलिए यदि ((a,b)) संबंध में है, तो ((b,a)) भी वही शर्त पूरी करेगा। / So if ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) also satisfies the same condition.

Exam Tip

परम मान वाली दूरी आधारित शर्तें सामान्यतः सममित होती हैं। / Conditions based on absolute distance are usually symmetric.

Concept

((1,3)) इस संबंध में है क्योंकि (1+2=3)। / ((1,3)) belongs to the relation because (1+2=3).

Why this answer is correct

इसका उलटा ((3,1)) शर्त (3+2=1) पूरी नहीं करता। / Its reverse ((3,1)) does not satisfy (3+2=1).

Exam Tip

एक दिशा वाली बराबरी संबंध को सममित नहीं बनाती। / A one-direction equality condition is usually not symmetric.

Concept

(a-a=0) सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.

Why this answer is correct

यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so the relation is symmetric.

Exam Tip

एक ही संबंध में अलग-अलग गुणों को अलग-अलग जांचें। / Test each property separately in exam questions.

Concept

यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).

Why this answer is correct

दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) is also in both.

Exam Tip

इसलिए \((b,a)\in R\cap S\), अतः प्रतिच्छेद सममित है। / Hence \((b,a)\in R\cap S\), so the intersection is symmetric.

Concept

यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में है। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.

Why this answer is correct

जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में होगा। / That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it.

Exam Tip

इसलिए ((b,a)) संघ में भी होगा। / Therefore ((b,a)) also belongs to the union.

Concept

यदि ((a,b)) पूरक में है, तो ((a,b)) (R) में नहीं है। / If ((a,b)) is in the complement, then \((a,b)\notin R\).

Why this answer is correct

अगर ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो गलत है। / If ((b,a)) were in (R), symmetry would force \((a,b)\in R\), a contradiction.

Exam Tip

इसलिए ((b,a)) भी पूरक में है। / Therefore ((b,a)) is also in the complement.

Concept

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Why this answer is correct

((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, तथा विकर्ण युग्म अपने उलटे स्वयं हैं। / Both ((2,3)) and ((3,2)) are present, and diagonal pairs are their own reverses.

Exam Tip

((3,3)) न होने से प्रतिवर्तीता नहीं, पर सममितता बनी रहती है। / Missing ((3,3)) prevents reflexivity, but not symmetry.

Concept

सममितता केवल उलटे युग्म की मांग करती है। / Symmetry only requires reverse pairs.

Why this answer is correct

यह जरूरी नहीं करती कि हर ((a,a)) संबंध में हो। / It does not require every ((a,a)) to be present.

Exam Tip

इसलिए हर सममित संबंध का प्रतिवर्ती होना गलत कथन है। / Hence the statement that every symmetric relation is reflexive is false.

Concept

सममितता तभी टूटती है जब कोई ((a,b)) हो और ((b,a)) न हो। / Symmetry fails only when some ((a,b)) is present but ((b,a)) is absent.

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए कोई उल्लंघन नहीं है। / The empty relation has no pair, so there is no violation.

Exam Tip

ऐसे सत्य को रिक्त सत्य की तरह समझा जा सकता है। / This is an example of a vacuously true statement.

Concept

सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / The universal relation contains all ordered pairs from \(A\times A\).

Why this answer is correct

इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी अवश्य मौजूद होता है। / Therefore, whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.

Exam Tip

सभी युग्म होने से सममितता तुरंत मिल जाती है। / Having all pairs makes symmetry automatic.

Concept

पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).

Why this answer is correct

ऐसे युग्म का उलटा भी ((a,a)) ही होता है। / The reverse of such a pair is the same pair ((a,a)).

Exam Tip

इसलिए पहचान संबंध हमेशा सममित होता है। / Hence the identity relation is always symmetric.

Concept

\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि दोनों की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means both have the same parity.

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) समान प्रकृति के हैं, तो (b) और (a) भी समान प्रकृति के होंगे। / If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).

Exam Tip

तुल्यता जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं। / Congruence-type conditions are usually symmetric.

Concept

\(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.

Why this answer is correct

समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। / Having the same remainder works in both directions.

Exam Tip

सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता। / Swapping the order does not break congruence.

Concept

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए संबंध सममित है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so the relation is symmetric.

Why this answer is correct

लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / But ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.

Exam Tip

सममित और प्रतिवर्ती गुण अलग-अलग होते हैं। / Symmetry and reflexivity are separate properties.

Concept

((1,1)) और ((2,2)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / ((1,1)) and ((2,2)) are present, so the relation is reflexive.

Why this answer is correct

((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so it is not symmetric.

Exam Tip

मिश्रित गुणों वाले प्रश्नों में दोनों जांचें अलग रखें। / In mixed-property questions, test each property separately.

Concept

((1,2)) और ((2,1)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Why this answer is correct