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A. वह ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए/It must be a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
\(x\) में बहुपद के हर पद में \(x\) की घात \(0,1,2,\dots\) अर्थात ऋणेतर पूर्णांक होती है। स्थिर पद में \(x\) की घात \(0\) मानी जाती है। \(x^{-1}\) में ऋणात्मक घात और \(x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात होती है, इसलिए ये बहुपद के पद नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial in \(x\), the exponent of \(x\) in every term must be a non-negative integer: \(0,1,2,\dots\). A constant term has exponent \(0\). For example, \(x^{-1}\) has a negative exponent and \(x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial term. Exam tip: check all variable exponents before identifying an expression as a polynomial.
A. प्रत्येक पद में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक होती है/In every term, the power of the variable is a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाले बहुपद के प्रत्येक पद में चर की घात \(0, 1, 2, \ldots\) जैसी ऋणेतर पूर्णांक होती है। इसलिए विकल्प A सही है। उदाहरण के लिए, \(3x^2-5x+7\) एक बहुपद है, जबकि \(x^{-1}\) में ऋणात्मक घात और \(x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात होने के कारण वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा में चर की घातों को पहले जाँचें। / In each term of a polynomial in one variable, the exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0, 1, 2, \ldots\). Therefore, option A is correct. For example, \(3x^2-5x+7\) is a polynomial, whereas \(x^{-1}\) has a negative exponent and \(x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: check the variable's exponents first.
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए व्यंजक में पद 6x-4, -3x-2, x और -8 हैं, जिनमें x की सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए इसकी घात 4 है। 2 केवल पद -3x-2 की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय शून्येतर गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its terms. The terms are 6x-4, -3x-2, x, and -8, and the highest exponent of x is 4. Therefore, its degree is 4. The number 2 is the degree of only the term -3x-2, not of the whole polynomial. Exam tip: identify the term with the highest power of the variable having a non-zero coefficient.
(11) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (11) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
बहुपद में घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (-2) पूर्णांक है पर धनात्मक नहीं है। / In a polynomial, powers must be zero or positive integers. (-2) is an integer but not acceptable because it is negative.
द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है। \(4x^2-5x+9\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। \(x^3+2x+1\) घन बहुपद है और \(7x-1\) रैखिक बहुपद है। \(\sqrt{x}+2=x^{1/2}+2\) बहुपद नहीं है, क्योंकि बहुपद में चर की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि सभी घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, फिर सबसे बड़ी घात से बहुपद का प्रकार पहचानें। / A quadratic polynomial has highest degree 2. In \(4x^2-5x+9\), the greatest exponent of \(x\) is 2, so it is quadratic. \(x^3+2x+1\) is cubic, while \(7x-1\) is linear. Also, \(\sqrt{x}+2=x^{1/2}+2\) is not a polynomial because exponents of the variable in a polynomial must be non-negative integers. Exam tip: First check that all exponents are non-negative integers, then use the highest exponent to identify the type of polynomial.
घन बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है। \(2x^3-x+4\) में \(x\) की उच्चतम घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। \(x^2+5\) द्विघात है, जबकि \(x^{-3}+1\) बहुपद नहीं है क्योंकि उसमें ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले जाँचें कि सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों। / A cubic polynomial has highest exponent 3. In \(2x^3-x+4\), the highest power of \(x\) is 3, so it is a cubic polynomial. \(x^2+5\) is quadratic, while \(x^{-3}+1\) is not a polynomial because it contains a negative exponent. Exam tip: Before finding a polynomial's degree, check that all exponents are non-negative integers.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में शून्य बहुपद और स्थिर बहुपद को अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. In exams, keep zero polynomial and constant polynomial separate.
बहुपद में चर की घातें केवल 0, 1, 2, … जैसी ऋणेतर पूर्ण संख्याएँ हो सकती हैं। \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में x की घात −1 है, इसलिए विकल्प B बहुपद नहीं है। अन्य विकल्पों में x की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the powers of the variable can only be non-negative integers such as 0, 1, 2, …. Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of x is −1. Therefore, option B is not a polynomial. In the other options, all powers of x are non-negative integers. Exam tip: if a variable appears in a denominator, rewrite it with a negative exponent to check whether it is a polynomial.
गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं इसलिए \(\sqrt{2}\) स्वीकार्य है। चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Coefficients may be real numbers, so \(\sqrt{2}\) is allowed. Powers of the variable must be non-negative integers.
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(7x^5\), \(-2x^3\), \(x\) और \(-4\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-2x^3\) को ऋण चिह्न सहित एक ही पद गिना जाता है, दो पद नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए + और − चिह्नों से अलग हुए व्यंजकों को गिनें। / In a polynomial, terms are separated by plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are \(7x^5\), \(-2x^3\), \(x\), and \(-4\). Therefore, there are 4 terms. The expression \(-2x^3\) is counted as one term, including its negative sign, not as two terms. Exam tip: Count the expressions separated by + or − signs to find the number of terms.
एकपदी वह बहुपद होता है जिसमें केवल एक पद होता है। \(6x^4\) में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी है। \(x^2+1\) में दो पद हैं, इसलिए वह द्विपदी है। परीक्षा टिप: पदों को पहचानने के लिए + या − चिह्न से अलग हुए भागों को गिनें। / A monomial is a polynomial with exactly one term. \(6x^4\) has only one term, so it is a monomial. \(x^2+1\) has two terms, so it is a binomial. Exam tip: Count the parts separated by + or − signs to identify the number of terms.
द्विपदी वह बहुपद है जिसमें ठीक दो अशून्य पद होते हैं। \(4x^3-9\) के पद \(4x^3\) और \(-9\) हैं, इसलिए यह द्विपदी है। \(7x\) एकपदी है, जबकि \(x^2+3x+2\) त्रिपदी है। परीक्षा में पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए + या − चिह्नों से अलग हुए पदों को गिनें। / A binomial is a polynomial with exactly two non-zero terms. \(4x^3-9\) has the terms \(4x^3\) and \(-9\), so it is a binomial. \(7x\) is a monomial, while \(x^2+3x+2\) is a trinomial. Exam tip: count the terms separated by plus or minus signs.
त्रिपदी वह बहुपद है जिसमें तीन अशून्य पद होते हैं। \(2x^2-5x+6\) के पद \(2x^2\), \(-5x\) और \(6\) हैं, इसलिए यह त्रिपदी है। \(9x^2-4\) द्विपदी है क्योंकि इसमें केवल दो पद हैं, जबकि \(8x^5\) एकपदी है। परीक्षा में पदों को पहचानने के लिए जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग हुए पदों को गिनें। / A trinomial is a polynomial with three non-zero terms. The terms of \(2x^2-5x+6\) are \(2x^2\), \(-5x\), and \(6\), so it is a trinomial. \(9x^2-4\) is a binomial because it has only two terms, while \(8x^5\) is a monomial. In exams, count the terms separated by addition or subtraction signs.
B. यह बहुपद है क्योंकि घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/It is a polynomial because powers are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
गुणांक भिन्न हो सकते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / Coefficients can be fractions. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
C. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही परिभाषा का मुख्य बिंदु है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the key point of the definition.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) gives \(x\) a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में किसी चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-2\) है। अतः दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। स्थिर पद का न होना बाधा नहीं है; उदाहरण के लिए, \(x^2+x\) एक बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of each variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), so \(x\) has exponent \(-2\). Hence, the given expression is not a polynomial. Having no constant term is not a problem; for example, \(x^2+x\) is a polynomial. Exam tip: When a variable occurs in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
\(y^3-2y+6\) में \(y\) की घातें 3, 1 और 0 हैं। ये सभी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(y\) में बहुपद है। \(\frac{4}{y}+1\) में \(y\) हर में होने के कारण \(y^{-1}\) आता है, जबकि \(y^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात है। \(\sqrt{y}+3\) में \(y^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3, ... हो सकती है। / In \(y^3-2y+6\), the exponents of \(y\) are 3, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(y\). In \(\frac{4}{y}+1\), the variable in the denominator gives \(y^{-1}\), while \(y^{-2}+5\) has a negative exponent. Also, \(\sqrt{y}+3\) contains the fractional exponent \(y^{1/2}\). Exam tip: In a polynomial, exponents of the variable must be 0, 1, 2, 3, ... .
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ पदों की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए सही उत्तर 2 है। 10 अचर पद है, अतः वह बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय चर वाले पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. Here, the powers of t in the terms are 2, 1, and 0 respectively, so the greatest power is 2. Therefore, the correct answer is 2. The number 10 is a constant term, so it does not determine the degree. Exam tip: To find the degree, identify the highest power of the variable.
स्थिर बहुपद का सामान्य रूप \(p(x)=c\) होता है, जहाँ \(c\) एक नियत संख्या है। इसलिए 12, -5 और \(\frac{3}{4}\) सभी स्थिर बहुपद हैं। \(x+1\) में चर \(x\) उपस्थित है, इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है; यह एक रैखिक बहुपद है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर की घात 1 या उससे अधिक हो, तो वह स्थिर बहुपद नहीं होता। / A constant polynomial has the form \(p(x)=c\), where \(c\) is a fixed number. Hence 12, -5, and \(\frac{3}{4}\) are constant polynomials. The expression \(x+1\) contains the variable \(x\), so it is not a constant polynomial; it is a linear polynomial. Exam tip: if a variable has a power of 1 or more, the expression is not a constant polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(0x^2\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। सबसे अधिक घात वाला अशून्य पद \(4x^3\) है, इसलिए बहुपद की घात \(3\) है। विकल्प 2 गलत है क्योंकि \(x^2\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of a term with a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^2\) is zero, so \(0x^2\) does not contribute to the degree. The highest-degree non-zero term is \(4x^3\); therefore, the degree is \(3\). Option 2 is incorrect because the coefficient of \(x^2\) is zero. Exam tip: Ignore all terms with zero coefficients before identifying the highest exponent.
बहुपद में सभी घातें होना जरूरी नहीं है। \(3x^4+5\) में घात (4) और (0) हैं जो मान्य हैं। / A polynomial need not contain every power. \(3x^4+5\) has powers (4) and (0), which are valid.
B. क्योंकि (x^{1/2}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{1 / 2}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/2}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. \(x^{1/2}\) has power \(\frac{1}{2}\), so it is not a polynomial.
अशून्य स्थिरांक बहुपद की घात 0 होती है, क्योंकि उसमें चर का कोई पद नहीं होता। इसलिए 8 एक घात 0 का बहुपद है। x की घात 1 है और x-0+x = 1+x की घात भी 1 है। शून्य बहुपद 0 की घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती। परीक्षा टिप: केवल स्थिरांक वाला अशून्य व्यंजक घात 0 का बहुपद होता है। / A non-zero constant polynomial has degree 0 because it has no variable term. Therefore, 8 is a polynomial of degree 0. The degree of x is 1, and x-0+x = 1+x also has degree 1. The degree of the zero polynomial 0 is generally considered undefined. Exam tip: a non-zero expression containing only a constant is a degree 0 polynomial.
\(9x-4\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए यह घात \(1\) का बहुपद (रैखिक बहुपद) है। \(x^2-1\) की घात \(2\) और \(x^3+x\) की घात \(3\) है, जबकि \(7\) एक अचर बहुपद है जिसकी घात \(0\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उसकी घात निर्धारित करें। / In \(9x-4\), the highest power of the variable \(x\) is \(1\), so it is a polynomial of degree \(1\), also called a linear polynomial. \(x^2-1\) has degree \(2\), \(x^3+x\) has degree \(3\), and \(7\) is a constant polynomial with degree \(0\). Exam tip: Identify the greatest exponent of the variable to find the degree of a polynomial.
\(x^2+4\) एक बहुपद है क्योंकि इसमें चर \(x\) की घातें \(2\) और \(0\) हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसके दो पद \(x^2\) और \(4\) हैं, इसलिए यह एकपदी नहीं बल्कि द्विपद है। \(5x^3\) केवल एक पद वाला बहुपद, अर्थात एकपदी, है। \(\sqrt{x}+2\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है और \(x^2+\frac{1}{x}\) में घात \(-1\) आती है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\ldots\) में होनी चाहिए। / \(x^2+4\) is a polynomial because the powers of the variable \(x\) are \(2\) and \(0\), both of which are non-negative integers. It has two terms, \(x^2\) and \(4\), so it is a binomial, not a monomial. \(5x^3\) is a polynomial with only one term, so it is a monomial. In \(\sqrt{x}+2\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), while \(x^2+\frac{1}{x}\) contains exponent \(-1\); therefore, neither is a polynomial. Exam tip: Variable exponents in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी घात (degree) कहलाती है। दिए गए बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, क्योंकि पद 2x-3 उपस्थित है। इसलिए यह घन बहुपद है। द्विघात बहुपद की सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए पहले x की सबसे बड़ी घात वाला पद देखें। / The greatest exponent of the variable in a polynomial is called its degree. In the given polynomial, the highest power of x is 3 because the term 2x-3 is present. Therefore, it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, not 3. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first find the term with the highest power of the variable.
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है। दिए गए बहुपद में \(x^5\), \(x^2\) और \(1\) पद हैं; इनमें \(x^5\) में चर की घात 5 सबसे बड़ी है। इसलिए \(x^5\) घात तय करता है। \(x^2\) की घात केवल 2 है और \(1\) अचर पद है, जिसकी घात 0 मानी जाती है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद के प्रत्येक पद की चर-घात देखें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is determined by the term with the greatest exponent of the variable. The given polynomial has the terms \(x^5\), \(x^2\), and \(1\); among these, \(x^5\) has the highest exponent, 5. Therefore, \(x^5\) determines the degree. The exponent of \(x^2\) is only 2, while the constant term \(1\) has degree 0. Exam tip: Compare the exponents of the variable in all terms and select the greatest one.
B. यह (x) में द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial in (x)
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक \(3x^2-7\) में \(x\) की घातें 2 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 2 है। अतः यह \(x\) में द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है। / In \(3x^2-7\), the powers of \(x\) are 2 and 0, and the highest power is 2. Hence, it is a quadratic polynomial in \(x\). A linear polynomial has highest power 1, so option C is incorrect. Exam tip: The degree of a polynomial is determined by the highest power of its variable.
किसी एक चर वाले बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घातांक होती है। \(x^4-3x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी घात 4 है। विकल्प B की घात 3 है, क्योंकि उसमें \(x^3\) सबसे बड़ा पद है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी शक्ति देखें; स्थिरांक पद की घात 0 होती है। / The degree of a polynomial in one variable is the greatest exponent of the variable. In \(x^4-3x+2\), the highest power of \(x\) is 4, so its degree is 4. Option B has degree 3 because \(x^3\) is its highest-power term. Exam tip: To find the degree, look for the greatest power of the variable; a constant term has degree 0.
\(5x^{-3}+2\) में \(x\) की घात \(-3\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(7x^0+1\) बहुपद है, क्योंकि \(x^0=1\) और 0 एक स्वीकार्य घात है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात को तुरंत जाँचें। / In \(5x^{-3}+2\), the exponent of \(x\) is \(-3\), which is negative. In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer, so this expression is not a polynomial. \(7x^0+1\) is a polynomial because \(x^0=1\), and 0 is an allowed exponent. Exam tip: while identifying polynomials, check immediately for negative, fractional, or variable exponents.
A. चर \(x\) की घात \(-1\) है, जो ऋणेतर पूर्णांक नहीं है।/The exponent of the variable \(x\) is \(-1\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल ऋणेतर पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(5x^{-1}+2\) बहुपद नहीं है। स्थिर पद और संख्यात्मक गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं; इसलिए विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही व्यंजक को बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponent of each variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(5x^{-1}+2\) is not a polynomial. A constant term and a numerical coefficient are allowed in polynomials, so options B and C are incorrect. Exam tip: a negative or fractional exponent of a variable means the expression is not a polynomial.
(y) को स्थिर मानने पर (yx) में (x) की घात (1) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (y) as a constant, the term (yx) has (x)-power (1). All powers of (x) are non-negative integers.
\(x+\frac{2}{x}\) में \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, लेकिन यहाँ \(x\) की घात \(-1\) है। इसलिए विकल्प C बहुपद नहीं है। विकल्प D में \(x^0=1\) होने से व्यंजक \(7+4=11\) बनता है, जो एक अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: चर यदि हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In \(x+\frac{2}{x}\), \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\). In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer, but \(x\) has exponent \(-1\) here. Hence, option C is not a polynomial. In option D, \(x^0=1\), so the expression becomes \(7+4=11\), a constant polynomial. Exam tip: When a variable occurs in a denominator, rewrite it with a negative exponent to check whether it is a polynomial.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद 4x-2, -9x और 2 हैं तथा x की सबसे बड़ी घात 2 है। अतः बहुपद की घात 2 है। घात 1 केवल रैखिक बहुपद के लिए होती है; यहाँ x-2 पद होने के कारण यह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here the terms are 4x-2, -9x, and 2, and the highest power of x is 2. Therefore, the degree of the polynomial is 2. Degree 1 would apply only to a linear polynomial; the x-2 term makes that incorrect here. Exam tip: To find degree, look for the greatest exponent of the variable, not the coefficient.
\(4z^3-z+8\) में चर (z) है और उसकी घातें (3), (1), (0) हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / In \(4z^3-z+8\), the variable is (z) and its powers are (3), (1), (0). So it is a polynomial in (z).
C. क्योंकि x^{-1} में चर की घात ऋणात्मक है/Because the exponent of the variable in x^{-1} is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। यहाँ x^{-1}=1/x है, जिसमें x की घात -1 है; इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। स्थिर पद 3 और पद 7x-2 होने में कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाले हर की जाँच करें। / In a polynomial, the exponent of a variable can only be 0 or a positive whole number. Here, x^{-1}=1/x has exponent -1, so the given expression is not a polynomial. The constant term 3 and the term 7x-2 are both allowed. Exam tip: When identifying a polynomial, first check for negative or fractional exponents, or variables in denominators.
\(\sqrt{3}\) गुणांक है और यह स्वीकार्य वास्तविक संख्या है। (x) की घातें (2), (1), (0) हैं। / \(\sqrt{3}\) is a coefficient and is an allowed real number. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
सबसे बड़ी घात (1) होने पर बहुपद रैखिक कहलाता है। नाम याद करने के लिए घात पर ध्यान दें। / A polynomial with highest power (1) is called linear. Focus on the degree to remember the name.
जिस बहुपद की सबसे बड़ी घात 2 होती है, उसकी घात 2 होती है और उसे द्विघात बहुपद कहते हैं; जैसे, \(3x^2-5x+1\)। रैखिक बहुपद की सबसे बड़ी घात 1 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी सबसे बड़ी घात से तय होता है। / A polynomial whose highest power is 2 has degree 2 and is called a quadratic polynomial; for example, \(3x^2-5x+1\). A linear polynomial has highest power 1, so it is not correct. Exam tip: identify a polynomial by its highest exponent.
जिस बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 होती है, उसकी घात 3 कहलाती है और उसे घन बहुपद कहते हैं। द्विघात बहुपद की सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी सबसे बड़ी घात से निर्धारित होता है। / A polynomial whose highest exponent is 3 has degree 3, so it is called a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest exponent 2, so it is not correct here. Exam tip: Name a polynomial according to its highest exponent.
\(x^3+x^2+x+1\) के पद \(x^3\), \(x^2\), \(x\) और \(1\) हैं, इसलिए इसमें चार पद हैं। \(x^2+x+1\) में तीन पद हैं, जबकि \(x^4-1\) में केवल दो पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग करके गिनें। / The terms of \(x^3+x^2+x+1\) are \(x^3\), \(x^2\), \(x\), and \(1\), so it has four terms. \(x^2+x+1\) has three terms, whereas \(x^4-1\) has only two terms. Exam tip: Count terms by separating them at plus or minus signs.
जिस बहुपद के सभी गुणांक 0 हों, अर्थात् जो प्रत्येक x के लिए 0 हो, उसे शून्य बहुपद कहते हैं। इसलिए p(x)=0 शून्य बहुपद है। रैखिक, द्विघात और घन बहुपदों की घात क्रमशः 1, 2 और 3 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को स्थिर बहुपद 0 की सामान्य घात वाला बहुपद न मानें। / A polynomial whose every coefficient is 0, and hence whose value is 0 for every x, is called the zero polynomial. Therefore, p(x)=0 is the zero polynomial. Linear, quadratic, and cubic polynomials have degrees 1, 2, and 3 respectively, whereas the degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: Do not assign an ordinary degree to the zero polynomial.
B. यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है/It is a quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक \(x^2-5x+6\) में तीन पद हैं: \(x^2\), \(-5x\) और \(6\)। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है; तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात से बहुपद का प्रकार और फिर पदों की संख्या से एकपदी/द्विपदी/त्रिपदी पहचानें। / The expression \(x^2-5x+6\) has three terms: \(x^2\), \(-5x\), and \(6\). Its highest power is 2, so it is a quadratic polynomial; since it has three terms, it is also a trinomial. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest power 1, so option A is not correct. Exam tip: identify the degree from the highest power first, then count the terms to classify it as a monomial, binomial, or trinomial.
\(2x^6-4x^2+9\) में (x) की घातें (6), (2) और (0) हैं। ये सभी बहुपद की शर्त पूरी करती हैं। / In \(2x^6-4x^2+9\), the powers of (x) are (6), (2), and (0). All satisfy the condition of a polynomial.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ा पद \(5x^3\) है, इसलिए बहुपद की घात \(3\) है। \(x\) का पद न होने से घात पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता; \(8\) स्थिर पद है, घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय केवल उपस्थित पदों में \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, the highest-power term is \(5x^3\), so the degree is \(3\). The missing \(x\)-term does not affect the degree; \(8\) is a constant term, not the degree. Exam tip: To find the degree, look for the highest exponent of \(x\) among the terms that are present.
\(\frac{3}{t}=3t^{-1}\) होता है और घात (-1) है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(\frac{3}{t}=3t^{-1}\), so the power is (-1). An expression with a negative power is not a polynomial.
\(\frac{5}{y}+2\) में \(\frac{5}{y}=5y^{-1}\) होता है। इसमें \(y\) की घात \(-1\) है, जबकि बहुपद में चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। इसलिए विकल्प A बहुपद नहीं है। विकल्प B और C में घातें पूर्णांक तथा अऋणात्मक हैं, और 7 एक अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In \(\frac{5}{y}+2\), we have \(\frac{5}{y}=5y^{-1}\). The exponent of \(y\) is \(-1\), whereas every variable exponent in a polynomial must be a non-negative integer. Hence, option A is not a polynomial. Options B and C have valid non-negative integral exponents, and 7 is a constant polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। व्यंजक में पदों की घातें क्रमशः 6, 4, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए सही उत्तर 6 है। 10 स्थिर पद है, उसकी घात 0 होती है; उसे बहुपद की घात नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने के लिए पहले प्रत्येक पद में चर की घात देखें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its terms. The exponents of the terms here are 6, 4, 1, and 0 respectively. Since 6 is the greatest exponent, the degree is 6. The constant term 10 has degree 0, so it does not determine the polynomial’s degree. Exam tip: Identify the exponent of the variable in every term and select the highest one.
C. यह शून्य बहुपद है और इसकी घात परिभाषित नहीं होती/It is the zero polynomial, and its degree is not defined.
Explanation
Simple Explanation
जब p(x) का प्रत्येक गुणांक 0 हो, तब p(x)=0 को शून्य बहुपद कहते हैं। इसमें कोई शून्येतर पद नहीं होता, इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं होती। विकल्प A गलत है क्योंकि रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जबकि शून्य बहुपद की घात नहीं होती। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को अचर बहुपद 0 से अलग नाम के रूप में पहचानें; इसकी घात न तो 0 है और न ही 1। / When every coefficient of p(x) is 0, p(x)=0 is called the zero polynomial. It has no non-zero term, so its degree is not defined. Option A is incorrect because a linear polynomial has degree 1, whereas the zero polynomial has no defined degree. Exam tip: identify the zero polynomial separately; its degree is neither 0 nor 1.
\(\sqrt{3}\) वास्तविक गुणांक है और स्वीकार्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{3}\) is a real coefficient and is allowed. The powers of the variable are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
द्विघात बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 2 होती है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक होती हैं। \(5x^2-4x+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। \(x^3+x+1\) घन बहुपद है, जबकि \(x^{-2}+5\) बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी वैध घात देखें। / A quadratic polynomial has highest degree 2, and every exponent of the variable must be a non-negative integer. In \(5x^2-4x+9\), the highest power of \(x\) is 2, so it is quadratic. \(x^3+x+1\) is cubic, while \(x^{-2}+5\) is not a polynomial because it contains a negative exponent. Exam tip: identify the highest valid exponent of the variable to find the degree of a polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 0x-7 का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य पद है और बहुपद की घात में शामिल नहीं होगा। शेष पदों में 3x-5 की घात सबसे बड़ी है, अतः बहुपद की घात 5 है। 7 चुनना गलत होगा, क्योंकि x-7 वाला पद वास्तव में शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटाएँ। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, 0x-7 is a zero term, so it does not contribute to the degree. Among the remaining terms, 3x-5 has the highest power; therefore, the degree is 5. Choosing 7 would be incorrect because the coefficient of x-7 is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(x^{2/3}\) में घात \(\frac{2}{3}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^{2/3}\), the power is \(\frac{2}{3}\), which is not an integer. Polynomial powers must be non-negative integers.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है, उसे घन बहुपद कहते हैं। \(4x^3-6x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। \(x^2+8\) द्विघात बहुपद है, क्योंकि इसकी घात 2 है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर वाले पदों में सबसे बड़ी घात देखें। / A polynomial whose highest power of the variable is 3 is called a cubic polynomial. In \(4x^3-6x+1\), the highest power of \(x\) is 3, so it is cubic. \(x^2+8\) is quadratic because its degree is 2. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the greatest exponent of the variable.
(12) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (12) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) में \(\frac{5}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) contains \(\frac{5}{x}\), whose power is (-1). So it is not a polynomial.
घात सबसे बड़ी चर-घात वाले अशून्य पद से तय होती है। यहाँ \(2t^4\) में सबसे बड़ी घात (4) है। / The degree is determined by the non-zero term with the highest power. Here \(2t^4\) has the highest power (4).
\(3z^4-z^2+8\) में \(z\) की घातें \(4\), \(2\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(z\) में बहुपद है। \(z^{-1}+2\) तथा \(\frac{6}{z}+1\) में \(z\) की ऋणात्मक घात आती है, जबकि \(\sqrt{z}+5\) में \(z\) की घात \(\frac12\) है; अतः ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(3z^4-z^2+8\), the powers of \(z\) are \(4\), \(2\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial in \(z\). In \(z^{-1}+2\) and \(\frac{6}{z}+1\), \(z\) has a negative power, while \(\sqrt{z}+5\) contains \(z^{\frac12}\); hence, these are not polynomials. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\) और \(-1\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-2x^2\) और \(-1\) को ऋण चिह्न सहित एक-एक पद गिनना चाहिए। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद आने वाले व्यंजक को अलग पद मानें। / In a polynomial, terms are separated by plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\), and \(-1\). Therefore, there are 4 terms. The negative sign is part of the terms \(-2x^2\) and \(-1\); they are not omitted. Exam tip: Count each expression separated by a + or − sign as one term.
बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ी घात 4 दी गई है, इसलिए बहुपद की घात 4 है। 8 कोई नई घात नहीं बन जाती; घात केवल दिए गए बहुपद में उपस्थित सबसे बड़े घातांक से तय होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में पहले शून्येतर गुणांक वाले पदों को देखें, फिर सबसे बड़ा घातांक चुनें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since the highest power is given as 4, its degree is 4. The degree does not become 8; it is determined only by the greatest exponent present in the polynomial. Exam tip: Ignore terms with zero coefficient and select the largest remaining exponent.
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, अर्थात उसमें चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है। विकल्प 6x-11 में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। 2x-2+x द्विघात है और x-3+1 घन बहुपद है; जबकि 15 एक अचर बहुपद है जिसकी घात 0 है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has degree 1, meaning that the highest power of its variable is 1. In 6x-11, the highest power of x is 1, so it is linear. In contrast, 2x-2+x is quadratic, x-3+1 is cubic, and 15 is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the highest power of the variable.
C. क्योंकि \(x^{1/3} में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक नहीं है / Because the exponent of the variable in \(x^{1 / 3}\) is not a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), होनी चाहिए। यहाँ \(x^{1/3}\) में \(x\) की घात \(1/3\) है, जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) और अचर \(4\) बहुपद में मान्य हैं, तथा पदों की संख्या भी कोई बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले चर की घातों की जाँच करें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). Here, the exponent of \(x\) in \(x^{1/3}\) is \(1/3\), which is not an integer, so the expression is not a polynomial. The term \(x^2\) and the constant \(4\) are valid in a polynomial, and the number of terms does not matter. Exam tip: first check the exponents of variables when identifying a polynomial.
शून्य से भिन्न किसी स्थिरांक का बहुपद घात 0 का होता है, क्योंकि उसमें चर की कोई घात नहीं होती। 13 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी घात 0 है। x+5 की घात 1 तथा x-2+1 की घात 2 है। 0 बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी घात देखें; अशून्य स्थिरांक के लिए यह 0 होती है। / A non-zero constant polynomial has degree 0 because it contains no variable term. Since 13 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. The degrees of x+5 and x-2+1 are 1 and 2 respectively. The degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: identify the highest power of the variable; for a non-zero constant, it is 0.
(a) को स्थिर मानने पर \(ax^2\) में (x) की घात (2) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (a) as a constant, \(ax^2\) has (x)-power (2). All powers of (x) are non-negative integers.
B. यह एक बहुपद है क्योंकि चर की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं/It is a polynomial because all powers of the variable are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
\(4x^2+\frac{3}{7}x-6\) एक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। बहुपद में गुणांक भिन्न या ऋणात्मक हो सकते हैं; इसलिए \(\frac{3}{7}\) गुणांक और \(-6\) स्थिर पद इसे बहुपद होने से नहीं रोकते। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय मुख्यतः चर की घातों की जाँच करें। / \(4x^2+\frac{3}{7}x-6\) is a polynomial because the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Polynomial coefficients may be fractional or negative, so neither \(\frac{3}{7}\) nor the constant term \(-6\) makes it invalid. A zero polynomial has every coefficient equal to zero, which is not the case here. Exam tip: to identify a polynomial, first check the exponents of the variable.
\(x^{-2}\) की घात ऋणात्मक है इसलिए यह बहुपद नहीं है। (7) केवल स्थिर पद है और समस्या ऋणात्मक घात से है। / The power in \(x^{-2}\) is negative, so it is not a polynomial. (7) is only a constant term, and the issue is the negative power.
B. क्योंकि x की सभी घातें 0, 1 और 2 जैसी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/Because all powers of x are non-negative integers: 0, 1, and 2
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ x की घातें 0, 1 और 2 हैं, इसलिए यह बहुपद है। साथ ही, x-0 = 1 होने से 9x-0 = 9 एक स्थिर पद है; अतः विकल्प C गलत है। विकल्प A भी गलत है क्योंकि x-0 = 1 होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी भी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली न हो। / In a polynomial, the powers of a variable must be zero or positive integers. Here, the powers of x are 0, 1, and 2, so the expression is a polynomial. Also, x-0 = 1, so 9x-0 = 9 is a constant term; therefore, option C is incorrect. Option A is also wrong because x-0 = 1. Exam tip: while identifying a polynomial, check that no variable has a negative, fractional, or variable exponent.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^3-x+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी घात \(2\) नहीं है। अन्य विकल्पों में सबसे बड़ी घात \(2\) है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने के लिए बहुपद के प्रत्येक पद में चर के उच्चतम घातांक को देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(6x^3-x+5\), the highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is not \(2\). In all the other options, the highest power is \(2\). Exam tip: To find a polynomial's degree, identify the term with the greatest exponent of the variable.
B. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{1/2} में चर की घात पूर्णांक नहीं है। / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\) has a non-integer exponent of the variable.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की सभी घातें 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल \(x^3\) की घात पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: मूल वाले पद को घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), so the expression is not a polynomial. An integer exponent in \(x^3\) alone is not enough. Exam tip: rewrite radicals as fractional powers before checking.
बहुपद 3x-2-5 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसमें दो अशून्य पद, 3x-2 और -5, हैं; अतः यह द्विपद है। इसलिए सही वर्गीकरण द्विघात द्विपद है। रैखिक द्विपद में x की सबसे बड़ी घात 1 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In 3x-2-5, the highest power of x is 2, so its degree is quadratic. It has two non-zero terms, 3x-2 and -5, making it a binomial. Hence, it is a quadratic binomial. A linear binomial would have highest power 1. Exam tip: identify the highest exponent first, then count the non-zero terms.
C. चर की घातें ऋणात्मक हो सकती हैं/Powers of the variable can be negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। इसलिए ऋणात्मक घात, जैसे \(x^{-1}\), वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता; वह चर को हर में ले जाता है। शून्य घात वाला पद एक अचर पद होता है और वास्तविक गुणांक भी मान्य हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / In a polynomial, the exponents of variables must be zero or positive integers. Therefore, an expression containing a negative exponent, such as \(x^{-1}\), is not a polynomial because it places the variable in the denominator. A zero exponent gives a constant term, and real coefficients are allowed. Exam tip: while identifying a polynomial, check that no variable has a negative or fractional exponent.
\(2x^4\) की घात (4), \(5x^2\) की घात (2), और (1) स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(2x^4\) is (4), the power of \(5x^2\) is (2), and the constant (1) is treated as degree (0).
(7x+3) में चर (x) है इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। फिर भी घात (1) होने से यह बहुपद है। / (7x+3) contains the variable (x), so it is not a constant polynomial. Still, it is a polynomial because the power is (1).
\(\sqrt{x^2}\) को सामान्य रूप से बहुपद पद की तरह नहीं लिया जाता। कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो उसे बहुपद नहीं मानते। / \(\sqrt{x^2}\) is not treated as a polynomial term in the usual class (9) definition. If the variable is under a root, it is not considered a polynomial.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ 7x में x की घात 1 है और -4 एक स्थिर पद है। अतः p(x)=7x-4 की घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। घात 0 केवल अशून्य स्थिर बहुपदों की होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, x has power 1 in 7x, while -4 is a constant term. Therefore, p(x)=7x-4 has degree 1 and is a linear polynomial. Degree 0 applies only to non-zero constant polynomials. Exam tip: identify the type of a polynomial by finding the highest exponent of the variable.
\(x^5-2x^2+6\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। इसलिए यह घात (5) का बहुपद है। / In \(x^5-2x^2+6\), all powers are valid and the highest power is (5). So it is a polynomial of degree (5).
जिस बहुपद में केवल एक पद होता है, उसे एकपद (monomial) कहते हैं। \(4x^7\) में केवल एक पद है, इसलिए यह सही उत्तर है। \(x^2+x\) में दो पद हैं, जबकि \(x^3-1\) में भी दो पद हैं। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्नों से अलग-अलग गिनें। / A polynomial containing exactly one term is called a monomial. \(4x^7\) has only one term, so it is the correct answer. \(x^2+x\) and \(x^3-1\) each have two terms. Exam tip: Count terms separated by plus (+) or minus (−) signs.
\(x^2-9\) में दो पद, \(x^2\) और \(-9\), हैं; इसलिए यह द्विपदी है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(2\) है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। अतः सही पहचान द्विघात द्विपदी है। घन त्रिपदी में घात 3 और तीन पद होने चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पदों की संख्या और सबसे बड़े घातांक को अलग-अलग जाँचें। / The expression \(x^2-9\) has two terms, \(x^2\) and \(-9\), so it is a binomial. Its highest exponent is \(2\), hence its degree is 2 and it is quadratic. Therefore, it is a quadratic binomial. A cubic trinomial would need degree 3 and three terms. Exam tip: classify a polynomial by checking the number of terms and the highest exponent separately.
\(5x^{-4}+2x\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की घात \(-4\) है। बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। \(x^0=1\) होता है, इसलिए विकल्प C बहुपद है; शून्य घात स्वीकार्य है, ऋणात्मक घात नहीं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या अपरिमेय घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / \(5x^{-4}+2x\) is not a polynomial because the exponent of \(x\) is \(-4\). In a polynomial, exponents of variables must be zero or positive integers. Since \(x^0=1\), option C is a polynomial; a zero exponent is allowed, but a negative exponent is not. Exam tip: An expression with a negative, fractional, or irrational exponent of a variable is not a polynomial.
\(2x^3-x^2+x-6\) में चार पद हैं: \(2x^3\), \(-x^2\), \(x\) और \(-6\)। बहुपद के पद जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्नों से अलग होते हैं। विकल्प A में तीन पद हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद में स्थिरांक पद को भी एक अलग पद अवश्य गिनें। / \(2x^3-x^2+x-6\) has four terms: \(2x^3\), \(-x^2\), \(x\), and \(-6\). Terms of a polynomial are separated by plus or minus signs. Option A has only three terms, so it is not correct. Exam tip: Always count the constant term as a separate term.
बहुपद की घात उसके किसी भी शून्येतर पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 6x-2 में x की घात 2 है, जबकि -5x में घात 1 है। स्थिर पद 0 बहुपद की घात को प्रभावित नहीं करता, इसलिए सही उत्तर 2 है। 6 गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले शून्येतर पद को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its non-zero terms. Here, 6x-2 has exponent 2 and -5x has exponent 1. The constant term 0 does not affect the degree, so the answer is 2. Note that 6 is a coefficient, not the degree. Exam tip: Find the non-zero term with the highest power of the variable.
किसी घात का पद गायब होना बहुपद बनने से नहीं रोकता। \(x^4+x^2+1\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A missing power does not stop an expression from being a polynomial. In \(x^4+x^2+1\), all present powers are valid.
B. शून्य या धनात्मक पूर्णांक/Zero or positive integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, the powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition.
ऋणात्मक स्थिर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। \(x^2+3x-8\) की सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. All powers in \(x^2+3x-8\) are valid.
बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 है, क्योंकि इसमें पद 2x-3 है; अतः यह घन बहुपद है। इसके चार पद हैं: 2x-3, 5x-2, -x और 4। इसलिए सही पहचान घन चार-पदी बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: घात पहचानने के लिए बहुपद में x की सबसे बड़ी घात देखें और पदों को + या - चिह्नों से अलग करके गिनें। / The highest exponent of x is 3 because the polynomial contains the term 2x-3; therefore, it is a cubic polynomial. It has four terms: 2x-3, 5x-2, -x, and 4. Hence, it is a cubic four-term polynomial. A quadratic polynomial has highest degree 2, so option A is not correct. Exam tip: identify the degree from the highest power of x, and count terms separated by plus or minus signs.
\(x^5+2x^3-7\) में पदों में \(x\) की घातें क्रमशः \(5\), \(3\) और \(0\) हैं, क्योंकि स्थिर पद \(-7\) को \(-7x^0\) लिखा जा सकता है। विकल्प B में \(x\) की घात \(-3\) है, जबकि विकल्प C में भिन्नात्मक घात \(5/3\) है। विकल्प D में \(\frac{2}{x^3}=2x^{-3}\) होता है। परीक्षा टिप: किसी भी स्थिर पद में चर की घात हमेशा \(0\) मानी जाती है। / In \(x^5+2x^3-7\), the powers of \(x\) are \(5\), \(3\), and \(0\), respectively, because the constant term \(-7\) can be written as \(-7x^0\). In option B, the power of \(x\) is \(-3\), while option C has the fractional power \(5/3\). In option D, \(\frac{2}{x^3}=2x^{-3}\). Exam tip: a constant term always has the variable raised to power \(0\).
दशमलव (2.5) भी वास्तविक गुणांक है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / The decimal (2.5) is also a real coefficient. All powers of the variable are non-negative integers.
B. क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती हैं, जैसे \(0,1,2,\ldots\)। यहाँ \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है और यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) तथा अचर \(4\) बहुपद के वैध पद हैं; तीन पद होना भी कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: चर यदि हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात मानकर जाँचें। / In a polynomial, the exponents of a variable must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\); hence the expression is not a polynomial. The term \(x^2\) and the constant \(4\) are valid polynomial terms, and having three terms is not a restriction. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
A. \(x^2+1\) क्योंकि घातें (2) और (0) हैं/\(x^2+1\) because powers are (2) and (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+1\) में घातें (2) और (0) हैं जो मान्य हैं। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(x^2+1\), the powers are (2) and (0), which are valid. The other options contain invalid powers.
(x) के संदर्भ में (y) को गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
व्यंजक \(x^3-2x+5\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसका घात 3 है और यह घन बहुपद है। इसमें \(x^3\), \(-2x\) और \(5\)—कुल तीन पद हैं, इसलिए यह त्रिपद भी है। अतः सही पहचान घन त्रिपद बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पदों की संख्या अलग से गिनें। / In \(x^3-2x+5\), the highest power of the variable \(x\) is 3, so its degree is 3 and it is a cubic polynomial. It has three terms: \(x^3\), \(-2x\), and \(5\); therefore, it is also a trinomial. Hence, it is a cubic trinomial. A quadratic polynomial would have highest degree 2. Exam tip: find the degree from the highest exponent, then count the terms separately.
बहुपद में जिस चर की सबसे बड़ी घात का गुणांक शून्य न हो, वही उसकी घात होती है। यहाँ 0x-5 का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। शेष अशून्य पदों में 4x-2 की घात सबसे बड़ी है, अतः p(x) की घात 2 है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि x-5 का गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य-गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of 0x-5 is zero, so this term does not determine the degree. Among the remaining non-zero terms, 4x-2 has the greatest exponent; therefore, the degree of p(x) is 2. Option 5 is incorrect because the coefficient of x-5 is 0. Exam tip: remove zero-coefficient terms before finding the degree.
बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती है। \(2^x\) में चर घात में है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, the variable has fixed non-negative integer powers. In \(2^x\), the variable is in the exponent, so it is not a polynomial.
जब \(a=0\) रखते हैं, तो \(ax^3=0\) हो जाता है। इसलिए दिया गया व्यंजक \(p(x)=2x-1\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की घात 1 है। घात 3 नहीं होगी, क्योंकि \(x^3\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: शून्य गुणांक वाले पद को बहुपद की घात निर्धारित करते समय नहीं गिना जाता। / On substituting \(a=0\), the term \(ax^3\) becomes 0. Thus, \(p(x)=2x-1\). The highest power of \(x\) present is 1, so the degree of the polynomial is 1. It is not 3 because the coefficient of \(x^3\) is zero. Exam tip: Ignore terms whose coefficients become zero while finding the degree.
(a=2) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) हो जाता है और (5x-7) बचता है। इसलिए यह रेखीय बहुपद है। / Putting (a=2) makes the coefficient of \(x^3\) equal to (0), leaving (5x-7). So it is a linear polynomial.
दूसरे व्यंजक में घातें (4), (2), और (0) हैं तथा गुणांक वास्तविक हैं। इसलिए यह डिग्री (4) का बहुपद है। / In the second expression, the powers are (4), (2), and (0), and the coefficients are real. So it is a polynomial of degree (4).
बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 5, 3, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 9 गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़े घातांक वाले चर-पद को देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. The terms in the given polynomial have exponents 5, 3, 1, and 0. The highest exponent is 5, so the degree is 5. Note that 9 is a coefficient, not the degree. Exam tip: identify the term with the greatest exponent of the variable.
पद \(0x^5\) का गुणांक 0 है, इसलिए इसका मान 0 है और यह बहुपद की डिग्री में नहीं गिना जाता। शेष बहुपद \(-3x^2+8x-1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि शून्य गुणांक वाले पद की घात नहीं ली जाती। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटाइए, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखिए। / The coefficient of \(0x^5\) is 0, so this term has value 0 and is not considered while finding the degree of a polynomial. In the remaining polynomial, \(-3x^2+8x-1\), the highest power of \(x\) is 2. Therefore, the degree is 2. Option 5 is incorrect because a term with zero coefficient does not determine the degree. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms first, then identify the highest exponent of the variable.
D. यह \(y\) में एक बहुपद है/It is a polynomial in \(y\)
Explanation
Simple Explanation
\(3y^2+\sqrt{5}y-8\) में \(y\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{5}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए वह वैध गुणांक हो सकता है। ऋणात्मक स्थिर पद \(-8\) होने से भी व्यंजक बहुपद बना रहता है। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद जाँचते समय चर की घातों को देखें; गुणांक अपरिमेय या ऋणात्मक हो सकते हैं। / In \(3y^2+\sqrt{5}y-8\), the powers of \(y\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. \(\sqrt{5}\) is a real number, so it is a valid coefficient. A negative constant term, \(-8\), also does not prevent an expression from being a polynomial. A zero polynomial has every coefficient equal to zero, which is not true here. Exam tip: to identify a polynomial, check the exponents of the variable; coefficients may be irrational or negative.
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(k+4\) है। अतः \(k+4=0\), जिससे \(k=-4\) प्राप्त होता है। \(k=0\) रखने पर \(x^2\) का गुणांक 4 रहता है, इसलिए बहुपद द्विघात ही होगा। परीक्षा टिप: बहुपद की घात घटाने के लिए उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1, so the coefficient of \(x^2\) must be zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(k+4\). Thus, \(k+4=0\), which gives \(k=-4\). If \(k=0\), the coefficient of \(x^2\) remains 4, so the polynomial is still quadratic. Exam tip: To reduce the degree of a polynomial, make the coefficient of its highest-degree term zero.
B. क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/Because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
बहुपद \(2x^3-5x+4\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी घात 3 है और यह घन बहुपद है। इसके तीन पद \(2x^3\), \(-5x\) और \(4\) हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः सही पहचान घन त्रिपद बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने में पहले उच्चतम घात, फिर पदों की संख्या गिनें। / In the polynomial \(2x^3-5x+4\), the highest power of \(x\) is \(3\), so it is a cubic polynomial. It has three terms: \(2x^3\), \(-5x\), and \(4\); therefore, it is a trinomial. Hence, it is a cubic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest degree 1. Exam tip: first find the highest exponent, then count the terms to classify a polynomial.
m=0 रखने पर व्यंजक mx-4+(m+2)x-3-5 = 0x-4+2x-3-5 = 2x-3-5 बनता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि x-4 का गुणांक 0 होने से वह पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर शेष सबसे बड़ी घात देखें। / On substituting m=0, mx-4+(m+2)x-3-5 becomes 0x-4+2x-3-5, or 2x-3-5. The highest power of x in the remaining polynomial is 3, so its degree is 3. Option 4 is not correct because the coefficient of x-4 becomes 0, so that term vanishes. Exam tip: After substitution, remove all zero-coefficient terms before identifying the highest exponent.
\(8z-3\) में \(z\) की सबसे बड़ी घात 1 है और \(z\) का गुणांक 8 शून्य नहीं है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(14\) एक अचर बहुपद है, जिसकी घात 0 होती है; जबकि \(\frac{1}{z}+2\) बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें \(z\) की ऋणात्मक घात \(z^{-1}\) आती है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद का सामान्य रूप \(az+b\) होता है, जहाँ \(a\ne0\)। / In \(8z-3\), the highest power of \(z\) is 1 and the coefficient of \(z\) is non-zero, so it is a linear polynomial. \(14\) is a constant polynomial of degree 0, while \(\frac{1}{z}+2\) is not a polynomial because it contains the negative power \(z^{-1}\). Exam tip: A linear polynomial has the form \(az+b\), where \(a\ne0\).
C. यह द्विघात बहुपद है और इसकी डिग्री \(2\) है/It is a quadratic polynomial and its degree is \(2\).
Explanation
Simple Explanation
\(5x^2-\pi x+\sqrt{3}\) में \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह बहुपद है। \(\pi\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय हैं, फिर भी वे वास्तविक स्थिरांक हैं और बहुपद के वैध गुणांक हो सकते हैं। सबसे बड़ी घात \(2\) होने से यह द्विघात बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल \(x\) पद होने से बहुपद रैखिक नहीं हो जाता; सबसे बड़ी घात देखी जाती है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / In \(5x^2-\pi x+\sqrt{3}\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial. Although \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are irrational, they are real constants and may be valid polynomial coefficients. Since the highest power is \(2\), it is a quadratic polynomial. Option B is incorrect because the presence of an \(x\)-term alone does not make a polynomial linear; its highest power determines the degree. Exam tip: find the greatest exponent of the variable to determine the degree.
इस बहुपद में \(x^4\) और (x) पद नहीं हैं। अनुपस्थित पदों के गुणांक (0) माने जाते हैं। / The \(x^4\) and (x) terms are absent in this polynomial. Coefficients of absent terms are taken as (0).
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। यहाँ \(0x^6\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। \(6x^4\) सबसे अधिक घात वाला अशून्य पद है, अतः \(p(x)\) की घात \(4\) है। विकल्प 6 गलत है क्योंकि \(x^6\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, \(0x^6\) has coefficient zero, so this term does not contribute to the degree. The highest-degree non-zero term is \(6x^4\); therefore, the degree of \(p(x)\) is \(4\). Option 6 is incorrect because the coefficient of \(x^6\) is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(\frac{x^2+4}{x+1}\) में चर हर में है। ऐसा मूल व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{x^2+4}{x+1}\), the variable is in the denominator. Such an original expression does not satisfy the definition of a polynomial.
यहाँ \(x^0=1\) है, इसलिए व्यंजक \(1+3x^2-2x\) बनता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(2\) है। \(x^0\) वाला पद डिग्री \(0\) देता है, लेकिन वह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल करने के बाद चर की सबसे बड़ी घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / Here, \(x^0=1\), so the expression becomes \(1+3x^2-2x\). The highest power of \(x\) is \(2\); therefore, the degree of the polynomial is \(2\). The term containing \(x^0\) has degree \(0\), but it is not the highest power. Exam tip: Simplify the polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable.
7 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, जिसे 7x-0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें चर की सबसे बड़ी घात 0 है, इसलिए इसकी घात 0 होती है। घात 1 रैखिक बहुपद के लिए होती है, स्थिर बहुपद के लिए नहीं। परीक्षा सुझाव: किसी भी अशून्य स्थिरांक की बहुपद-घात हमेशा 0 होती है। / 7 is a non-zero constant polynomial and can be written as 7x-0. The highest power of the variable is 0, so its degree is 0. Degree 1 is for a linear polynomial, not for a constant polynomial. Exam tip: Every non-zero constant polynomial has degree 0.
बहुपद में चर का प्रत्येक घातांक 0 या धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। \(5x^{-1}+2\) में \(x\) का घातांक −1 है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(\sqrt{2}\) गुणांक हो सकता है। परीक्षा टिप: घातांकों को पहले जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be 0 or a non-negative integer. In \(5x^{-1}+2\), the exponent of \(x\) is −1, so it is not a polynomial. \(\sqrt{2}\) may be a coefficient. Exam tip: check exponents first.
(k) स्थिर की तरह गुणांक है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / (k) acts like a constant coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0), so it is a polynomial.
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(9x\) और \(-6\)। इसलिए कुल 4 पद हैं। \(-2x^2\) को अलग पद मानना चाहिए; उसका ऋण चिह्न उसी पद का भाग है। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद आने वाले व्यंजक को एक पद मानें। / In a polynomial, addition (+) and subtraction (−) signs separate the terms. Here the terms are \(5x^3\), \(-2x^2\), \(9x\), and \(-6\). Hence, there are 4 terms. The negative sign in \(-2x^2\) belongs to that term; it does not create an extra term. Exam tip: Count each expression separated by a + or − sign as one term.
बहुपद p(x)=x-2-4x+4 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद x-2, -4x और 4 हैं, इसलिए यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए सबसे पहले सबसे बड़ी घात, फिर पदों की संख्या गिनें। / In p(x)=x-2-4x+4, the highest power of x is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. It has three terms: x-2, -4x, and 4; therefore, it is also a trinomial. Hence, the correct identification is a quadratic trinomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is not correct. Exam tip: To classify a polynomial, first find its highest degree and then count its terms.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+3x^2-5\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not have every power term. In \(x^4+3x^2-5\), all present powers are valid.
B. यह बहुपद है क्योंकि चर की सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं।/It is a polynomial because all powers of the variable are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
\(4x^2+\frac{3}{4}x-9\) में \(x\) की घातें क्रमशः \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। बहुपद के गुणांक भिन्न या ऋणात्मक हो सकते हैं, अतः \(\frac{3}{4}\) और \(-9\) इसे बहुपद होने से नहीं रोकते। यह शून्य बहुपद भी नहीं है, क्योंकि इसके सभी गुणांक शून्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की घातों को जाँचें, गुणांकों के चिन्ह को नहीं। / In \(4x^2+\frac{3}{4}x-9\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial. Polynomial coefficients may be fractional or negative, so \(\frac{3}{4}\) and \(-9\) do not make it invalid. It is not the zero polynomial because all its coefficients are not zero. Exam tip: while identifying a polynomial, check the powers of the variable rather than the signs of the coefficients.
A. \(\sqrt{x}\) में \(x\) का घातांक \(\frac{1}{2}\) है, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है।/In \(\sqrt{x}\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घातांक \(0,1,2,\ldots\) जैसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: मूल चिह्न को भिन्न घातांक में बदलकर जाँचें। / In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), so the expression is not a polynomial. Exam tip: rewrite radicals as fractional powers to check quickly.
\(2m^5-3m+1\) में \(m\) की घातें \(5\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(m\) में बहुपद है। विकल्प A में \(1/m=m^{-1}\), विकल्प B में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{m}=m^{1/2}\) है; ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(2m^5-3m+1\), the powers of \(m\) are \(5\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial in \(m\). In option A, \(1/m=m^{-1}\); option B has a negative exponent; and option D has \(\sqrt{m}=m^{1/2}\). These are not polynomials. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
जब \(a=0\) होता है, तब \(ax^4=0\) हो जाता है। इसलिए बहुपद \(p(x)=3x^2-1\) रह जाता है। इसमें चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की घात 2 होगी। विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(x^4\) वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: किसी पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें, फिर सबसे बड़ी शेष घात देखें। / When \(a=0\), the term \(ax^4\) becomes \(0\). Thus, \(p(x)=3x^2-1\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 2, so its degree is 2. Option 4 is incorrect because the \(x^4\) term has vanished. Exam tip: Substitute the parameter value first, remove zero-coefficient terms, and then identify the highest remaining exponent.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए/Variable powers must be zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यह परिभाषा की सबसे महत्वपूर्ण शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए बहुपद में पद x-3 की घात 3 है, जो x-2, x और अचर 5 की घातों से बड़ी है। इसलिए बहुपद की घात 3 है। विकल्प 2 केवल पद 2x-2 की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए पहले सभी पदों में चर की घातें देखें और सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. Here, x-3 has exponent 3, which is greater than the exponents in x-2, x, and the constant term 5. Therefore, the degree of the polynomial is 3. Option 2 is the degree of the term 2x-2, not of the whole polynomial. Exam tip: Compare the exponents of the variable in all terms and select the greatest one.
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(\frac{4}{x}\) में (x) की घात (-1) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. In \(\frac{4}{x}\), the power of (x) is (-1), so it is not a polynomial.
ऋणात्मक स्थिर पद होने से व्यंजक बहुपद बनने से नहीं रुकता। \(x^2-11\) में सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. In \(x^2-11\), all powers are valid.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 2, 1 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार जानने के लिए चर के सबसे बड़े घातांक को देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of the terms are 2, 1, and 0, and the highest is 2. Hence, it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is incorrect. Exam tip: identify the highest exponent of the variable to determine the type of a polynomial.
A. यह बहुपद है; \(\sqrt{3}\) एक वास्तविक गुणांक है।/It is a polynomial; \(\sqrt{3}\) is a real coefficient.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए \(\sqrt{3}\) मान्य है। यहाँ \(p\) की घातें 2, 1 और 0 हैं, जो अशून्य पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात बहुपद को अमान्य करती है। / A polynomial may have any real coefficient, so \(\sqrt{3}\) is allowed. The exponents of \(p\) are 2, 1 and 0, all non-negative integers. Exam tip: check variable exponents; negative or fractional exponents make an expression non-polynomial.
C. चर हर में रह सकता है/The variable can be in the denominator
Explanation
Simple Explanation
यदि चर हर में आता है तो अक्सर उसकी घात ऋणात्मक हो जाती है। बहुपद में ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। / If the variable appears in the denominator, its power often becomes negative. Negative powers are not valid in a polynomial.
B. क्योंकि x की एक घात ऋणात्मक है/Because one exponent of x is negative
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक में x^{-1} है, जिसमें x की घात -1 है। बहुपद में चर की सभी घातें 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए; इसलिए x-2+x^{-1}+1 बहुपद नहीं है। x-2 और अचर पद 1 बहुपद में स्वीकार्य होते हैं, इसलिए वे कारण नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में ऋणात्मक, भिन्नात्मक या अपरिमेय घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / The expression contains x^{-1}, so the exponent of x is -1. In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer; therefore, x-2+x^{-1}+1 is not a polynomial. The term x-2 and the constant term 1 are allowed in a polynomial, so they are not the reason. Exam tip: A negative, fractional, or irrational exponent of a variable means the expression is not a polynomial.
\(1.5x^2-4x+3\) में \(x\) की घातें \(2, 1\) और \(0\) हैं, जो सभी पूर्ण अऋणात्मक संख्याएँ हैं। साथ ही \(1.5\) एक दशमलव वास्तविक गुणांक है, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प B में ऋणात्मक घात है, जबकि C में \(x\) की घात \(\frac12\) है; दोनों बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(1.5x^2-4x+3\), the powers of \(x\) are \(2, 1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Also, \(1.5\) is a decimal real coefficient, so the expression is a polynomial. Option B has a negative exponent, while option C has \(x\) raised to \(\frac12\); neither is a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be \(0,1,2,\ldots\).
\(x^4+3x-2\) में \(x^2\) पद नहीं है पर सबसे बड़ी घात (4) है। गायब पद घात को नहीं रोकता। / In \(x^4+3x-2\), the \(x^2\) term is missing but the highest power is (4). A missing term does not affect validity.
यहाँ p(x)=5x-2 में केवल एक पद, 5x-2, है; इसलिए यह एकपद है। चर x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी घात 2 है और यह द्विघात है। रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या से एकपद/द्विपद और x की सबसे बड़ी घात से रैखिक/द्विघात/घन पहचानें। / In p(x)=5x-2, there is only one term, 5x-2, so it is a monomial. The highest power of x is 2; hence its degree is 2 and it is quadratic. A linear polynomial has x to the power 1, so option B is not correct. Exam tip: use the number of terms to identify monomial/binomial and the highest exponent to identify linear, quadratic, or cubic polynomials.
विकल्प B में \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। इसलिए \(4+\frac{1}{x^3}\) बहुपद नहीं है। इसके विपरीत, विकल्प C में \(x^0=1\) है, इसलिए उसकी घात ऋणात्मक नहीं है और वह बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात में लिखकर जाँचें। / In option B, \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\). In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer; a negative exponent is not allowed. Therefore, \(4+\frac{1}{x^3}\) is not a polynomial. In contrast, in option C, \(x^0=1\), so its exponent is not negative and it is a polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
बहुपद \(3x^2-7\) में \(3x^2\) और \(-7\), ये दो पद हैं। इसकी घात किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो \(x^2\) के कारण 2 है। अतः सही उत्तर 2 पद और घात 2 है। \(-7\) स्थिर पद है; 7 को घात नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: पदों को + या − चिह्नों के आधार पर अलग करें और फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The polynomial \(3x^2-7\) has two terms: \(3x^2\) and \(-7\). Its degree is the greatest exponent of the variable, which is 2 because of \(x^2\). Therefore, it has 2 terms and degree 2. The number 7 is a constant term, not the degree. Exam tip: separate terms using + or − signs, then identify the highest power of the variable.
\(n^{4/3}\) की घात पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The power in \(n^{4/3}\) is not an integer. In a polynomial, variable powers must be non-negative integers.
B. बहुपद की घात 3 रहेगी/The degree of the polynomial remains 3
Explanation
Simple Explanation
जब \(a=0\) रखते हैं, तो \(ax^2=0\) हो जाता है। अतः \(p(x)=2x^3+5\) मिलता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है और उसका गुणांक 2 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की घात 3 रहती है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(x^2\) पद हटने पर भी \(x^3\) पद मौजूद है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(a=0\), the term \(ax^2\) becomes \(0\). Thus, \(p(x)=2x^3+5\). The highest power of \(x\) with a non-zero coefficient is 3, so the degree remains 3. Option A is incorrect because the \(x^3\) term is still present even though the \(x^2\) term disappears. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
A. \(x^2+4x+4\) क्योंकि घातें (2), (1), (0) हैं/\(x^2+4x+4\) because powers are (2), (1), (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4x+4\) में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह सही बहुपद उदाहरण है। / In \(x^2+4x+4\), all powers are non-negative integers. So it is a correct polynomial example.
(x) के संदर्भ में \(y^2\) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), \(y^2\) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
\(x^6+2x^4-x^2+9\) में \(x\) की घातें \(6,4,2\) तथा स्थिर पद \(9\) की घात \(0\) है। ये सभी सम तथा अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह केवल सम घातों वाला बहुपद है। विकल्प B में विषम घातें हैं, जबकि C में ऋणात्मक घात और D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) जैसी भिन्नात्मक घात है; इसलिए वे अपेक्षित बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^6+2x^4-x^2+9\), the powers of \(x\) are \(6,4,2\), and the constant term \(9\) has power \(0\). All of these are even, non-negative integers, so it is a polynomial with only even powers. Option B contains odd powers, while C has a negative power and D has a fractional power because \(\sqrt{x}=x^{1/2}\); hence they are not the required polynomial. Exam tip: in a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer.
बहुपद में जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होने वाले भाग पद कहलाते हैं। यहाँ पद हैं: \(x^4\), \(2x^3\), \(x^2\), \(x\) और \(1\)। अतः कुल 5 पद हैं। \(x^4\) और \(2x^3\) को मिलाया नहीं जा सकता, क्योंकि उनकी घातें अलग हैं। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक धनात्मक या ऋणात्मक भाग को अलग पद मानें। / The parts of a polynomial separated by plus or minus signs are called terms. Here the terms are \(x^4\), \(2x^3\), \(x^2\), \(x\), and \(1\). Therefore, there are 5 terms. \(x^4\) and \(2x^3\) cannot be combined because they have different exponents. Exam tip: Count every positive or negative part as a separate term.
A. द्विघात त्रिपद बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
बहुपद x-2-3x+2 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद x-2, -3x और 2 हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपद बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: घात जानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पद गिनने के लिए + या - से अलग हुए पदों को गिनें। / In x-2-3x+2, the highest power of x is 2, so it is a quadratic polynomial. It has three terms: x-2, -3x, and 2; hence, it is a trinomial. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest degree 1. Exam tip: find the degree from the greatest exponent of the variable, and count terms separated by + or - signs.
\(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) contains \(\frac{1}{x}\), whose power is (-1). Therefore, it is not a polynomial.
\(5x^{-3}+1\) में \(x\) की घात \(-3\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(7x^0-4x\) बहुपद है क्योंकि \(x^0=1\) होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर के रूप में हर में तो नहीं है। / In \(5x^{-3}+1\), the exponent of \(x\) is \(-3\), which is negative. In a polynomial, the exponents of variables must be non-negative integers, so this expression is not a polynomial. \(7x^0-4x\) is a polynomial because \(x^0=1\). Exam tip: while identifying polynomials, check that no variable has a negative or fractional exponent, or appears in the denominator.
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 7, 3, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए सही उत्तर 7 है। 8 केवल स्थिर पद है, x की घात नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 होती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. The exponents of the terms here are 7, 3, 1, and 0. The greatest is 7, so the degree is 7. The number 8 is a constant term, not an exponent of x. Exam tip: a non-zero constant has degree 0.
(23) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (23) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
रैखिक बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है और उसका गुणांक शून्य नहीं होता। \(5t-9\) में \(t\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(t^2+1\) द्विघात है, जबकि \(12\) एक अचर बहुपद है जिसकी घात 0 है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has highest power of the variable equal to 1, with a non-zero coefficient of that variable. In \(5t-9\), the highest power of \(t\) is 1, so it is a linear polynomial. \(t^2+1\) is quadratic, while \(12\) is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: To find the degree of a polynomial, look for the greatest exponent of its variable.
B. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
शून्येतर संख्या या चर के लिए शून्य घात का नियम है: \(x^0=1\), जहाँ \(x\ne0\)। अतः \(9x^0=9\times1=9\) होता है और व्यंजक \(9+4x\) बन जाता है। \(9\), \(x^0\) का मान नहीं, बल्कि \(9x^0\) का गुणांक है। परीक्षा टिप: किसी भी पद में घात 0 दिखे, तो पहले जाँचें कि आधार शून्य नहीं है और फिर उसका मान 1 रखें। / For any non-zero number or variable, the zero-exponent rule is \(x^0=1\), where \(x\ne0\). Therefore, \(9x^0=9\times1=9\), and the expression becomes \(9+4x\). The number 9 is the coefficient of \(x^0\), not the value of \(x^0\). Exam tip: When you see exponent 0, first ensure that the base is non-zero, then replace that power by 1.
\(3x^2+\frac{5}{8}x-2\) बहुपद है क्योंकि इसमें \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। बहुपद के गुणांक भिन्न हो सकते हैं; इसलिए \(\frac{5}{8}\) होने से यह बहुपद नहीं बनना बंद नहीं होता। विकल्प B और D में \(x\) हर में है, अर्थात उसकी ऋणात्मक घात है, जबकि विकल्प C में \(x\) की भिन्नात्मक घात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की घातें हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक हैं या नहीं, यह जाँचें। / \(3x^2+\frac{5}{8}x-2\) is a polynomial because the exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Polynomial coefficients may be fractions, so \(\frac{5}{8}\) is allowed. In options B and D, \(x\) is in the denominator, which gives a negative exponent; option C has the fractional exponent \(\frac{1}{2}\). Exam tip: while identifying a polynomial, check that every variable exponent is a non-negative integer.
बहुपद में जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होने वाले भाग पद कहलाते हैं। यहाँ पद हैं: \(x^4\), \(-3x^2\), \(2x\) और \(-11\)। इसलिए कुल 4 पद हैं। \(-3x^2\) और \(-11\) में ऋण चिह्न उनके पद का हिस्सा है, वे अलग पद नहीं बनाते। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए केवल + और − चिह्नों से अलग हुए व्यंजकों को गिनें। / Terms of a polynomial are the parts separated by addition or subtraction signs. Here the terms are \(x^4\), \(-3x^2\), \(2x\), and \(-11\). Therefore, the polynomial has 4 terms. The minus signs in \(-3x^2\) and \(-11\) belong to those terms; they do not create extra terms. Exam tip: Count the expressions separated by + or − signs.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ा उपस्थित पद 7x-5 है, इसलिए बहुपद की घात 5 है। x-4, x-3 और x-2 पदों का न होना घात को कम नहीं करता; 4 केवल अगली छोटी संभावित घात है, सही घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय केवल शून्येतर गुणांक वाले पदों में x की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the highest present term is 7x-5, so the degree is 5. The absence of x-4, x-3, and x-2 does not reduce the degree; 4 is only the next lower possible exponent, not the degree. Exam tip: To find the degree, look for the largest power of x with a non-zero coefficient.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यही परिभाषा की सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable must be zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
C. क्योंकि (x^{2/5}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{2 / 5}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{2/5}\) की घात \(\frac{2}{5}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. The power in \(x^{2/5}\) is \(\frac{2}{5}\), which is not an integer.
बहुपद की घात उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(0x^5\) शून्य पद है, इसलिए इसे नहीं गिना जाता। शेष पदों में \(4x^3\) की घात सबसे बड़ी, अर्थात 3, है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि \(x^5\) का गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, \(0x^5\) is a zero term, so it is ignored. Among the remaining terms, \(4x^3\) has the highest exponent, 3. Option 5 is incorrect because the coefficient of \(x^5\) is 0. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(x^{-4}+8\) में \(x\) की घात \(-4\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं, इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसमें \(8\) स्थिर पद है। अन्य विकल्पों में \(x\) की घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात दिखे, तो उसे बहुपद न मानें। / In \(x^{-4}+8\), the exponent of \(x\) is \(-4\), which is negative. In a polynomial, variable exponents must be zero or positive integers, so this is not a polynomial. The number \(8\) is its constant term. The other options have only non-negative integer exponents of \(x\), so they are polynomials. Exam tip: A negative, fractional, or variable exponent indicates that an expression is not a polynomial.
B. द्विघात त्रिपद बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(x^2-6x+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसके तीन पद \(x^2\), \(-6x\) और \(9\) हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः यह द्विघात त्रिपद बहुपद है। घन त्रिपद में सबसे बड़ी घात \(3\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In the polynomial \(x^2-6x+9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is quadratic. It has three terms: \(x^2\), \(-6x\), and \(9\), making it a trinomial. Hence, it is a quadratic trinomial polynomial. A cubic trinomial would have highest degree \(3\). Exam tip: identify the highest power first, then count the terms.
A. \(7/y+2 बहुपद नहीं है, क्योंकि \(7 / y=7y^{-1}\) में \(y\) की घात \(-1\) है। / y+2 is not a polynomial because \(7 / y=7y^{-1}\) has exponent \(-1\) of \(y\).
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(7/y=7y^{-1}\) है, इसलिए \(y\) की घात \(-1\) होने के कारण \(7/y+2\) बहुपद नहीं है। केवल दो पद होना किसी व्यंजक को बहुपद नहीं बनाता; विकल्प B इसी कारण गलत है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(7/y=7y^{-1}\), so the exponent of \(y\) is \(-1\); therefore, \(7/y+2\) is not a polynomial. Having two terms alone does not make an expression a polynomial, so option B is incorrect. Exam tip: when a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
\(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) है और \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) and \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\). Due to the negative power, it is not a polynomial.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है, उसकी घात 3 कहलाती है और उसे घन बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(2x^3-x+5\) एक घन बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी सबसे बड़ी घात से निर्धारित करें। / A polynomial whose highest power of the variable is 3 has degree 3, so it is called a cubic polynomial. For example, \(2x^3-x+5\) is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, so it is not correct here. Exam tip: identify the name of a polynomial from its highest exponent.
A. \(x\) का घातांक \(-1\) है, जो बहुपद में स्वीकार्य नहीं है/The exponent of \(x\) is \(-1\), which is not allowed in a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
\(x\) में बहुपद के प्रत्येक पद में \(x\) का घातांक \(0,1,2,\ldots\) अर्थात पूर्ण अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(5x^{-1}+2\) में \(x\) हर में आ जाता है और यह बहुपद नहीं है। स्थिर पद और दो पद होना स्वीकार्य है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय पहले ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांकों की जाँच करें। / In a polynomial in \(x\), the exponent of \(x\) in every term must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(5x^{-1}+2\) has the variable in the denominator and is not a polynomial. A constant term and having two terms are both allowed. Exam tip: first check for negative or fractional exponents when identifying polynomials.
p(x)=2x-2-5 में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके दो पद, 2x-2 और -5, हैं; अतः यह द्विपद भी है। इसलिए सही पहचान द्विघात द्विपद है। रैखिक द्विपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद की पहचान के लिए पहले पदों की संख्या और फिर x की उच्चतम घात देखें। / In p(x)=2x-2-5, the highest power of x is 2, so it is a quadratic polynomial. It has two terms, 2x-2 and -5, making it a binomial. Hence, it is a quadratic binomial. A linear binomial would have highest degree 1. Exam tip: identify a polynomial by counting its terms and then finding the highest exponent of x.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। p(x)=9x-4 में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह घात 1 का रैखिक बहुपद है। स्थिर पद -4 घात को नहीं बदलता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उसका प्रकार पहचानें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In p(x)=9x-4, the highest power of x is 1, so it is a degree 1, or linear, polynomial. The constant term -4 does not affect the degree. Exam tip: identify the highest power of the variable to determine the type of a polynomial.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक, अर्थात् \(0,1,2,\ldots\), होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-3\) है। ऋणात्मक घात वाला पद होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) और स्थिर पद \(5\) दोनों बहुपद में मान्य हैं; केवल तीन पद होना भी कोई बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\), so \(x\) has exponent \(-3\). Since the expression contains a term with a negative exponent, it is not a polynomial. Both \(x^2\) and the constant term \(5\) are allowed in a polynomial; having three terms is also not a problem. Exam tip: when a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent to test whether the expression is a polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 4 है, क्योंकि पद 3x-4 उपस्थित है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 2, x-2 की घात है, लेकिन यह बहुपद की सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानें और फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 4, 2, and 0, and the greatest is 4 because of the term 3x-4. Therefore, the correct answer is 4. Although 2 is the exponent in x-2, it is not the highest exponent in the polynomial. Exam tip: Treat a non-zero constant term as having degree 0, then select the greatest exponent.
\(4z^3-2z+9\) में \(z\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(z\) में बहुपद है। विकल्प A और C में \(z^{-1}\) आता है तथा विकल्प D में \(z^{1/2}\) है; ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात होने पर व्यंजक बहुपद नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की प्रत्येक घात को \(0,1,2,\ldots\) के रूप में जाँचें। / In \(4z^3-2z+9\), the exponents of \(z\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(z\). Options A and C contain \(z^{-1}\), while option D contains \(z^{1/2}\); an expression with a negative or fractional exponent of the variable is not a polynomial. Exam tip: check that every variable exponent is one of \(0,1,2,\ldots\).
\(x^6+3x^4-5\) में \(x^6\) की घात 6 और \(3x^4\) की घात 4 है। स्थिर पद \(-5\) को \(-5x^0\) लिखा जा सकता है, इसलिए उसकी घात 0 है। विकल्प B में \(x^{-4}\) की ऋणात्मक घात है, जबकि विकल्प D में \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\) होता है। परीक्षा टिप: जिस गैर-शून्य स्थिर पद में चर नहीं होता, उसकी घात 0 होती है। / In \(x^6+3x^4-5\), \(x^6\) has power 6 and \(3x^4\) has power 4. The constant term \(-5\) can be written as \(-5x^0\), so its power is 0. In option B, the expression contains \(x^{-4}\), while in option D, \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\). Exam tip: Any non-zero constant term has power 0 in the variable.
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक स्थिर पद है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real constant term and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
\(x^6-4x^2+9\) में \(x\) की घातें 6, 2 और 0 हैं; स्थिर पद 9 की घात 0 होती है। ये सभी सम तथा अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह केवल सम घातों वाला बहुपद है। विकल्प B में \(x^5\) की घात विषम है। विकल्प C में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होने से भिन्नात्मक घात है; इसलिए दोनों बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^6-4x^2+9\), the powers of \(x\) are 6, 2, and 0; the constant term 9 has power 0. All are even, non-negative integers, so it is a polynomial with only even powers. In option B, \(x^5\) has an odd power. Option C has a negative exponent, and in option D, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: every exponent of a variable in a polynomial must be a non-negative integer.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\sin x\) is not such a term.
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है। सरल रूप में घातें (2) और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\). In the simplified form, the powers are (2) and (0), so it is a polynomial.
व्यंजक \(x^3-2x^2+5x-7\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। इसके चार पद हैं: x-3, -2x-2, 5x और -7। अतः सही पहचान घन चार-पदी बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पदों को + या - चिह्नों से अलग करके गिनें। / In \(x^3-2x^2+5x-7\), the highest power of x is 3, so it is a cubic polynomial. It has four terms: x-3, -2x-2, 5x, and -7. Hence, it is a cubic four-term polynomial. A quadratic polynomial would have highest degree 2. Exam tip: find the degree from the highest exponent of the variable, and count terms separated by + or - signs.
बहुपद की घात उसके अशून्य गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 0x-5 का गुणांक 0 है, इसलिए यह पद बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। शेष पदों में 8x-3 की घात सबसे बड़ी है, अतः p(x) की घात 3 है। 5 चुनना गलत होगा, क्योंकि शून्य गुणांक वाला पद नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the coefficient of 0x-5 is 0, so this term does not determine the degree. Among the remaining terms, 8x-3 has the greatest power; therefore, the degree of p(x) is 3. Choosing 5 would be incorrect because a term with a zero coefficient is ignored. Exam tip: first remove terms whose coefficients are zero before finding the degree.
\(\sqrt{13}\) वास्तविक गुणांक है और बहुपद में मान्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\sqrt{13}\) is a real coefficient and is allowed in a polynomial. The powers of the variable are (2), (1), and (0).
\(x^4+7x-3\) में \(x^4\), \(7x\) और \(-3\) में \(x\) की घातें क्रमशः \(4\), \(1\) और \(0\) हैं। क्योंकि \(-3=-3x^0\) होता है, इसलिए स्थिर पद में \(x\) की घात \(0\) मानी जाती है। विकल्प B में \(x^{-1}\) की घात \(-1\) है और विकल्प C में \(x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: किसी भी स्थिर पद को चर की शून्य घात के साथ लिखकर उसकी घात पहचानें। / In \(x^4+7x-3\), the powers of \(x\) in \(x^4\), \(7x\), and \(-3\) are \(4\), \(1\), and \(0\), respectively. Since \(-3=-3x^0\), a constant term has power \(0\) of the variable. Option B contains \(x^{-1}\), and option C contains the fractional power \(x^{1/2}\). Exam tip: write a constant as a multiple of \(x^0\) to identify its power quickly.
विकल्प B में \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}=2x+5x^{-1}\) है। यहाँ \(x\) की घात \(-1\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। विकल्प D में \(x^0=1\) होने से व्यंजक \(4+7x\) बनता है, जो बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँच करें। / In option B, \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}=2x+5x^{-1}\). The exponent of \(x\) is \(-1\). In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, so this expression is not a polynomial. In contrast, option D has \(x^0=1\), giving \(4+7x\), which is a polynomial. Exam tip: When a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent to test whether the expression is a polynomial.
बहुपद p(x)=4x-2-9x+11 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद 4x-2, -9x और 11 हैं, इसलिए यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी है। घन त्रिपदी के लिए सबसे बड़ी घात 3 होनी चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In p(x)=4x-2-9x+11, the highest power of x is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. It has three terms: 4x-2, -9x, and 11; therefore, it is also a trinomial. Hence, the correct identification is a quadratic trinomial. A cubic trinomial would have highest degree 3. Exam tip: first find the highest exponent, then count the terms to classify a polynomial.
विकल्प C, \(2x^2+x-5\), में तीन पद हैं: \(2x^2\), \(x\) और \(-5\)। चरों की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी है, अतः न एकपदी है और न द्विपदी। विकल्प B बहुपद तो है, पर उसके केवल दो पद हैं। विकल्प D में \(x^{-1}\) है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या गिनने से पहले सुनिश्चित करें कि चर की कोई घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / Option C, \(2x^2+x-5\), has three terms: \(2x^2\), \(x\), and \(-5\). The powers of the variable are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers, so it is a polynomial. Since it has three terms, it is a trinomial; therefore, it is neither a monomial nor a binomial. Option B is a polynomial but has only two terms. Option D contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: Before counting terms, check that no variable has a negative or fractional exponent.
भिन्न गुणांक मान्य होते हैं। \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\) में (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed. In \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\), the powers of (x) are (3), (1), and (0).
बहुपद में चर x की घातें 6, 4, 2 और 0 हैं; स्थिर पद 4 को x की घात 0 माना जाता है। ये सभी सम पूर्णांक घातें हैं, इसलिए सही विकल्प केवल सम घातें है। केवल विषम घातों वाले बहुपद में 1, 3, 5 जैसी घातें होतीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात हमेशा 0 गिनें। / The powers of x in the polynomial are 6, 4, 2, and 0; the constant term 4 has power 0. All of these are even integers, so the correct choice is only even powers. A polynomial with only odd powers would contain powers such as 1, 3, or 5. Exam tip: Always count the power of a constant term as 0.
\(-\frac{1}{2}\) न तो शून्य है और न धनात्मक पूर्णांक। इसलिए यह घात बहुपद में मान्य नहीं है। / \(-\frac{1}{2}\) is neither zero nor a positive integer. So this power is not valid in a polynomial.
\(b\) को स्थिर गुणांक मानने पर \(bx^4-3bx+2\) में \(x\) की घातें \(4,1\) और \(0\) हैं। ये सभी पूर्ण गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है और विकल्प C में \(x^{-4}\) है; दोनों में ऋणात्मक घात है। विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होने से भिन्नात्मक घात आती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / When \(b\) is treated as a constant coefficient, the powers of \(x\) in \(bx^4-3bx+2\) are \(4,1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Option B has \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), and option C has \(x^{-4}\); both contain negative powers. In option D, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), which gives a fractional power. Exam tip: powers of the variable in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
A. यह चार पदों वाला घन बहुपद है/It is a cubic polynomial with four terms
Explanation
Simple Explanation
दिया गया व्यंजक x-3, x-2, x और 1—इन चार पदों से बना है। इसकी सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है और यह घन बहुपद कहलाता है। विकल्प B में पदों की संख्या गलत है, जबकि विकल्प C में डिग्री गलत दी गई है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए शून्येतर गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The expression has four terms: x-3, x-2, x, and 1. Its highest power of x is 3, so its degree is 3 and it is a cubic polynomial. Option B has an incorrect number of terms, while option C has an incorrect degree. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\tan x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\tan x\) is not such a term.
बहुपद में वे पद अशून्य होते हैं जिनके गुणांक शून्य नहीं हैं। यहाँ \(5x^3\) का गुणांक 5 और स्थिर पद \(-12\) का गुणांक \(-12\) है, इसलिए ये दोनों अशून्य पद हैं। \(0x^2\) और \(0x\) के गुणांक 0 हैं, इसलिए वे बहुपद में कोई पद नहीं जोड़ते। अतः अशून्य पदों की संख्या 2 है। परीक्षा टिप: पद गिनने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / A non-zero term in a polynomial has a coefficient that is not zero. Here, \(5x^3\) has coefficient 5 and the constant term \(-12\) has coefficient \(-12\), so both are non-zero terms. The terms \(0x^2\) and \(0x\) have coefficient 0 and do not contribute any term to the polynomial. Therefore, there are 2 non-zero terms. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before counting terms.
\(4x^4-3x^2\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। सभी घातें मान्य हैं। / In \(4x^4-3x^2\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). All powers are valid.
A. क्योंकि यह \(x^2+x\) बनता है/Because it becomes \(x^2+x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\) है। यह बहुपद है, इसलिए सही कारण यह है कि इसमें घातें (2) और (1) मान्य हैं। / \(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\). It is a polynomial, so the correct reason is that powers (2) and (1) are valid.
C. यह द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial
Explanation
Simple Explanation
y((x+2)2) को विस्तारित करने पर
y\(x^2+4x+4\) प्राप्त होता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। कोष्ठक होने से कोई व्यंजक बहुपद होना बंद नहीं होता; उन्हें हटाने के लिए विस्तार किया जाता है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले कोष्ठकों वाले व्यंजक को सरल या विस्तारित कर लें। / On expanding
y((x+2)2), we get
y\(x^2+4x+4\). The highest power of x is 2, so the polynomial has degree 2 and is quadratic. Brackets do not make an expression non-polynomial; they can be removed by expansion. Exam tip: Simplify or expand bracketed expressions before identifying the degree of a polynomial.
\(5+x^3-2x\) में घातें (0), (3), (1) हैं, पर सभी मान्य हैं। घटते क्रम में लिखना जरूरी नहीं है। / In \(5+x^3-2x\), the powers are (0), (3), and (1), but all are valid. Writing in descending order is not required.
