Which expression gives the polynomial \(x^2+1\) after simplification for \(x\neq0\)?किस व्यंजक को \(x\neq0\) पर सरल करने के बाद बहुपद \(x^2+1\) मिलेगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(\frac{x^3+x}{x}\)\(\frac{x^3+x}{x}\)
An expression containing a variable in a denominator is not automatically a polynomial in its original form. However, when the question permits simplification under a stated restriction, common factors may be cancelled carefully. The restriction \\(x\ne0\\) is essential here because division by x is otherwise undefined.
For option A, factor or divide each term in the numerator by x: \\(\frac{x^3+x}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{x}{x}=x^2+1\\), provided \\(x\ne0\\). The result has powers 2 and 0, so it is the polynomial \\(x^2+1\\). The other options still contain negative powers or do not simplify to the required expression. Therefore option A is correct.हर में चर होने वाला व्यंजक अपने मूल रूप में तुरंत बहुपद नहीं माना जाता। लेकिन प्रश्न में दी गई शर्त के अंतर्गत समान गुणक को सावधानी से काटकर सरल किया जा सकता है। यहाँ \\(x\ne0\\) की शर्त आवश्यक है, क्योंकि x से भाग देना तभी परिभाषित है।
विकल्प A में अंश के दोनों पदों को x से भाग दें: \\(\frac{x^3+x}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{x}{x}=x^2+1\\), जहाँ \\(x\ne0\\)। सरल रूप में घातें 2 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद \\(x^2+1\\) है। अन्य विकल्प आवश्यक रूप नहीं देते या ऋणात्मक घात बनाए रखते हैं। अतः विकल्प A सही है।
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