\(5x^{-3}+1\) में \(x\) की घात \(-3\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(7x^0-4x\) बहुपद है क्योंकि \(x^0=1\) होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर के रूप में हर में तो नहीं है। / In \(5x^{-3}+1\), the exponent of \(x\) is \(-3\), which is negative. In a polynomial, the exponents of variables must be non-negative integers, so this expression is not a polynomial. \(7x^0-4x\) is a polynomial because \(x^0=1\). Exam tip: while identifying polynomials, check that no variable has a negative or fractional exponent, or appears in the denominator.
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 7, 3, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए सही उत्तर 7 है। 8 केवल स्थिर पद है, x की घात नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 होती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. The exponents of the terms here are 7, 3, 1, and 0. The greatest is 7, so the degree is 7. The number 8 is a constant term, not an exponent of x. Exam tip: a non-zero constant has degree 0.
(23) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (23) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
रैखिक बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है और उसका गुणांक शून्य नहीं होता। \(5t-9\) में \(t\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(t^2+1\) द्विघात है, जबकि \(12\) एक अचर बहुपद है जिसकी घात 0 है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has highest power of the variable equal to 1, with a non-zero coefficient of that variable. In \(5t-9\), the highest power of \(t\) is 1, so it is a linear polynomial. \(t^2+1\) is quadratic, while \(12\) is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: To find the degree of a polynomial, look for the greatest exponent of its variable.
B. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
शून्येतर संख्या या चर के लिए शून्य घात का नियम है: \(x^0=1\), जहाँ \(x\ne0\)। अतः \(9x^0=9\times1=9\) होता है और व्यंजक \(9+4x\) बन जाता है। \(9\), \(x^0\) का मान नहीं, बल्कि \(9x^0\) का गुणांक है। परीक्षा टिप: किसी भी पद में घात 0 दिखे, तो पहले जाँचें कि आधार शून्य नहीं है और फिर उसका मान 1 रखें। / For any non-zero number or variable, the zero-exponent rule is \(x^0=1\), where \(x\ne0\). Therefore, \(9x^0=9\times1=9\), and the expression becomes \(9+4x\). The number 9 is the coefficient of \(x^0\), not the value of \(x^0\). Exam tip: When you see exponent 0, first ensure that the base is non-zero, then replace that power by 1.
\(3x^2+\frac{5}{8}x-2\) बहुपद है क्योंकि इसमें \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। बहुपद के गुणांक भिन्न हो सकते हैं; इसलिए \(\frac{5}{8}\) होने से यह बहुपद नहीं बनना बंद नहीं होता। विकल्प B और D में \(x\) हर में है, अर्थात उसकी ऋणात्मक घात है, जबकि विकल्प C में \(x\) की भिन्नात्मक घात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की घातें हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक हैं या नहीं, यह जाँचें। / \(3x^2+\frac{5}{8}x-2\) is a polynomial because the exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Polynomial coefficients may be fractions, so \(\frac{5}{8}\) is allowed. In options B and D, \(x\) is in the denominator, which gives a negative exponent; option C has the fractional exponent \(\frac{1}{2}\). Exam tip: while identifying a polynomial, check that every variable exponent is a non-negative integer.
बहुपद में जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होने वाले भाग पद कहलाते हैं। यहाँ पद हैं: \(x^4\), \(-3x^2\), \(2x\) और \(-11\)। इसलिए कुल 4 पद हैं। \(-3x^2\) और \(-11\) में ऋण चिह्न उनके पद का हिस्सा है, वे अलग पद नहीं बनाते। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए केवल + और − चिह्नों से अलग हुए व्यंजकों को गिनें। / Terms of a polynomial are the parts separated by addition or subtraction signs. Here the terms are \(x^4\), \(-3x^2\), \(2x\), and \(-11\). Therefore, the polynomial has 4 terms. The minus signs in \(-3x^2\) and \(-11\) belong to those terms; they do not create extra terms. Exam tip: Count the expressions separated by + or − signs.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ा उपस्थित पद 7x-5 है, इसलिए बहुपद की घात 5 है। x-4, x-3 और x-2 पदों का न होना घात को कम नहीं करता; 4 केवल अगली छोटी संभावित घात है, सही घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय केवल शून्येतर गुणांक वाले पदों में x की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the highest present term is 7x-5, so the degree is 5. The absence of x-4, x-3, and x-2 does not reduce the degree; 4 is only the next lower possible exponent, not the degree. Exam tip: To find the degree, look for the largest power of x with a non-zero coefficient.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यही परिभाषा की सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable must be zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
C. क्योंकि (x^{2/5}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{2 / 5}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{2/5}\) की घात \(\frac{2}{5}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. The power in \(x^{2/5}\) is \(\frac{2}{5}\), which is not an integer.
बहुपद की घात उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(0x^5\) शून्य पद है, इसलिए इसे नहीं गिना जाता। शेष पदों में \(4x^3\) की घात सबसे बड़ी, अर्थात 3, है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि \(x^5\) का गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, \(0x^5\) is a zero term, so it is ignored. Among the remaining terms, \(4x^3\) has the highest exponent, 3. Option 5 is incorrect because the coefficient of \(x^5\) is 0. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(x^{-4}+8\) में \(x\) की घात \(-4\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं, इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसमें \(8\) स्थिर पद है। अन्य विकल्पों में \(x\) की घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात दिखे, तो उसे बहुपद न मानें। / In \(x^{-4}+8\), the exponent of \(x\) is \(-4\), which is negative. In a polynomial, variable exponents must be zero or positive integers, so this is not a polynomial. The number \(8\) is its constant term. The other options have only non-negative integer exponents of \(x\), so they are polynomials. Exam tip: A negative, fractional, or variable exponent indicates that an expression is not a polynomial.
B. द्विघात त्रिपद बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(x^2-6x+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसके तीन पद \(x^2\), \(-6x\) और \(9\) हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः यह द्विघात त्रिपद बहुपद है। घन त्रिपद में सबसे बड़ी घात \(3\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In the polynomial \(x^2-6x+9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is quadratic. It has three terms: \(x^2\), \(-6x\), and \(9\), making it a trinomial. Hence, it is a quadratic trinomial polynomial. A cubic trinomial would have highest degree \(3\). Exam tip: identify the highest power first, then count the terms.
A. \(7/y+2 बहुपद नहीं है, क्योंकि \(7 / y=7y^{-1}\) में \(y\) की घात \(-1\) है। / y+2 is not a polynomial because \(7 / y=7y^{-1}\) has exponent \(-1\) of \(y\).
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(7/y=7y^{-1}\) है, इसलिए \(y\) की घात \(-1\) होने के कारण \(7/y+2\) बहुपद नहीं है। केवल दो पद होना किसी व्यंजक को बहुपद नहीं बनाता; विकल्प B इसी कारण गलत है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(7/y=7y^{-1}\), so the exponent of \(y\) is \(-1\); therefore, \(7/y+2\) is not a polynomial. Having two terms alone does not make an expression a polynomial, so option B is incorrect. Exam tip: when a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
\(6x^4-x+3\) में \(x\) की घातें \(4\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए यह बहुपद है। इसकी सबसे बड़ी घात \(4\) है, अतः यह घात \(2\) का बहुपद नहीं है। \(x^2+5x+6\) घात \(2\) का बहुपद है। \(\sqrt{x}+2\) और \(\frac{1}{x}+x^2\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें \(x\) की घात क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(-1\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक होती हैं; सबसे बड़ी घात ही बहुपद की घात होती है। / In \(6x^4-x+3\), the powers of \(x\) are \(4\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial. Its highest power is \(4\), therefore it is not a polynomial of degree \(2\). \(x^2+5x+6\) is a degree-\(2\) polynomial. \(\sqrt{x}+2\) and \(\frac{1}{x}+x^2\) are not polynomials because they contain powers \(\frac{1}{2}\) and \(-1\), respectively. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers, and the greatest exponent gives the degree.
\(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) है और \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) and \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\). Due to the negative power, it is not a polynomial.
जिस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है, उसकी घात 3 कहलाती है और उसे घन बहुपद कहते हैं। उदाहरण के लिए, \(2x^3-x+5\) एक घन बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का नाम उसकी सबसे बड़ी घात से निर्धारित करें। / A polynomial whose highest power of the variable is 3 has degree 3, so it is called a cubic polynomial. For example, \(2x^3-x+5\) is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, so it is not correct here. Exam tip: identify the name of a polynomial from its highest exponent.
A. \(x\) का घातांक \(-1\) है, जो बहुपद में स्वीकार्य नहीं है/The exponent of \(x\) is \(-1\), which is not allowed in a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
\(x\) में बहुपद के प्रत्येक पद में \(x\) का घातांक \(0,1,2,\ldots\) अर्थात पूर्ण अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(5x^{-1}+2\) में \(x\) हर में आ जाता है और यह बहुपद नहीं है। स्थिर पद और दो पद होना स्वीकार्य है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय पहले ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांकों की जाँच करें। / In a polynomial in \(x\), the exponent of \(x\) in every term must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(5x^{-1}+2\) has the variable in the denominator and is not a polynomial. A constant term and having two terms are both allowed. Exam tip: first check for negative or fractional exponents when identifying polynomials.
p(x)=2x-2-5 में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके दो पद, 2x-2 और -5, हैं; अतः यह द्विपद भी है। इसलिए सही पहचान द्विघात द्विपद है। रैखिक द्विपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद की पहचान के लिए पहले पदों की संख्या और फिर x की उच्चतम घात देखें। / In p(x)=2x-2-5, the highest power of x is 2, so it is a quadratic polynomial. It has two terms, 2x-2 and -5, making it a binomial. Hence, it is a quadratic binomial. A linear binomial would have highest degree 1. Exam tip: identify a polynomial by counting its terms and then finding the highest exponent of x.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। p(x)=9x-4 में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह घात 1 का रैखिक बहुपद है। स्थिर पद -4 घात को नहीं बदलता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उसका प्रकार पहचानें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In p(x)=9x-4, the highest power of x is 1, so it is a degree 1, or linear, polynomial. The constant term -4 does not affect the degree. Exam tip: identify the highest power of the variable to determine the type of a polynomial.
\(2x^5-x^2+3\) में \(x\) की घातें \(5\), \(2\) और \(0\) हैं। ये सभी अशून्येतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक बहुपद है। इसकी सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः इसकी घात \(5\) है। \(x^{5/2}+2\) में भिन्नात्मक घात है, जबकि \(x^{-5}+4\) तथा \(\frac{1}{x^5}+1\) में \(x\) की ऋणात्मक घात होती है; इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(2x^5-x^2+3\), the powers of \(x\) are \(5\), \(2\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial. Its highest power is \(5\), hence its degree is \(5\). \(x^{5/2}+2\) has a fractional exponent, whereas \(x^{-5}+4\) and \(\frac{1}{x^5}+1\) have negative powers of \(x\); therefore, they are not polynomials. Exam tip: In a polynomial, an exponent of a variable can only be \(0,1,2,\ldots\).
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक, अर्थात् \(0,1,2,\ldots\), होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-3\) है। ऋणात्मक घात वाला पद होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) और स्थिर पद \(5\) दोनों बहुपद में मान्य हैं; केवल तीन पद होना भी कोई बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\), so \(x\) has exponent \(-3\). Since the expression contains a term with a negative exponent, it is not a polynomial. Both \(x^2\) and the constant term \(5\) are allowed in a polynomial; having three terms is also not a problem. Exam tip: when a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent to test whether the expression is a polynomial.
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 4 है, क्योंकि पद 3x-4 उपस्थित है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 2, x-2 की घात है, लेकिन यह बहुपद की सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानें और फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 4, 2, and 0, and the greatest is 4 because of the term 3x-4. Therefore, the correct answer is 4. Although 2 is the exponent in x-2, it is not the highest exponent in the polynomial. Exam tip: Treat a non-zero constant term as having degree 0, then select the greatest exponent.
\(4z^3-2z+9\) में \(z\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(z\) में बहुपद है। विकल्प A और C में \(z^{-1}\) आता है तथा विकल्प D में \(z^{1/2}\) है; ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात होने पर व्यंजक बहुपद नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की प्रत्येक घात को \(0,1,2,\ldots\) के रूप में जाँचें। / In \(4z^3-2z+9\), the exponents of \(z\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(z\). Options A and C contain \(z^{-1}\), while option D contains \(z^{1/2}\); an expression with a negative or fractional exponent of the variable is not a polynomial. Exam tip: check that every variable exponent is one of \(0,1,2,\ldots\).
\(x^6+3x^4-5\) में \(x^6\) की घात 6 और \(3x^4\) की घात 4 है। स्थिर पद \(-5\) को \(-5x^0\) लिखा जा सकता है, इसलिए उसकी घात 0 है। विकल्प B में \(x^{-4}\) की ऋणात्मक घात है, जबकि विकल्प D में \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\) होता है। परीक्षा टिप: जिस गैर-शून्य स्थिर पद में चर नहीं होता, उसकी घात 0 होती है। / In \(x^6+3x^4-5\), \(x^6\) has power 6 and \(3x^4\) has power 4. The constant term \(-5\) can be written as \(-5x^0\), so its power is 0. In option B, the expression contains \(x^{-4}\), while in option D, \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\). Exam tip: Any non-zero constant term has power 0 in the variable.
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक स्थिर पद है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real constant term and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
\(x^6-4x^2+9\) में \(x\) की घातें 6, 2 और 0 हैं; स्थिर पद 9 की घात 0 होती है। ये सभी सम तथा अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह केवल सम घातों वाला बहुपद है। विकल्प B में \(x^5\) की घात विषम है। विकल्प C में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होने से भिन्नात्मक घात है; इसलिए दोनों बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^6-4x^2+9\), the powers of \(x\) are 6, 2, and 0; the constant term 9 has power 0. All are even, non-negative integers, so it is a polynomial with only even powers. In option B, \(x^5\) has an odd power. Option C has a negative exponent, and in option D, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: every exponent of a variable in a polynomial must be a non-negative integer.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\sin x\) is not such a term.
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है। सरल रूप में घातें (2) और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\). In the simplified form, the powers are (2) and (0), so it is a polynomial.
व्यंजक \(x^3-2x^2+5x-7\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है। इसके चार पद हैं: x-3, -2x-2, 5x और -7। अतः सही पहचान घन चार-पदी बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पदों को + या - चिह्नों से अलग करके गिनें। / In \(x^3-2x^2+5x-7\), the highest power of x is 3, so it is a cubic polynomial. It has four terms: x-3, -2x-2, 5x, and -7. Hence, it is a cubic four-term polynomial. A quadratic polynomial would have highest degree 2. Exam tip: find the degree from the highest exponent of the variable, and count terms separated by + or - signs.
बहुपद की घात उसके अशून्य गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 0x-5 का गुणांक 0 है, इसलिए यह पद बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। शेष पदों में 8x-3 की घात सबसे बड़ी है, अतः p(x) की घात 3 है। 5 चुनना गलत होगा, क्योंकि शून्य गुणांक वाला पद नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the coefficient of 0x-5 is 0, so this term does not determine the degree. Among the remaining terms, 8x-3 has the greatest power; therefore, the degree of p(x) is 3. Choosing 5 would be incorrect because a term with a zero coefficient is ignored. Exam tip: first remove terms whose coefficients are zero before finding the degree.
\(\sqrt{13}\) वास्तविक गुणांक है और बहुपद में मान्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\sqrt{13}\) is a real coefficient and is allowed in a polynomial. The powers of the variable are (2), (1), and (0).
\(x^4+7x-3\) में \(x^4\), \(7x\) और \(-3\) में \(x\) की घातें क्रमशः \(4\), \(1\) और \(0\) हैं। क्योंकि \(-3=-3x^0\) होता है, इसलिए स्थिर पद में \(x\) की घात \(0\) मानी जाती है। विकल्प B में \(x^{-1}\) की घात \(-1\) है और विकल्प C में \(x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: किसी भी स्थिर पद को चर की शून्य घात के साथ लिखकर उसकी घात पहचानें। / In \(x^4+7x-3\), the powers of \(x\) in \(x^4\), \(7x\), and \(-3\) are \(4\), \(1\), and \(0\), respectively. Since \(-3=-3x^0\), a constant term has power \(0\) of the variable. Option B contains \(x^{-1}\), and option C contains the fractional power \(x^{1/2}\). Exam tip: write a constant as a multiple of \(x^0\) to identify its power quickly.
विकल्प B में \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}=2x+5x^{-1}\) है। यहाँ \(x\) की घात \(-1\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। विकल्प D में \(x^0=1\) होने से व्यंजक \(4+7x\) बनता है, जो बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँच करें। / In option B, \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}=2x+5x^{-1}\). The exponent of \(x\) is \(-1\). In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, so this expression is not a polynomial. In contrast, option D has \(x^0=1\), giving \(4+7x\), which is a polynomial. Exam tip: When a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent to test whether the expression is a polynomial.
बहुपद p(x)=4x-2-9x+11 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद 4x-2, -9x और 11 हैं, इसलिए यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी है। घन त्रिपदी के लिए सबसे बड़ी घात 3 होनी चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In p(x)=4x-2-9x+11, the highest power of x is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. It has three terms: 4x-2, -9x, and 11; therefore, it is also a trinomial. Hence, the correct identification is a quadratic trinomial. A cubic trinomial would have highest degree 3. Exam tip: first find the highest exponent, then count the terms to classify a polynomial.
विकल्प C, \(2x^2+x-5\), में तीन पद हैं: \(2x^2\), \(x\) और \(-5\)। चरों की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी है, अतः न एकपदी है और न द्विपदी। विकल्प B बहुपद तो है, पर उसके केवल दो पद हैं। विकल्प D में \(x^{-1}\) है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या गिनने से पहले सुनिश्चित करें कि चर की कोई घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / Option C, \(2x^2+x-5\), has three terms: \(2x^2\), \(x\), and \(-5\). The powers of the variable are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers, so it is a polynomial. Since it has three terms, it is a trinomial; therefore, it is neither a monomial nor a binomial. Option B is a polynomial but has only two terms. Option D contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: Before counting terms, check that no variable has a negative or fractional exponent.
भिन्न गुणांक मान्य होते हैं। \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\) में (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed. In \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\), the powers of (x) are (3), (1), and (0).
बहुपद में चर x की घातें 6, 4, 2 और 0 हैं; स्थिर पद 4 को x की घात 0 माना जाता है। ये सभी सम पूर्णांक घातें हैं, इसलिए सही विकल्प केवल सम घातें है। केवल विषम घातों वाले बहुपद में 1, 3, 5 जैसी घातें होतीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात हमेशा 0 गिनें। / The powers of x in the polynomial are 6, 4, 2, and 0; the constant term 4 has power 0. All of these are even integers, so the correct choice is only even powers. A polynomial with only odd powers would contain powers such as 1, 3, or 5. Exam tip: Always count the power of a constant term as 0.
\(-\frac{1}{2}\) न तो शून्य है और न धनात्मक पूर्णांक। इसलिए यह घात बहुपद में मान्य नहीं है। / \(-\frac{1}{2}\) is neither zero nor a positive integer. So this power is not valid in a polynomial.
\(b\) को स्थिर गुणांक मानने पर \(bx^4-3bx+2\) में \(x\) की घातें \(4,1\) और \(0\) हैं। ये सभी पूर्ण गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है और विकल्प C में \(x^{-4}\) है; दोनों में ऋणात्मक घात है। विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होने से भिन्नात्मक घात आती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / When \(b\) is treated as a constant coefficient, the powers of \(x\) in \(bx^4-3bx+2\) are \(4,1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Option B has \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), and option C has \(x^{-4}\); both contain negative powers. In option D, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), which gives a fractional power. Exam tip: powers of the variable in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
A. यह चार पदों वाला घन बहुपद है/It is a cubic polynomial with four terms
Explanation
Simple Explanation
दिया गया व्यंजक x-3, x-2, x और 1—इन चार पदों से बना है। इसकी सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है और यह घन बहुपद कहलाता है। विकल्प B में पदों की संख्या गलत है, जबकि विकल्प C में डिग्री गलत दी गई है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए शून्येतर गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The expression has four terms: x-3, x-2, x, and 1. Its highest power of x is 3, so its degree is 3 and it is a cubic polynomial. Option B has an incorrect number of terms, while option C has an incorrect degree. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\tan x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\tan x\) is not such a term.
बहुपद में वे पद अशून्य होते हैं जिनके गुणांक शून्य नहीं हैं। यहाँ \(5x^3\) का गुणांक 5 और स्थिर पद \(-12\) का गुणांक \(-12\) है, इसलिए ये दोनों अशून्य पद हैं। \(0x^2\) और \(0x\) के गुणांक 0 हैं, इसलिए वे बहुपद में कोई पद नहीं जोड़ते। अतः अशून्य पदों की संख्या 2 है। परीक्षा टिप: पद गिनने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / A non-zero term in a polynomial has a coefficient that is not zero. Here, \(5x^3\) has coefficient 5 and the constant term \(-12\) has coefficient \(-12\), so both are non-zero terms. The terms \(0x^2\) and \(0x\) have coefficient 0 and do not contribute any term to the polynomial. Therefore, there are 2 non-zero terms. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before counting terms.
\(4x^4-3x^2\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। सभी घातें मान्य हैं। / In \(4x^4-3x^2\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). All powers are valid.
A. क्योंकि यह \(x^2+x\) बनता है/Because it becomes \(x^2+x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\) है। यह बहुपद है, इसलिए सही कारण यह है कि इसमें घातें (2) और (1) मान्य हैं। / \(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\). It is a polynomial, so the correct reason is that powers (2) and (1) are valid.
C. यह द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial
Explanation
Simple Explanation
y((x+2)2) को विस्तारित करने पर
y\(x^2+4x+4\) प्राप्त होता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। कोष्ठक होने से कोई व्यंजक बहुपद होना बंद नहीं होता; उन्हें हटाने के लिए विस्तार किया जाता है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले कोष्ठकों वाले व्यंजक को सरल या विस्तारित कर लें। / On expanding
y((x+2)2), we get
y\(x^2+4x+4\). The highest power of x is 2, so the polynomial has degree 2 and is quadratic. Brackets do not make an expression non-polynomial; they can be removed by expansion. Exam tip: Simplify or expand bracketed expressions before identifying the degree of a polynomial.
\(5+x^3-2x\) में घातें (0), (3), (1) हैं, पर सभी मान्य हैं। घटते क्रम में लिखना जरूरी नहीं है। / In \(5+x^3-2x\), the powers are (0), (3), and (1), but all are valid. Writing in descending order is not required.
