definition of polynomial MCQ Questions for Class 9
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C. यह द्विघात बहुपद है और इसकी डिग्री \(2\) है/It is a quadratic polynomial and its degree is \(2\).
Explanation
Simple Explanation
\(5x^2-\pi x+\sqrt{3}\) में \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह बहुपद है। \(\pi\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय हैं, फिर भी वे वास्तविक स्थिरांक हैं और बहुपद के वैध गुणांक हो सकते हैं। सबसे बड़ी घात \(2\) होने से यह द्विघात बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल \(x\) पद होने से बहुपद रैखिक नहीं हो जाता; सबसे बड़ी घात देखी जाती है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / In \(5x^2-\pi x+\sqrt{3}\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial. Although \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are irrational, they are real constants and may be valid polynomial coefficients. Since the highest power is \(2\), it is a quadratic polynomial. Option B is incorrect because the presence of an \(x\)-term alone does not make a polynomial linear; its highest power determines the degree. Exam tip: find the greatest exponent of the variable to determine the degree.
\(b\) को स्थिर गुणांक मानने पर \(bx^4-3bx+2\) में \(x\) की घातें \(4,1\) और \(0\) हैं। ये सभी पूर्ण गैर-ऋणात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है और विकल्प C में \(x^{-4}\) है; दोनों में ऋणात्मक घात है। विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होने से भिन्नात्मक घात आती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / When \(b\) is treated as a constant coefficient, the powers of \(x\) in \(bx^4-3bx+2\) are \(4,1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Option B has \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), and option C has \(x^{-4}\); both contain negative powers. In option D, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), which gives a fractional power. Exam tip: powers of the variable in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
विकल्प C, \(2x^2+x-5\), में तीन पद हैं: \(2x^2\), \(x\) और \(-5\)। चरों की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी है, अतः न एकपदी है और न द्विपदी। विकल्प B बहुपद तो है, पर उसके केवल दो पद हैं। विकल्प D में \(x^{-1}\) है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या गिनने से पहले सुनिश्चित करें कि चर की कोई घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / Option C, \(2x^2+x-5\), has three terms: \(2x^2\), \(x\), and \(-5\). The powers of the variable are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers, so it is a polynomial. Since it has three terms, it is a trinomial; therefore, it is neither a monomial nor a binomial. Option B is a polynomial but has only two terms. Option D contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: Before counting terms, check that no variable has a negative or fractional exponent.
बहुपद p(x)=4x-2-9x+11 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद 4x-2, -9x और 11 हैं, इसलिए यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी है। घन त्रिपदी के लिए सबसे बड़ी घात 3 होनी चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In p(x)=4x-2-9x+11, the highest power of x is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. It has three terms: 4x-2, -9x, and 11; therefore, it is also a trinomial. Hence, the correct identification is a quadratic trinomial. A cubic trinomial would have highest degree 3. Exam tip: first find the highest exponent, then count the terms to classify a polynomial.
विकल्प B में \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}=2x+5x^{-1}\) है। यहाँ \(x\) की घात \(-1\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। विकल्प D में \(x^0=1\) होने से व्यंजक \(4+7x\) बनता है, जो बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँच करें। / In option B, \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}=2x+5x^{-1}\). The exponent of \(x\) is \(-1\). In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, so this expression is not a polynomial. In contrast, option D has \(x^0=1\), giving \(4+7x\), which is a polynomial. Exam tip: When a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent to test whether the expression is a polynomial.
\(4z^3-2z+9\) में \(z\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(z\) में बहुपद है। विकल्प A और C में \(z^{-1}\) आता है तथा विकल्प D में \(z^{1/2}\) है; ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात होने पर व्यंजक बहुपद नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की प्रत्येक घात को \(0,1,2,\ldots\) के रूप में जाँचें। / In \(4z^3-2z+9\), the exponents of \(z\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(z\). Options A and C contain \(z^{-1}\), while option D contains \(z^{1/2}\); an expression with a negative or fractional exponent of the variable is not a polynomial. Exam tip: check that every variable exponent is one of \(0,1,2,\ldots\).
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक, अर्थात् \(0,1,2,\ldots\), होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-3\) है। ऋणात्मक घात वाला पद होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) और स्थिर पद \(5\) दोनों बहुपद में मान्य हैं; केवल तीन पद होना भी कोई बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\), so \(x\) has exponent \(-3\). Since the expression contains a term with a negative exponent, it is not a polynomial. Both \(x^2\) and the constant term \(5\) are allowed in a polynomial; having three terms is also not a problem. Exam tip: when a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent to test whether the expression is a polynomial.
A. \(x\) का घातांक \(-1\) है, जो बहुपद में स्वीकार्य नहीं है/The exponent of \(x\) is \(-1\), which is not allowed in a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
\(x\) में बहुपद के प्रत्येक पद में \(x\) का घातांक \(0,1,2,\ldots\) अर्थात पूर्ण अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(5x^{-1}+2\) में \(x\) हर में आ जाता है और यह बहुपद नहीं है। स्थिर पद और दो पद होना स्वीकार्य है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय पहले ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांकों की जाँच करें। / In a polynomial in \(x\), the exponent of \(x\) in every term must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(5x^{-1}+2\) has the variable in the denominator and is not a polynomial. A constant term and having two terms are both allowed. Exam tip: first check for negative or fractional exponents when identifying polynomials.
A. \(7/y+2 बहुपद नहीं है, क्योंकि \(7 / y=7y^{-1}\) में \(y\) की घात \(-1\) है। / y+2 is not a polynomial because \(7 / y=7y^{-1}\) has exponent \(-1\) of \(y\).
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(7/y=7y^{-1}\) है, इसलिए \(y\) की घात \(-1\) होने के कारण \(7/y+2\) बहुपद नहीं है। केवल दो पद होना किसी व्यंजक को बहुपद नहीं बनाता; विकल्प B इसी कारण गलत है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(7/y=7y^{-1}\), so the exponent of \(y\) is \(-1\); therefore, \(7/y+2\) is not a polynomial. Having two terms alone does not make an expression a polynomial, so option B is incorrect. Exam tip: when a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
B. द्विघात त्रिपद बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(x^2-6x+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसके तीन पद \(x^2\), \(-6x\) और \(9\) हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः यह द्विघात त्रिपद बहुपद है। घन त्रिपद में सबसे बड़ी घात \(3\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए पहले सबसे बड़ी घात और फिर पदों की संख्या गिनें। / In the polynomial \(x^2-6x+9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is quadratic. It has three terms: \(x^2\), \(-6x\), and \(9\), making it a trinomial. Hence, it is a quadratic trinomial polynomial. A cubic trinomial would have highest degree \(3\). Exam tip: identify the highest power first, then count the terms.
\(3x^2+\frac{5}{8}x-2\) बहुपद है क्योंकि इसमें \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। बहुपद के गुणांक भिन्न हो सकते हैं; इसलिए \(\frac{5}{8}\) होने से यह बहुपद नहीं बनना बंद नहीं होता। विकल्प B और D में \(x\) हर में है, अर्थात उसकी ऋणात्मक घात है, जबकि विकल्प C में \(x\) की भिन्नात्मक घात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की घातें हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक हैं या नहीं, यह जाँचें। / \(3x^2+\frac{5}{8}x-2\) is a polynomial because the exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Polynomial coefficients may be fractions, so \(\frac{5}{8}\) is allowed. In options B and D, \(x\) is in the denominator, which gives a negative exponent; option C has the fractional exponent \(\frac{1}{2}\). Exam tip: while identifying a polynomial, check that every variable exponent is a non-negative integer.
\(5x^{-3}+1\) में \(x\) की घात \(-3\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(7x^0-4x\) बहुपद है क्योंकि \(x^0=1\) होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर के रूप में हर में तो नहीं है। / In \(5x^{-3}+1\), the exponent of \(x\) is \(-3\), which is negative. In a polynomial, the exponents of variables must be non-negative integers, so this expression is not a polynomial. \(7x^0-4x\) is a polynomial because \(x^0=1\). Exam tip: while identifying polynomials, check that no variable has a negative or fractional exponent, or appears in the denominator.
C. क्योंकि \(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\) होने के कारण व्यंजक में \(x\) की घात \(-4\) है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। दो पद होना या नियतांक पद का न होना किसी व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / Since \(\frac{3}{x^4}=3x^{-4}\), the expression contains \(x\) with exponent \(-4\). In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer; negative exponents are not allowed. Having two terms or no constant term does not make an expression non-polynomial. Exam tip: If a variable is in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
D. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में प्रत्येक चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-2\) है। ऋणात्मक घात होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^3\) पद मान्य है और बहुपद में नियतांक पद होना आवश्यक नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले हर चर की घात जाँचें। / In a polynomial, the exponent of every variable must be a non-negative integer. Here, \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), so the exponent of \(x\) is \(-2\). Since this exponent is negative, the expression is not a polynomial. The term \(x^3\) is valid, and a polynomial does not need to have a constant term. Exam tip: check the exponent of each variable before identifying an expression as a polynomial.
C. यह एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/It is a polynomial because its coefficients are real numbers and the exponents of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C सही है। \(\pi\), \(\sqrt{2}\) और \(-5\) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए वे बहुपद के गुणांक हो सकते हैं। यहाँ \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए दिया गया व्यंजक \(x\) में द्विघात बहुपद है। विकल्प A और B गलत हैं, क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भी गुणांक हो सकती हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय गुणांकों के बजाय चर की घातों की जाँच करें। / Option C is correct. \(\pi\), \(\sqrt{2}\), and \(-5\) are all real numbers, so they may be coefficients of a polynomial. The exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, the given expression is a quadratic polynomial in \(x\). Options A and B are incorrect because irrational numbers can also be coefficients. Exam tip: when identifying a polynomial, check the exponents of the variable rather than whether the coefficients are rational.
B. क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) gives \(x\) a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात् \(0,1,2,\dots\), हो सकती है। यहाँ \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है। ऋणात्मक घात होने के कारण यह व्यंजक बहुपद नहीं है। दो पद होना या नियतांक पद का शून्य होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\dots\). Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Hence, the expression is not a polynomial. Having two terms or a zero constant term does not stop an expression from being a polynomial. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because all powers of x are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(7x^4-x^2+3x-2\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं तथा ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। अचर पद -2 को -2x-0 लिखा जा सकता है, इसलिए वह भी मान्य है। चार पद होना या घात 4 होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, ... जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(7x^4-x^2+3x-2\) is a polynomial because the powers of x are 4, 2, 1, and 0, all of which are non-negative integers. The constant term -2 can be written as -2x-0, so it is also valid. Having four terms or degree 4 does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and so on.
C. क्योंकि इसमें चर की ऋणात्मक घात वाला पद \(x^{-1}\) है/Because it contains the term \(x^{-1}\), in which the variable has a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, जैसे 0, 1, 2, 3 आदि। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) में \(x\) की घात −1 है, इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(5x^3\) की घात 3 और अचर पद 4, दोनों बहुपद में मान्य हैं। परीक्षा टिप: चर यदि हर में हो, तो उसकी घात सामान्यतः ऋणात्मक होती है और व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) has exponent −1, so the expression is not a polynomial. The term \(5x^3\) and the constant term 4 are both allowed in a polynomial. Exam tip: if a variable occurs in the denominator, it usually represents a negative exponent and the expression is not a polynomial.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/No, because in \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\), the exponent of \(x\) is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात अशून्य नहीं, बल्कि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए; अर्थात \(0,1,2,\ldots\)। यहाँ \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है। अतः \(3x^2-\frac{5}{x}\) बहुपद नहीं है। विकल्प A में \(x^2\) की घात सही है, लेकिन दूसरा पद बहुपद की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा टिप: चर हर में दिखे तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\frac{5}{x}=5x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(3x^2-\frac{5}{x}\) is not a polynomial. In option A, the exponent in \(x^2\) is valid, but the other term fails the polynomial condition. Exam tip: If a variable occurs in a denominator, rewrite it using a negative exponent and check it.
\(x^{\frac{3}{4}}+2\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घात \(\frac{3}{4}\) है, जो अऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घातें केवल \(0,1,2,3,\dots\) हो सकती हैं। इसके विपरीत, \(x^3+4\), \(4x^2+1\) और \(3x+4\) में चर की घातें क्रमशः 3, 2 और 1 हैं, इसलिए ये बहुपद हैं। परीक्षा टिप: भिन्न घात वाला चर दिखे तो व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(x^{\frac{3}{4}}+2\) is not a polynomial because the exponent of the variable \(x\) is \(\frac{3}{4}\), which is not a non-negative integer. In a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,3,\dots\). In contrast, \(x^3+4\), \(4x^2+1\), and \(3x+4\) have exponents 3, 2, and 1 respectively, so they are polynomials. Exam tip: an expression containing a variable with a fractional exponent is not a polynomial.
A. हाँ, क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक हैं और \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because its coefficients are real and the powers of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(-\frac{5}{6}x^2+x-8\) एक बहुपद है। बहुपद में गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; इसलिए \(-\frac{5}{6}\) जैसा ऋणात्मक भिन्न गुणांक भी मान्य है। इसमें \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि भिन्न गुणांक बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की घातें जाँचें; वे अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(-\frac{5}{6}x^2+x-8\) is a polynomial. Its coefficients may be any real numbers, so a negative fractional coefficient such as \(-\frac{5}{6}\) is allowed. The exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Option B is incorrect because a fractional coefficient does not make an expression non-polynomial. Exam tip: identify a polynomial by checking that every variable exponent is a non-negative integer.
A. हाँ, क्योंकि इसमें x की घातें 0 और 1 हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं।/Yes, because the powers of x are 0 and 1, which are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(2x^0-3x\) एक बहुपद है। क्योंकि x-0=1, यह व्यंजक 2-3x के बराबर है। इसमें x की घातें 0 और 1 हैं; दोनों अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह बहुपद की परिभाषा को पूरा करता है। घटाव चिह्न होने से बहुपद अमान्य नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, ... जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(2x^0-3x\) is a polynomial. Since x-0=1, the expression becomes 2-3x. The powers of x are 0 and 1, and both are non-negative integers, so it satisfies the definition of a polynomial. A subtraction sign does not make an expression non-polynomial. Exam tip: In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer such as 0, 1, 2, ... .
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) होता है, इसलिए दिए गए व्यंजक में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घातें केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती हैं। अतः \(4x+\sqrt{x}\) बहुपद नहीं है। \(4x\) स्वयं रैखिक बहुपद है, लेकिन \(\sqrt{x}\) जुड़ने से पूरा व्यंजक बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: वर्गमूल में चर दिखे तो उसे भिन्न घात में बदलकर जाँचें। / As \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), the expression contains \(x\) with exponent \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Hence, \(4x+\sqrt{x}\) is not a polynomial. While \(4x\) alone is a linear polynomial, the term \(\sqrt{x}\) makes the complete expression non-polynomial. Exam tip: Convert a square root involving a variable into a fractional exponent before checking for a polynomial.
A. \(x^{1/2}+3 में चर की घात \(1 / 2\) है, जो ऋणेतर पूर्णांक नहीं है। / In \(x^{1 / 2}+3\), the exponent of the variable is \(1 / 2\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\dots\) जैसी ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/2}\) की घात \(1/2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। ऋणात्मक गुणांक मान्य हैं। परीक्षा टिप: घात पहले जाँचें। / In a polynomial, every variable exponent must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\dots\). Since \(x^{1/2}\) has exponent \(1/2\), it is not a polynomial. Negative coefficients are allowed. Exam tip: check exponents first.
\(x^8-5x^6+2x^2+4\) में \(x\) की घातें \(8,6,2\) और \(0\) (स्थिर पद \(4\) की घात) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक तथा सम हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है और इसमें केवल सम घातें हैं। \(x^7+x^2+1\) बहुपद तो है, पर \(7\) विषम घात है। \(x^{-2}+x^4\) और \(x^{1/2}+x^2\) बहुपद नहीं हैं क्योंकि इनमें क्रमशः ऋणात्मक और भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^8-5x^6+2x^2+4\), the powers of \(x\) are \(8,6,2\), and \(0\) (for the constant term \(4\)). They are all non-negative integers and even, so it is a polynomial containing only even powers. \(x^7+x^2+1\) is a polynomial, but \(7\) is an odd power. \(x^{-2}+x^4\) and \(x^{1/2}+x^2\) are not polynomials because they contain a negative and a fractional exponent, respectively. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be non-negative integers.
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। यहाँ \(x^3\) का गुणांक 2 है, जो (h) के किसी भी वास्तविक मान के लिए अशून्य रहता है। इसलिए बहुपद की घात हमेशा 3 होगी। (h=5) रखने पर केवल (x) का पद समाप्त होता है, \(x^3\) का पद नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद के गुणांक को पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^3\) is 2, which remains non-zero for every real value of (h). Hence, the polynomial always has degree 3. For (h=5), only the (x) term disappears; the \(x^3\) term does not. Exam tip: To determine degree, first check the coefficient of the highest-power term.
बहुपद की घात उसके उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x-4 का गुणांक 2 है, जो b के किसी भी मान के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए p(x) की घात हमेशा 4 है। b=3 होने पर केवल x-2 का गुणांक शून्य होता है, x-4 का पद नहीं हटता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय पहले सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of x-4 is 2, which cannot become zero for any value of b. Hence, the degree of p(x) is always 4. When b=3, only the coefficient of x-2 becomes zero; the x-4 term remains. Exam tip: To find the degree, first check the coefficient of the term with the highest power.
बहुपद x-2-4 में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसमें दो पद, x-2 और -4, हैं; इसलिए यह द्विपदी है। अतः सही पहचान द्विघात द्विपदी है। द्विघात त्रिपदी में तीन पद होते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की पहचान के लिए पहले पदों की संख्या, फिर सबसे बड़ी घात जाँचें। / In the polynomial x-2-4, the highest exponent is 2, so its degree is quadratic. It has two terms, x-2 and -4, so it is a binomial. Therefore, it is a quadratic binomial. A quadratic trinomial would have three terms. Exam tip: first count the terms, then identify the highest exponent.
\(5x^3-2x+7\) में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक चर में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) तथा विकल्प D में ऋणात्मक घात है; विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(5x^3-2x+7\), the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in one variable. In option B, \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), and option D also has a negative exponent; option C has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be a non-negative integer.
\(m\) को स्थिर मानने पर \(m^2x^3-5mx+6\) में \(x\) की घातें क्रमशः 3, 1 और 0 हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। विकल्प A में \(x^{-2}\), विकल्प B में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), और विकल्प C में \(\frac{m}{x}=mx^{-1}\) है; इनमें \(x\) की घातें बहुपद के लिए मान्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस चर में बहुपद जाँचना हो, उसकी प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Treating \(m\) as a constant, the powers of \(x\) in \(m^2x^3-5mx+6\) are 3, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Option A has \(x^{-2}\), option B has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and option C has \(\frac{m}{x}=mx^{-1}\); these powers are not permitted in a polynomial. Exam tip: For a polynomial in a given variable, every exponent of that variable must be a non-negative integer.
