non-negative exponents se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(2x^5-x^2+3\) में \(x\) की घातें \(5\), \(2\) और \(0\) हैं। ये सभी अशून्येतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक बहुपद है। इसकी सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः इसकी घात \(5\) है। \(x^{5/2}+2\) में भिन्नात्मक घात है, जबकि \(x^{-5}+4\) तथा \(\frac{1}{x^5}+1\) में \(x\) की ऋणात्मक घात होती है; इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(2x^5-x^2+3\), the powers of \(x\) are \(5\), \(2\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial. Its highest power is \(5\), hence its degree is \(5\). \(x^{5/2}+2\) has a fractional exponent, whereas \(x^{-5}+4\) and \(\frac{1}{x^5}+1\) have negative powers of \(x\); therefore, they are not polynomials. Exam tip: In a polynomial, an exponent of a variable can only be \(0,1,2,\ldots\).
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because all powers of x are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(7x^4-x^2+3x-2\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं तथा ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। अचर पद -2 को -2x-0 लिखा जा सकता है, इसलिए वह भी मान्य है। चार पद होना या घात 4 होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, ... जैसी अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(7x^4-x^2+3x-2\) is a polynomial because the powers of x are 4, 2, 1, and 0, all of which are non-negative integers. The constant term -2 can be written as -2x-0, so it is also valid. Having four terms or degree 4 does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and so on.
A. हाँ, क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक हैं और \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because its coefficients are real and the powers of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(-\frac{5}{6}x^2+x-8\) एक बहुपद है। बहुपद में गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; इसलिए \(-\frac{5}{6}\) जैसा ऋणात्मक भिन्न गुणांक भी मान्य है। इसमें \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि भिन्न गुणांक बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की घातें जाँचें; वे अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(-\frac{5}{6}x^2+x-8\) is a polynomial. Its coefficients may be any real numbers, so a negative fractional coefficient such as \(-\frac{5}{6}\) is allowed. The exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Option B is incorrect because a fractional coefficient does not make an expression non-polynomial. Exam tip: identify a polynomial by checking that every variable exponent is a non-negative integer.
\(2x^2+\sqrt{7}x-3\) में चर \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसके गुणांक \(2\), \(\sqrt{7}\) और \(-3\) वास्तविक संख्याएँ हैं। गुणांक का अपरिमेय होना किसी व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\) केवल एक अपरिमेय गुणांक है, चर की घात नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए देखें कि प्रत्येक चर की घात \(0,1,2,\ldots\) में हो। / In \(2x^2+\sqrt{7}x-3\), the exponents of the variable \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Its coefficients \(2\), \(\sqrt{7}\), and \(-3\) are real numbers. An irrational coefficient does not stop an expression from being a polynomial, so this is a polynomial. Option B is incorrect because \(\sqrt{7}\) is only an irrational coefficient, not an exponent of the variable. Exam tip: To identify a polynomial, check that every variable exponent is \(0,1,2,\ldots\).
\(5x^3-2x+7\) में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक चर में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) तथा विकल्प D में ऋणात्मक घात है; विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(5x^3-2x+7\), the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in one variable. In option B, \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), and option D also has a negative exponent; option C has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be a non-negative integer.
C. केवल \(7x^3-4x+1\) बहुपद है; \(x^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात है/Only \(7x^3-4x+1\) is a polynomial; \(x^{-2}+5\) has a negative exponent.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात एक अऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात् 0 या धनात्मक पूर्णांक, होनी चाहिए। \(7x^3-4x+1\) में \(x\) की घातें 3, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। लेकिन \(x^{-2}+5\) में \(x\) की घात \(-2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer, that is, 0 or a positive integer. In \(7x^3-4x+1\), the exponents of \(x\) are 3, 1, and 0, so it is a polynomial. However, \(x^{-2}+5\) contains the exponent \(-2\), so it is not a polynomial. Having real coefficients alone is not sufficient. Exam tip: check all variable exponents before classifying an expression as a polynomial.
\(\pi x^2-3x+1\) में \(x\) की घातें \(2,1,0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। \(\pi\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह बहुपद का गुणांक हो सकता है। विकल्प B में \(x\) की घात \(-2\) है, C में \(\sqrt{x}=x^{\tfrac12}\) है और D में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(\pi x^2-3x+1\), the powers of \(x\) are \(2,1,0\), all non-negative integers. Since \(\pi\) is a real number, it may be a coefficient of a polynomial. In B, the exponent of \(x\) is \(-2\); in C, \(\sqrt{x}=x^{\tfrac12}\); and in D, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). Hence, none of these is a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,\ldots\).
B. क्योंकि x की सभी घातें 0, 1 और 2 जैसी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/Because all powers of x are non-negative integers: 0, 1, and 2
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ x की घातें 0, 1 और 2 हैं, इसलिए यह बहुपद है। साथ ही, x-0 = 1 होने से 9x-0 = 9 एक स्थिर पद है; अतः विकल्प C गलत है। विकल्प A भी गलत है क्योंकि x-0 = 1 होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी भी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली न हो। / In a polynomial, the powers of a variable must be zero or positive integers. Here, the powers of x are 0, 1, and 2, so the expression is a polynomial. Also, x-0 = 1, so 9x-0 = 9 is a constant term; therefore, option C is incorrect. Option A is also wrong because x-0 = 1. Exam tip: while identifying a polynomial, check that no variable has a negative, fractional, or variable exponent.
B. यह एक बहुपद है क्योंकि चर की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं/It is a polynomial because all powers of the variable are non-negative integers.
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\(4x^2+\frac{3}{7}x-6\) एक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। बहुपद में गुणांक भिन्न या ऋणात्मक हो सकते हैं; इसलिए \(\frac{3}{7}\) गुणांक और \(-6\) स्थिर पद इसे बहुपद होने से नहीं रोकते। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय मुख्यतः चर की घातों की जाँच करें। / \(4x^2+\frac{3}{7}x-6\) is a polynomial because the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Polynomial coefficients may be fractional or negative, so neither \(\frac{3}{7}\) nor the constant term \(-6\) makes it invalid. A zero polynomial has every coefficient equal to zero, which is not the case here. Exam tip: to identify a polynomial, first check the exponents of the variable.
\(3z^4-z^2+8\) में \(z\) की घातें \(4\), \(2\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(z\) में बहुपद है। \(z^{-1}+2\) तथा \(\frac{6}{z}+1\) में \(z\) की ऋणात्मक घात आती है, जबकि \(\sqrt{z}+5\) में \(z\) की घात \(\frac12\) है; अतः ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(3z^4-z^2+8\), the powers of \(z\) are \(4\), \(2\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial in \(z\). In \(z^{-1}+2\) and \(\frac{6}{z}+1\), \(z\) has a negative power, while \(\sqrt{z}+5\) contains \(z^{\frac12}\); hence, these are not polynomials. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
\(x^2+4\) एक बहुपद है क्योंकि इसमें चर \(x\) की घातें \(2\) और \(0\) हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसके दो पद \(x^2\) और \(4\) हैं, इसलिए यह एकपदी नहीं बल्कि द्विपद है। \(5x^3\) केवल एक पद वाला बहुपद, अर्थात एकपदी, है। \(\sqrt{x}+2\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है और \(x^2+\frac{1}{x}\) में घात \(-1\) आती है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\ldots\) में होनी चाहिए। / \(x^2+4\) is a polynomial because the powers of the variable \(x\) are \(2\) and \(0\), both of which are non-negative integers. It has two terms, \(x^2\) and \(4\), so it is a binomial, not a monomial. \(5x^3\) is a polynomial with only one term, so it is a monomial. In \(\sqrt{x}+2\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), while \(x^2+\frac{1}{x}\) contains exponent \(-1\); therefore, neither is a polynomial. Exam tip: Variable exponents in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
A. हाँ, क्योंकि x की घातें 2, 1 और 0 हैं, जो अशून्य पूर्णांक हैं/Yes, because the powers of x are 2, 1, and 0, which are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ 3x-2, 2x और 1 में x की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं; इसलिए \(3x^2+2x+1\) एक बहुपद है। अचर पद 1 होने या तीन पद होने से कोई समस्या नहीं होती। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखे, तो व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. In 3x-2, 2x, and 1, the powers of x are 2, 1, and 0 respectively; therefore, \(3x^2+2x+1\) is a polynomial. Having a constant term or three terms does not make an expression non-polynomial. Exam tip: if a variable has a negative or fractional exponent, the expression is not a polynomial.
\(2x^2+\sqrt{3}x+5\), \(x\) में एक बहुपद है क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। \(\sqrt{3}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। यह शून्य बहुपद नहीं है, क्योंकि इसके गुणांक सभी शून्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात \(0,1,2,\ldots\) ही होती है; गुणांक परिमेय या अपरिमेय हो सकते हैं। / \(2x^2+\sqrt{3}x+5\) is a polynomial in \(x\) because the exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. \(\sqrt{3}\) is a real number, so it can be a valid coefficient of \(x\). It is not a zero polynomial because its coefficients are not all zero. Exam tip: In a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,\ldots\), while coefficients may be rational or irrational.
\(x^2+4x+4\) में \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में एक बहुपद है। \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात है, जबकि \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) और \(x^{-1}+5\) में ऋणात्मक घात है; इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(x^2+4x+4\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) has a fractional exponent, while \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) and \(x^{-1}+5\) contain negative exponents; therefore, they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
