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\(x^{-3}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। / The power in \(x^{-3}\) is negative. Negative powers are not allowed in a polynomial.
बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात होती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (7) है। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable. Here the highest power is (7).
(23) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (23) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
B. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed in polynomials. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0).
इसमें \(x^4\), \(-3x^2\), (2x) और (-11) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(x^4\), \(-3x^2\), (2x), and (-11). Count terms with their signs.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यही परिभाषा की सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable must be zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
C. क्योंकि (x^{2/5}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{2 / 5}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{2/5}\) की घात \(\frac{2}{5}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. The power in \(x^{2/5}\) is \(\frac{2}{5}\), which is not an integer.
\(0x^5\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (3) है। / \(0x^5\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (3).
\(x^{-4}\) की घात ऋणात्मक है इसलिए यह बहुपद नहीं है। (8) केवल स्थिर पद है। / The power in \(x^{-4}\) is negative, so it is not a polynomial. (8) is only a constant term.
B. द्विघात त्रिपदी बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (2) and it has three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial.
\(x^5\) की घात (5), \(2x^3\) की घात (3), और स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(x^5\) is (5), the power of \(2x^3\) is (3), and the constant term is treated as power (0).
\(6x^4-x+3\) बहुपद है और इसकी घात (4) है। इसलिए इसकी घात (2) नहीं है। / \(6x^4-x+3\) is a polynomial and its degree is (4). Therefore, it is not of degree (2).
\(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) है और \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) and \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\). Due to the negative power, it is not a polynomial.
सबसे बड़ी घात (3) होने पर बहुपद घन कहलाता है। बहुपद का प्रकार घात से पहचानें। / A polynomial with highest power (3) is called cubic. Identify the type of polynomial from its degree.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+3x-5\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not contain every power term. In \(x^4+3x-5\), the present powers are valid.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^3}\) में (x) की घात (-3) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{1}{x^3}\), the power of (x) is (-3). Due to the negative power, it is not a polynomial.
\(4z^3-2z+9\) में (z) की घातें (3), (1) और (0) हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / In \(4z^3-2z+9\), the powers of (z) are (3), (1), and (0). So it is a polynomial in (z).
\(x^6+3x^4-5\) में (x) की घातें (6), (4) और स्थिर पद के लिए (0) हैं। / In \(x^6+3x^4-5\), the powers of (x) are (6), (4), and (0) for the constant term.
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक स्थिर पद है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real constant term and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
पहले विकल्प में घातें (6), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (6), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\sin x\) is not such a term.
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है। सरल रूप में घातें (2) और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\). In the simplified form, the powers are (2) and (0), so it is a polynomial.
इसकी घात (3) है और इसमें चार पद हैं। इसलिए यह घन चार-पदी बहुपद है। / Its degree is (3) and it has four terms. Therefore, it is a cubic four-term polynomial.
\(0x^5\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (3) है। / \(0x^5\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (3).
\(\sqrt{13}\) वास्तविक गुणांक है और बहुपद में मान्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\sqrt{13}\) is a real coefficient and is allowed in a polynomial. The powers of the variable are (2), (1), and (0).
\(x^4+7x-3\) में घातें (4), (1) और स्थिर पद के लिए (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं। / In \(x^4+7x-3\), the powers are (4), (1), and (0) for the constant term. All powers are valid.
\(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}\) है। \(\frac{5}{x}\) में (x) की घात (-1) है। / \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}\). In \(\frac{5}{x}\), the power of (x) is (-1).
इसकी सबसे बड़ी घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी है। / Its highest power is (2) and it has three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial.
\(2x^2+x-5\) में तीन पद हैं इसलिए यह त्रिपदी है। इसकी सभी घातें मान्य हैं। / \(2x^2+x-5\) has three terms, so it is a trinomial. All its powers are valid.
भिन्न गुणांक मान्य होते हैं। \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\) में (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed. In \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\), the powers of (x) are (3), (1), and (0).
इसमें घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / It has powers (6), (4), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
\(-\frac{1}{2}\) न तो शून्य है और न धनात्मक पूर्णांक। इसलिए यह घात बहुपद में मान्य नहीं है। / \(-\frac{1}{2}\) is neither zero nor a positive integer. So this power is not valid in a polynomial.
(b) को (x) के संदर्भ में गुणांक माना जा सकता है। (x) की घातें (4), (1) और (0) हैं। / (b) can be treated as a coefficient with respect to (x). The powers of (x) are (4), (1), and (0).
A. यह चार पदों वाला घन बहुपद है/It is a cubic polynomial with four terms
Explanation
Simple Explanation
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। इसलिए यह चार पदों वाला घन बहुपद है। / It has four terms and the highest power is (3). Therefore, it is a cubic polynomial with four terms.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\tan x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\tan x\) is not such a term.
\(4x^4-3x^2\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। सभी घातें मान्य हैं। / In \(4x^4-3x^2\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). All powers are valid.
A. क्योंकि यह \(x^2+x\) बनता है/Because it becomes \(x^2+x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\) है। यह बहुपद है, इसलिए सही कारण यह है कि इसमें घातें (2) और (1) मान्य हैं। / \(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\). It is a polynomial, so the correct reason is that powers (2) and (1) are valid.
C. यह द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial
Explanation
Simple Explanation
विस्तारित रूप \(x^2+4x+4\) है। सबसे बड़ी घात (2) है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / The expanded form is \(x^2+4x+4\). The highest power is (2), so it is a quadratic polynomial.
\(5+x^3-2x\) में घातें (0), (3), (1) हैं, पर सभी मान्य हैं। घटते क्रम में लिखना जरूरी नहीं है। / In \(5+x^3-2x\), the powers are (0), (3), and (1), but all are valid. Writing in descending order is not required.
