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(a=2) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) हो जाता है और (5x-7) बचता है। इसलिए यह रेखीय बहुपद है। / Putting (a=2) makes the coefficient of \(x^3\) equal to (0), leaving (5x-7). So it is a linear polynomial.
दूसरे व्यंजक में घातें (4), (2), और (0) हैं तथा गुणांक वास्तविक हैं। इसलिए यह डिग्री (4) का बहुपद है। / In the second expression, the powers are (4), (2), and (0), and the coefficients are real. So it is a polynomial of degree (4).
बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात होती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (5) है। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable. Here the highest power is (5).
\(0x^5\) शून्य पद है, इसलिए इसे डिग्री के लिए नहीं गिनते। बची हुई सबसे बड़ी घात (2) है। / \(0x^5\) is a zero term, so it is not counted for degree. The remaining highest power is (2).
\(\sqrt{5}\) केवल वास्तविक गुणांक है और मान्य है। (y) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\sqrt{5}\) is only a real coefficient and is allowed. The powers of (y) are (2), (1), and (0).
रेखीय बनने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (k+4=0) से (k=-4) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). From (k+4=0), we get (k=-4).
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) जब \(x\neq1\)। इसलिए सरल रूप \(x^2+x+1\) है। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) when \(x\neq1\). So the simplified form is \(x^2+x+1\).
B. क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/Because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
इसकी सबसे बड़ी घात (3) है और इसमें (3) पद हैं। इसलिए यह घन त्रिपदी बहुपद है। / Its highest power is (3) and it has (3) terms. Therefore, it is a cubic trinomial polynomial.
(m=0) रखने पर \(x^4\) पद हट जाता है और \(2x^3-5\) बचता है। इसलिए डिग्री (3) है। / Putting (m=0) removes the \(x^4\) term and leaves \(2x^3-5\). Therefore the degree is (3).
C. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\pi\) और \(\sqrt{3}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are real coefficients. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
इस बहुपद में \(x^4\) और (x) पद नहीं हैं। अनुपस्थित पदों के गुणांक (0) माने जाते हैं। / The \(x^4\) and (x) terms are absent in this polynomial. Coefficients of absent terms are taken as (0).
\(0x^6\) शून्य पद है इसलिए घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। / \(0x^6\) is a zero term, so it does not determine the degree. The highest non-zero power is (4).
\(\frac{x^2+4}{x+1}\) में चर हर में है। ऐसा मूल व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{x^2+4}{x+1}\), the variable is in the denominator. Such an original expression does not satisfy the definition of a polynomial.
\(x^4+x\) में घातें (4) और (1) हैं। यह बहुपद है और इसकी घात (4) है। / In \(x^4+x\), the powers are (4) and (1). It is a polynomial and its degree is (4).
D. क्योंकि (x^{3/2}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{3 / 2}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{3/2}\) में घात \(\frac{3}{2}\) है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. In \(x^{3/2}\), the power is \(\frac{3}{2}\).
(k) स्थिर की तरह गुणांक है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / (k) acts like a constant coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0), so it is a polynomial.
इसमें \(5x^3\), \(-2x^2\), (9x) और (-6) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(5x^3\), \(-2x^2\), (9x), and (-6). Count terms with their signs.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+3x^2-5\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not have every power term. In \(x^4+3x^2-5\), all present powers are valid.
B. यह बहुपद है क्योंकि चर की घातें मान्य हैं/It is a polynomial because variable powers are valid
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed in polynomials. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0).
\(x^0=1\) माना जाता है जब \(x\neq0\)। इसलिए \(6x^0\) स्थिर पद (6) जैसा है। / \(x^0=1\) when \(x\neq0\). So \(6x^0\) behaves like the constant term (6).
\(x^2+6\) बहुपद है और इसकी घात (2) है। इसलिए इसकी घात (1) नहीं है। / \(x^2+6\) is a polynomial and its degree is (2). Therefore, its degree is not (1).
(a=0) होने पर \(x^4\) वाला पद हट जाता है। शेष बहुपद \(3x^2-1\) की घात (2) है। / When (a=0), the \(x^4\) term disappears. The remaining polynomial \(3x^2-1\) has degree (2).
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए/Variable powers must be zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यह परिभाषा की सबसे महत्वपूर्ण शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(\frac{4}{x}\) में (x) की घात (-1) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. In \(\frac{4}{x}\), the power of (x) is (-1), so it is not a polynomial.
ऋणात्मक स्थिर पद होने से व्यंजक बहुपद बनने से नहीं रुकता। \(x^2-11\) में सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. In \(x^2-11\), all powers are valid.
\(2x^5\) की घात (5), \(x^2\) की घात (2), और स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(2x^5\) is (5), the power of \(x^2\) is (2), and the constant term is treated as power (0).
\(2x^6-x^3+8\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। इसलिए इसकी घात (6) है। / In \(2x^6-x^3+8\), all powers are valid and the highest power is (6). So its degree is (6).
C. चर हर में रह सकता है/The variable can be in the denominator
Explanation
Simple Explanation
यदि चर हर में आता है तो अक्सर उसकी घात ऋणात्मक हो जाती है। बहुपद में ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। / If the variable appears in the denominator, its power often becomes negative. Negative powers are not valid in a polynomial.
B. क्योंकि \(x^{-1}\) की घात ऋणात्मक है/Because the power in \(x^{-1}\) is negative
Explanation
Simple Explanation
\(x^{-1}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऐसी घात स्वीकार्य नहीं होती। / The power in \(x^{-1}\) is negative. Such a power is not allowed in a polynomial.
दशमलव (1.5) वास्तविक गुणांक है। (x) की घातें (2), (1) और (0) मान्य हैं। / The decimal (1.5) is a real coefficient. The powers of (x) are (2), (1), and (0), which are valid.
\(x^4+3x-2\) में \(x^2\) पद नहीं है पर सबसे बड़ी घात (4) है। गायब पद घात को नहीं रोकता। / In \(x^4+3x-2\), the \(x^2\) term is missing but the highest power is (4). A missing term does not affect validity.
\(3x^2-7\) में दो पद हैं और सबसे बड़ी घात (2) है। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है। / \(3x^2-7\) has two terms and the highest power is (2). So it is a quadratic binomial.
\(n^{4/3}\) की घात पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The power in \(n^{4/3}\) is not an integer. In a polynomial, variable powers must be non-negative integers.
(a=0) पर \(x^2\) वाला पद हटता है लेकिन \(2x^3\) रहता है। इसलिए घात (3) ही रहेगी। / When (a=0), the \(x^2\) term disappears but \(2x^3\) remains. Therefore, the degree stays (3).
A. \(x^2+4x+4\) क्योंकि घातें (2), (1), (0) हैं/\(x^2+4x+4\) because powers are (2), (1), (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4x+4\) में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह सही बहुपद उदाहरण है। / In \(x^2+4x+4\), all powers are non-negative integers. So it is a correct polynomial example.
(x) के संदर्भ में \(y^2\) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), \(y^2\) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
\(x^6+2x^4-x^2+9\) में घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और मान्य हैं। / In \(x^6+2x^4-x^2+9\), the powers are (6), (4), (2), and (0). All are even and valid.
इस बहुपद में (5) अलग-अलग पद हैं। जोड़ के चिन्हों से पदों को अलग पहचानें। / This polynomial has (5) distinct terms. Use plus signs to identify the terms separately.
A. द्विघात त्रिपदी बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (2) है और इसमें (3) पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (2) and it has (3) terms. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial.
\(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) contains \(\frac{1}{x}\), whose power is (-1). Therefore, it is not a polynomial.
