(a=2) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) हो जाता है और (5x-7) बचता है। इसलिए यह रेखीय बहुपद है। / Putting (a=2) makes the coefficient of \(x^3\) equal to (0), leaving (5x-7). So it is a linear polynomial.
दूसरे व्यंजक में घातें (4), (2), और (0) हैं तथा गुणांक वास्तविक हैं। इसलिए यह डिग्री (4) का बहुपद है। / In the second expression, the powers are (4), (2), and (0), and the coefficients are real. So it is a polynomial of degree (4).
बहुपद की घात उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 5, 3, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 9 गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़े घातांक वाले चर-पद को देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. The terms in the given polynomial have exponents 5, 3, 1, and 0. The highest exponent is 5, so the degree is 5. Note that 9 is a coefficient, not the degree. Exam tip: identify the term with the greatest exponent of the variable.
पद \(0x^5\) का गुणांक 0 है, इसलिए इसका मान 0 है और यह बहुपद की डिग्री में नहीं गिना जाता। शेष बहुपद \(-3x^2+8x-1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि शून्य गुणांक वाले पद की घात नहीं ली जाती। परीक्षा टिप: पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटाइए, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखिए। / The coefficient of \(0x^5\) is 0, so this term has value 0 and is not considered while finding the degree of a polynomial. In the remaining polynomial, \(-3x^2+8x-1\), the highest power of \(x\) is 2. Therefore, the degree is 2. Option 5 is incorrect because a term with zero coefficient does not determine the degree. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms first, then identify the highest exponent of the variable.
D. यह \(y\) में एक बहुपद है/It is a polynomial in \(y\)
Explanation
Simple Explanation
\(3y^2+\sqrt{5}y-8\) में \(y\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{5}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए वह वैध गुणांक हो सकता है। ऋणात्मक स्थिर पद \(-8\) होने से भी व्यंजक बहुपद बना रहता है। शून्य बहुपद में प्रत्येक गुणांक शून्य होता है, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद जाँचते समय चर की घातों को देखें; गुणांक अपरिमेय या ऋणात्मक हो सकते हैं। / In \(3y^2+\sqrt{5}y-8\), the powers of \(y\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. \(\sqrt{5}\) is a real number, so it is a valid coefficient. A negative constant term, \(-8\), also does not prevent an expression from being a polynomial. A zero polynomial has every coefficient equal to zero, which is not true here. Exam tip: to identify a polynomial, check the exponents of the variable; coefficients may be irrational or negative.
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(k+4\) है। अतः \(k+4=0\), जिससे \(k=-4\) प्राप्त होता है। \(k=0\) रखने पर \(x^2\) का गुणांक 4 रहता है, इसलिए बहुपद द्विघात ही होगा। परीक्षा टिप: बहुपद की घात घटाने के लिए उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1, so the coefficient of \(x^2\) must be zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(k+4\). Thus, \(k+4=0\), which gives \(k=-4\). If \(k=0\), the coefficient of \(x^2\) remains 4, so the polynomial is still quadratic. Exam tip: To reduce the degree of a polynomial, make the coefficient of its highest-degree term zero.
B. क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/Because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
बहुपद \(2x^3-5x+4\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी घात 3 है और यह घन बहुपद है। इसके तीन पद \(2x^3\), \(-5x\) और \(4\) हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः सही पहचान घन त्रिपद बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने में पहले उच्चतम घात, फिर पदों की संख्या गिनें। / In the polynomial \(2x^3-5x+4\), the highest power of \(x\) is \(3\), so it is a cubic polynomial. It has three terms: \(2x^3\), \(-5x\), and \(4\); therefore, it is a trinomial. Hence, it is a cubic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest degree 1. Exam tip: first find the highest exponent, then count the terms to classify a polynomial.
m=0 रखने पर व्यंजक mx-4+(m+2)x-3-5 = 0x-4+2x-3-5 = 2x-3-5 बनता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि x-4 का गुणांक 0 होने से वह पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर शेष सबसे बड़ी घात देखें। / On substituting m=0, mx-4+(m+2)x-3-5 becomes 0x-4+2x-3-5, or 2x-3-5. The highest power of x in the remaining polynomial is 3, so its degree is 3. Option 4 is not correct because the coefficient of x-4 becomes 0, so that term vanishes. Exam tip: After substitution, remove all zero-coefficient terms before identifying the highest exponent.
\(8z-3\) में \(z\) की सबसे बड़ी घात 1 है और \(z\) का गुणांक 8 शून्य नहीं है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(14\) एक अचर बहुपद है, जिसकी घात 0 होती है; जबकि \(\frac{1}{z}+2\) बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें \(z\) की ऋणात्मक घात \(z^{-1}\) आती है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद का सामान्य रूप \(az+b\) होता है, जहाँ \(a\ne0\)। / In \(8z-3\), the highest power of \(z\) is 1 and the coefficient of \(z\) is non-zero, so it is a linear polynomial. \(14\) is a constant polynomial of degree 0, while \(\frac{1}{z}+2\) is not a polynomial because it contains the negative power \(z^{-1}\). Exam tip: A linear polynomial has the form \(az+b\), where \(a\ne0\).
C. यह द्विघात बहुपद है और इसकी डिग्री \(2\) है/It is a quadratic polynomial and its degree is \(2\).
Explanation
Simple Explanation
\(5x^2-\pi x+\sqrt{3}\) में \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह बहुपद है। \(\pi\) और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय हैं, फिर भी वे वास्तविक स्थिरांक हैं और बहुपद के वैध गुणांक हो सकते हैं। सबसे बड़ी घात \(2\) होने से यह द्विघात बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल \(x\) पद होने से बहुपद रैखिक नहीं हो जाता; सबसे बड़ी घात देखी जाती है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / In \(5x^2-\pi x+\sqrt{3}\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial. Although \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are irrational, they are real constants and may be valid polynomial coefficients. Since the highest power is \(2\), it is a quadratic polynomial. Option B is incorrect because the presence of an \(x\)-term alone does not make a polynomial linear; its highest power determines the degree. Exam tip: find the greatest exponent of the variable to determine the degree.
इस बहुपद में \(x^4\) और (x) पद नहीं हैं। अनुपस्थित पदों के गुणांक (0) माने जाते हैं। / The \(x^4\) and (x) terms are absent in this polynomial. Coefficients of absent terms are taken as (0).
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। यहाँ \(0x^6\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। \(6x^4\) सबसे अधिक घात वाला अशून्य पद है, अतः \(p(x)\) की घात \(4\) है। विकल्प 6 गलत है क्योंकि \(x^6\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, \(0x^6\) has coefficient zero, so this term does not contribute to the degree. The highest-degree non-zero term is \(6x^4\); therefore, the degree of \(p(x)\) is \(4\). Option 6 is incorrect because the coefficient of \(x^6\) is zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
\(\frac{x^2+4}{x+1}\) में चर हर में है। ऐसा मूल व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{x^2+4}{x+1}\), the variable is in the denominator. Such an original expression does not satisfy the definition of a polynomial.
यहाँ \(x^0=1\) है, इसलिए व्यंजक \(1+3x^2-2x\) बनता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(2\) है। \(x^0\) वाला पद डिग्री \(0\) देता है, लेकिन वह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल करने के बाद चर की सबसे बड़ी घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / Here, \(x^0=1\), so the expression becomes \(1+3x^2-2x\). The highest power of \(x\) is \(2\); therefore, the degree of the polynomial is \(2\). The term containing \(x^0\) has degree \(0\), but it is not the highest power. Exam tip: Simplify the polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable.
7 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, जिसे 7x-0 के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें चर की सबसे बड़ी घात 0 है, इसलिए इसकी घात 0 होती है। घात 1 रैखिक बहुपद के लिए होती है, स्थिर बहुपद के लिए नहीं। परीक्षा सुझाव: किसी भी अशून्य स्थिरांक की बहुपद-घात हमेशा 0 होती है। / 7 is a non-zero constant polynomial and can be written as 7x-0. The highest power of the variable is 0, so its degree is 0. Degree 1 is for a linear polynomial, not for a constant polynomial. Exam tip: Every non-zero constant polynomial has degree 0.
D. क्योंकि (x^{3/2}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{3 / 2}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{3/2}\) में घात \(\frac{3}{2}\) है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. In \(x^{3/2}\), the power is \(\frac{3}{2}\).
(k) स्थिर की तरह गुणांक है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / (k) acts like a constant coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0), so it is a polynomial.
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(9x\) और \(-6\)। इसलिए कुल 4 पद हैं। \(-2x^2\) को अलग पद मानना चाहिए; उसका ऋण चिह्न उसी पद का भाग है। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद आने वाले व्यंजक को एक पद मानें। / In a polynomial, addition (+) and subtraction (−) signs separate the terms. Here the terms are \(5x^3\), \(-2x^2\), \(9x\), and \(-6\). Hence, there are 4 terms. The negative sign in \(-2x^2\) belongs to that term; it does not create an extra term. Exam tip: Count each expression separated by a + or − sign as one term.
बहुपद p(x)=x-2-4x+4 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है और यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद x-2, -4x और 4 हैं, इसलिए यह त्रिपदी भी है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपदी है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार बताने के लिए सबसे पहले सबसे बड़ी घात, फिर पदों की संख्या गिनें। / In p(x)=x-2-4x+4, the highest power of x is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. It has three terms: x-2, -4x, and 4; therefore, it is also a trinomial. Hence, the correct identification is a quadratic trinomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is not correct. Exam tip: To classify a polynomial, first find its highest degree and then count its terms.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+3x^2-5\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not have every power term. In \(x^4+3x^2-5\), all present powers are valid.
B. यह बहुपद है क्योंकि चर की सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं।/It is a polynomial because all powers of the variable are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
\(4x^2+\frac{3}{4}x-9\) में \(x\) की घातें क्रमशः \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। बहुपद के गुणांक भिन्न या ऋणात्मक हो सकते हैं, अतः \(\frac{3}{4}\) और \(-9\) इसे बहुपद होने से नहीं रोकते। यह शून्य बहुपद भी नहीं है, क्योंकि इसके सभी गुणांक शून्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की घातों को जाँचें, गुणांकों के चिन्ह को नहीं। / In \(4x^2+\frac{3}{4}x-9\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial. Polynomial coefficients may be fractional or negative, so \(\frac{3}{4}\) and \(-9\) do not make it invalid. It is not the zero polynomial because all its coefficients are not zero. Exam tip: while identifying a polynomial, check the powers of the variable rather than the signs of the coefficients.
A. \(\sqrt{x}\) में \(x\) का घातांक \(\frac{1}{2}\) है, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है।/In \(\sqrt{x}\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घातांक \(0,1,2,\ldots\) जैसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: मूल चिह्न को भिन्न घातांक में बदलकर जाँचें। / In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), so the expression is not a polynomial. Exam tip: rewrite radicals as fractional powers to check quickly.
\(2m^5-3m+1\) में \(m\) की घातें \(5\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। इसलिए यह \(m\) में बहुपद है। विकल्प A में \(1/m=m^{-1}\), विकल्प B में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{m}=m^{1/2}\) है; ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(2m^5-3m+1\), the powers of \(m\) are \(5\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Hence, it is a polynomial in \(m\). In option A, \(1/m=m^{-1}\); option B has a negative exponent; and option D has \(\sqrt{m}=m^{1/2}\). These are not polynomials. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be \(0,1,2,\ldots\).
जब \(a=0\) होता है, तब \(ax^4=0\) हो जाता है। इसलिए बहुपद \(p(x)=3x^2-1\) रह जाता है। इसमें चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की घात 2 होगी। विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(x^4\) वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: किसी पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें, फिर सबसे बड़ी शेष घात देखें। / When \(a=0\), the term \(ax^4\) becomes \(0\). Thus, \(p(x)=3x^2-1\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 2, so its degree is 2. Option 4 is incorrect because the \(x^4\) term has vanished. Exam tip: Substitute the parameter value first, remove zero-coefficient terms, and then identify the highest remaining exponent.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए/Variable powers must be zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यह परिभाषा की सबसे महत्वपूर्ण शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए बहुपद में पद x-3 की घात 3 है, जो x-2, x और अचर 5 की घातों से बड़ी है। इसलिए बहुपद की घात 3 है। विकल्प 2 केवल पद 2x-2 की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए पहले सभी पदों में चर की घातें देखें और सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. Here, x-3 has exponent 3, which is greater than the exponents in x-2, x, and the constant term 5. Therefore, the degree of the polynomial is 3. Option 2 is the degree of the term 2x-2, not of the whole polynomial. Exam tip: Compare the exponents of the variable in all terms and select the greatest one.
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(\frac{4}{x}\) में (x) की घात (-1) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. In \(\frac{4}{x}\), the power of (x) is (-1), so it is not a polynomial.
ऋणात्मक स्थिर पद होने से व्यंजक बहुपद बनने से नहीं रुकता। \(x^2-11\) में सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. In \(x^2-11\), all powers are valid.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 2, 1 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार जानने के लिए चर के सबसे बड़े घातांक को देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of the terms are 2, 1, and 0, and the highest is 2. Hence, it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is incorrect. Exam tip: identify the highest exponent of the variable to determine the type of a polynomial.
A. यह बहुपद है; \(\sqrt{3}\) एक वास्तविक गुणांक है।/It is a polynomial; \(\sqrt{3}\) is a real coefficient.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए \(\sqrt{3}\) मान्य है। यहाँ \(p\) की घातें 2, 1 और 0 हैं, जो अशून्य पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात बहुपद को अमान्य करती है। / A polynomial may have any real coefficient, so \(\sqrt{3}\) is allowed. The exponents of \(p\) are 2, 1 and 0, all non-negative integers. Exam tip: check variable exponents; negative or fractional exponents make an expression non-polynomial.
C. चर हर में रह सकता है/The variable can be in the denominator
Explanation
Simple Explanation
यदि चर हर में आता है तो अक्सर उसकी घात ऋणात्मक हो जाती है। बहुपद में ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। / If the variable appears in the denominator, its power often becomes negative. Negative powers are not valid in a polynomial.
B. क्योंकि x की एक घात ऋणात्मक है/Because one exponent of x is negative
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक में x^{-1} है, जिसमें x की घात -1 है। बहुपद में चर की सभी घातें 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए; इसलिए x-2+x^{-1}+1 बहुपद नहीं है। x-2 और अचर पद 1 बहुपद में स्वीकार्य होते हैं, इसलिए वे कारण नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में ऋणात्मक, भिन्नात्मक या अपरिमेय घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / The expression contains x^{-1}, so the exponent of x is -1. In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer; therefore, x-2+x^{-1}+1 is not a polynomial. The term x-2 and the constant term 1 are allowed in a polynomial, so they are not the reason. Exam tip: A negative, fractional, or irrational exponent of a variable means the expression is not a polynomial.
\(1.5x^2-4x+3\) में \(x\) की घातें \(2, 1\) और \(0\) हैं, जो सभी पूर्ण अऋणात्मक संख्याएँ हैं। साथ ही \(1.5\) एक दशमलव वास्तविक गुणांक है, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प B में ऋणात्मक घात है, जबकि C में \(x\) की घात \(\frac12\) है; दोनों बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(1.5x^2-4x+3\), the powers of \(x\) are \(2, 1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Also, \(1.5\) is a decimal real coefficient, so the expression is a polynomial. Option B has a negative exponent, while option C has \(x\) raised to \(\frac12\); neither is a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents must be \(0,1,2,\ldots\).
\(x^4+3x-2\) में \(x^2\) पद नहीं है पर सबसे बड़ी घात (4) है। गायब पद घात को नहीं रोकता। / In \(x^4+3x-2\), the \(x^2\) term is missing but the highest power is (4). A missing term does not affect validity.
यहाँ p(x)=5x-2 में केवल एक पद, 5x-2, है; इसलिए यह एकपद है। चर x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी घात 2 है और यह द्विघात है। रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या से एकपद/द्विपद और x की सबसे बड़ी घात से रैखिक/द्विघात/घन पहचानें। / In p(x)=5x-2, there is only one term, 5x-2, so it is a monomial. The highest power of x is 2; hence its degree is 2 and it is quadratic. A linear polynomial has x to the power 1, so option B is not correct. Exam tip: use the number of terms to identify monomial/binomial and the highest exponent to identify linear, quadratic, or cubic polynomials.
विकल्प B में \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। इसलिए \(4+\frac{1}{x^3}\) बहुपद नहीं है। इसके विपरीत, विकल्प C में \(x^0=1\) है, इसलिए उसकी घात ऋणात्मक नहीं है और वह बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात में लिखकर जाँचें। / In option B, \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\). In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer; a negative exponent is not allowed. Therefore, \(4+\frac{1}{x^3}\) is not a polynomial. In contrast, in option C, \(x^0=1\), so its exponent is not negative and it is a polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
बहुपद \(3x^2-7\) में \(3x^2\) और \(-7\), ये दो पद हैं। इसकी घात किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो \(x^2\) के कारण 2 है। अतः सही उत्तर 2 पद और घात 2 है। \(-7\) स्थिर पद है; 7 को घात नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: पदों को + या − चिह्नों के आधार पर अलग करें और फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The polynomial \(3x^2-7\) has two terms: \(3x^2\) and \(-7\). Its degree is the greatest exponent of the variable, which is 2 because of \(x^2\). Therefore, it has 2 terms and degree 2. The number 7 is a constant term, not the degree. Exam tip: separate terms using + or − signs, then identify the highest power of the variable.
\(n^{4/3}\) की घात पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The power in \(n^{4/3}\) is not an integer. In a polynomial, variable powers must be non-negative integers.
B. बहुपद की घात 3 रहेगी/The degree of the polynomial remains 3
Explanation
Simple Explanation
जब \(a=0\) रखते हैं, तो \(ax^2=0\) हो जाता है। अतः \(p(x)=2x^3+5\) मिलता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है और उसका गुणांक 2 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की घात 3 रहती है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(x^2\) पद हटने पर भी \(x^3\) पद मौजूद है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(a=0\), the term \(ax^2\) becomes \(0\). Thus, \(p(x)=2x^3+5\). The highest power of \(x\) with a non-zero coefficient is 3, so the degree remains 3. Option A is incorrect because the \(x^3\) term is still present even though the \(x^2\) term disappears. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
A. \(x^2+4x+4\) क्योंकि घातें (2), (1), (0) हैं/\(x^2+4x+4\) because powers are (2), (1), (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4x+4\) में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह सही बहुपद उदाहरण है। / In \(x^2+4x+4\), all powers are non-negative integers. So it is a correct polynomial example.
(x) के संदर्भ में \(y^2\) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), \(y^2\) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
\(x^6+2x^4-x^2+9\) में \(x\) की घातें \(6,4,2\) तथा स्थिर पद \(9\) की घात \(0\) है। ये सभी सम तथा अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह केवल सम घातों वाला बहुपद है। विकल्प B में विषम घातें हैं, जबकि C में ऋणात्मक घात और D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) जैसी भिन्नात्मक घात है; इसलिए वे अपेक्षित बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^6+2x^4-x^2+9\), the powers of \(x\) are \(6,4,2\), and the constant term \(9\) has power \(0\). All of these are even, non-negative integers, so it is a polynomial with only even powers. Option B contains odd powers, while C has a negative power and D has a fractional power because \(\sqrt{x}=x^{1/2}\); hence they are not the required polynomial. Exam tip: in a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer.
बहुपद में जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होने वाले भाग पद कहलाते हैं। यहाँ पद हैं: \(x^4\), \(2x^3\), \(x^2\), \(x\) और \(1\)। अतः कुल 5 पद हैं। \(x^4\) और \(2x^3\) को मिलाया नहीं जा सकता, क्योंकि उनकी घातें अलग हैं। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक धनात्मक या ऋणात्मक भाग को अलग पद मानें। / The parts of a polynomial separated by plus or minus signs are called terms. Here the terms are \(x^4\), \(2x^3\), \(x^2\), \(x\), and \(1\). Therefore, there are 5 terms. \(x^4\) and \(2x^3\) cannot be combined because they have different exponents. Exam tip: Count every positive or negative part as a separate term.
A. द्विघात त्रिपद बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
बहुपद x-2-3x+2 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद x-2, -3x और 2 हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपद बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: घात जानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पद गिनने के लिए + या - से अलग हुए पदों को गिनें। / In x-2-3x+2, the highest power of x is 2, so it is a quadratic polynomial. It has three terms: x-2, -3x, and 2; hence, it is a trinomial. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest degree 1. Exam tip: find the degree from the greatest exponent of the variable, and count terms separated by + or - signs.
\(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) contains \(\frac{1}{x}\), whose power is (-1). Therefore, it is not a polynomial.
